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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2009京都府立医科大 数学1



第1問

 (1) 整数からなる公差1の等差数列a、b、c、dで
        a3+b3+c3=d3
    をみたすものを求めよ。

 (2) 0でない整数からなる等比数列a、b、c、dで
        a3+b3+c3=d3
    をみたすものは存在しないことを示せ。




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  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .京都府立医大 2009
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2009京都府立医科大 数学2



第2問

  aを正の定数とする。曲線 $\small\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{1}{x}\ \ (x\gt 0)\end{align*}}$ をC1とし、曲線
  $\small\sf{\begin{align*}\sf y=-\frac{a}{x}\ \ (x\ne 0)\end{align*}}$ をC2とする。曲線C1上の点Pから曲線C2
  2本の接線を引き、それぞれの接点をQ、Rとする。△PQR
  の重心をGとする。

 (1) 点Pが曲線C1上を動くとき、重心Gが定点となるような
    aの値を求めよ。

  以下ではaは(1)で求めた値とする。

 (2) 点Pが曲線C1上を動くとき、内積 $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\rm GQ}\cdot\overrightarrow{\rm GR}\end{align*}}$ の取る値の
    範囲を求めよ。

 (3) $\small\sf{\sf\theta}$ =∠QGRとおく。点Pが曲線C1上を動くとき、$\small\sf{\sf\theta}$ の
    最小値を求めよ。



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2009京都府立医科大 数学3



第3問

  曲線C:y=xe-xについて以下の問いに答えよ。

 (1) 曲線Cの接線で点(1,a)を通るものがちょうど2本存在する
    ようなaの値をすべて求めよ。

 (2) (1)で求めたaのうち最大のものをa0とする。点(1,a0)を通る
    曲線Cの接線のうち、傾きが負になるものをLとするとき、曲線
    Cと直線Lおよびy軸で囲まれた図形の面積を求めよ。




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2009京都府立医科大 数学4



第4問

  xyz空間において、原点Oを中心とするxy平面内の半径1の円周Kを
  考える。nは3以上の整数とする。Kのn等分点
         $\small\sf{\begin{align*}\sf P_k\left(\cos\frac{2\pi k}{n}\ ,\ \sin\frac{2\pi k}{n}\ ,\ 0\right)\ \ \ \ (k=1,2,\ldots ,n)\end{align*}}$
  をとる。P1、P2、・・・、Pnを中心とするxy平面内の半径sの円を順に
  L1、L2、・・・、Lnとする。ただし、L1とL2、L2とL3、・・・、Ln-1とLn
  LnとL1は互いに接しているとする。

 (1) 半径sをnを用いて表せ。

  次に、L1、L2、・・・、Lnを底面とした同じ高さhのn個の円錐を考え、
  順にA1、A2、・・・、Anとおく。A1、A2、・・・、Anの頂点のz座標は
  いずれも正とする。A1、A2、・・・、Anのすべての頂点を通る円周を
  K’とする。K’を周に持つ円を底面とし、Z(0,0,z)(z<0)を頂点
  とする円錐でA1、A2、・・・、Anのそれぞれと側面で接するものをB
  とする。このとき、Bに外接する球面S(K’およびZをBと共有する球
  面)がL1、L2、・・・、Lnのそれぞれと一点のみを共有するようにhを
  定める。

 (2) SとLnの共有点をQnとおくとき、線分QnZの長さは2であることを
    示せ。

 (3) hをsを用いて表せ。

 (4) n個の円錐A1、A2、・・・、Anの体積の和をVとするとき、極限値
    $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{V}{s^2}\end{align*}}$ を求めよ。

   (注) 2つの円錐が側面で接するとは、2つの円錐の側面の共通部分
      がただ一つの線分となることである。




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