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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013札幌医科大 数学1



第1問

  座標平面上の点A(1,0)と曲線C:y=x$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt x\end{align*}}$ を考える。(ただしx≧0
  とする)。曲線C上の点のうち、点Aまでの距離が最小となるような
  点をPとし、点Pにおける曲線Cの接線とx軸との交点をQとする。

 (1) 点Pのx座標を求めよ。

 (2) 点Qのx座標を求めよ。

 (3) 曲線Cとx軸および線分PQで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転
    させた回転体の体積をV1とする。また、曲線Cとx軸および線分AP
    で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転させた回転体の体積をV2
    する。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{V_2}{V_1}\end{align*}}$ の値を求めよ。




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2013札幌医科大 数学2



第2問

  1から4の数字が1つずつ書かれた正四面体のサイコロを独立に
  4回投げ、底面に書かれてある数字をさいころを投げた順番にa1
  a2、a3、a4とする。そして、座標平面上の2点をP1(a1,a2)、
  P2(-a3,a4)とする。また、原点をOと表す。

 (1) 点P1が直線y=2x上にあり、かつ点P2が直線y=-$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ x上に
    ある確率を求めよ。

 (2) ∠P1OP2が直角となる確率を求めよ。

 (3) ∠P1OP2が鋭角となる確率を求めよ。





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2013札幌医科大 数学3



第3問

  曲線7x2+2$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ xy+9y2=30上の点(x,y)に対して、変換
        X=xcos$\small\sf{\theta}$ -ysin$\small\sf{\theta}$
        Y=xsin$\small\sf{\theta}$ +ycos$\small\sf{\theta}$
  を考える(ただし0≦$\small\sf{\theta}$ ≦$\small\sf{\pi}$ /2とする)。このときX、Yのみたす
  式は
        a($\small\sf{\theta}$ )X2+b($\small\sf{\theta}$ )XY+c($\small\sf{\theta}$ )Y2=30
  となる。ただし、a($\small\sf{\theta}$ )、b($\small\sf{\theta}$ )、c($\small\sf{\theta}$ )は$\small\sf{\theta}$ のみにより決まる定
  数である。いまb($\small\sf{\theta}$ )=0をみたs$\small\sf{\theta}$ を$\small\sf{\theta}$ 1とする。

 (1) $\small\sf{\theta}$ 1を求めよ。

 (2) a($\small\sf{\theta}$ 1)X2+c($\small\sf{\theta}$ 1)Y2=30で囲まれた図形の面積を求めよ。

 (3) a($\small\sf{\theta}$ 1)X2+c($\small\sf{\theta}$ 1)Y2=30に内接する平行四辺形の面積の
    最大値を求めよ。




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2013札幌医科大 数学4



第4問

  関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x\cos x-\sin x\end{align*}}$
  を区間I:$\small\sf{\pi}$ ≦x≦3$\small\sf{\pi}$ で考える。

 (1) 不定積分
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \int f\ (x)\ dx\end{align*}}$
    を求めよ。

 (2) 区間Iにおける関数f(x)の最大値と最小値を求めよ。

 (3) sとtは、次の4つの区間
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \pi\leqq x\leqq\frac{3}{2}\pi\ \ ,\ \ \frac{3}{2}\pi\leqq x\leqq 2\pi\end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*} \sf 2\pi\leqq x\leqq\frac{5}{2}\pi\ \ ,\ \ \frac{5}{2}\pi\leqq x\leqq 3\pi\end{align*}}$
    のどれに入るか。

 (4)
   x軸の4$\small\sf{\pi}$ -t≦x≦2$\small\sf{\pi}$ の部分、直線x=4$\small\sf{\pi}$ -t、直線x=2$\small\sf{\pi}$
    およびy=f(x)で囲まれた図形の面積をSとする。また、x軸の
    直線2$\small\sf{\pi}$ ≦x≦tの部分、x=2$\small\sf{\pi}$ およびy=f(x)で囲まれた図形
    の面積をTとする。このとき、SとTの大小を比較せよ。



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