第１問
座標平面上の点A(1，0)と曲線C：y＝x$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt x\end{align*}}$ を考える。（ただしx≧0
とする）。曲線C上の点のうち、点Aまでの距離が最小となるような
点をPとし、点Pにおける曲線Cの接線とx軸との交点をQとする。
(１) 点Pのx座標を求めよ。
(２) 点Qのx座標を求めよ。
(３) 曲線Cとx軸および線分PQで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転
させた回転体の体積をV1とする。また、曲線Cとx軸および線分AP
で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転させた回転体の体積をV2と
する。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{V_2}{V_1}\end{align*}}$ の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
点Pのx座標をtとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP^2=(t-1)^2+\left(t\sqrt t\right)^2=t^3+t^2-2t+1\end{align*}}$
これをf(t)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)=3t^2+2t-2\end{align*}}$
となるので、t≧0におけるf(t)の増減は次のようになる。
よって、APが最小になるときの点Pのx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\underline{\ \frac{-1+\sqrt7}{3}\ }\end{align*}}$
である。
(２)
Cの導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ '=\frac{3}{2}\sqrt x\end{align*}}$
となるので、Pにおける接線は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L:\ y-t\sqrt t=\frac{3}{2}\sqrt t\left(x-t\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{3}{2}\sqrt t\ x-\frac{1}{2}t\sqrt t\end{align*}}$ ．
これとx軸との交点Qのx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=\frac{3}{2}\sqrt t\ x-\frac{1}{2}t\sqrt t\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{t}{3}\end{align*}}$
となるので、点Qのx座標は(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{t}{3}=\underline{\ \frac{-1+\sqrt7}{9}\ }\end{align*}}$
(３)
点(t，0)をRとする。
V1は、
(図形OPRでできる回転体)－(△PRQでできる円錐)
として求めることができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_1=\pi\int_0^t\left(x\sqrt x\right)^2dx-\frac{1}{3}\pi\cdot\left(t\sqrt t\right)^2\cdot\left(t-\frac{t}{3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\bigg[\frac{1}{4}x^4\bigg]_0^t-\frac{2}{9}\pi\ t^4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{36}\pi\ t^4\end{align*}}$
一方、V2は、
(図形OPRでできる回転体)＋(△APQでできる円錐)
として求めることができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_2=\pi\int_0^t\left(x\sqrt x\right)^2dx+\frac{1}{3}\pi\cdot\left(t\sqrt t\right)^2\cdot\left(1-t\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\pi\ t^4+\frac{1}{3}\pi\ t^3-\frac{1}{3}\pi\ t^4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{12}\pi\ t^4+\frac{1}{3}\pi\ t^3\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{V_2}{V_1}=\frac{-\frac{1}{12}\pi\ t^4+\frac{1}{3}\pi\ t^3}{\frac{1}{36}\pi\ t^4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-3+\frac{12}{t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-5+\frac{36}{-1+\sqrt7}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 3\left(2\sqrt7+1\right)\ }\end{align*}}$
(２)以降は、tのまま計算を進めていくと楽です。
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第２問
1から4の数字が1つずつ書かれた正四面体のサイコロを独立に
4回投げ、底面に書かれてある数字をさいころを投げた順番にa1、
a2、a3、a4とする。そして、座標平面上の2点をP1(a1，a2)、
P2(－a3，a4)とする。また、原点をOと表す。
(１) 点P1が直線y＝2x上にあり、かつ点P2が直線y＝－$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ x上に
ある確率を求めよ。
(２) ∠P1OP2が直角となる確率を求めよ。
(３) ∠P1OP2が鋭角となる確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
4回の目の出方の総数は44通り
(１)
点P1が直線y＝2x上にあるのは、(1，2)、(2，4)の2通り
点P2が直線y＝－$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ x上にあるのは、(－2，1)、(－4，2)の2通り
よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2^2}{4^4}=\underline{\ \frac{1}{64}\ }\end{align*}}$
(２)
∠P1OP2が直角になるとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_1}\cdot\overrightarrow{\sf OP_2}=-a_1a_3+a_2a_4=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_1a_3=a_2a_4\end{align*}}$
積a1a3の値は右表のようになり、
a2a4についても同様なので、
求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1^2+2^2+2^2+3^2+2^2+2^2+1^2+2^2+1^2}{4^4}=\underline{\ \frac{1}{8}\ }\end{align*}}$
(３)
∠P1OP2が鋭角になるとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_1}\cdot\overrightarrow{\sf OP_2}=-a_1a_3+a_2a_4\gt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ a_1a_3\lt a_2a_4\end{align*}}$
a1a3＜a2a4となる確率とa1a3＞a2a4となる確率は等しいので、
求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1-\frac{1}{8}\right)\div 2=\underline{\ \frac{7}{16}\ }\end{align*}}$
内積に気づけば楽ですね。
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第３問
曲線7x2＋2$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ xy＋9y2＝30上の点(x，y)に対して、変換
X＝xcos$\small\sf{\theta}$ －ysin$\small\sf{\theta}$
Y＝xsin$\small\sf{\theta}$ ＋ycos$\small\sf{\theta}$
を考える（ただし0≦$\small\sf{\theta}$ ≦$\small\sf{\pi}$ /2とする）。このときX、Yのみたす
式は
a($\small\sf{\theta}$ )X2＋b($\small\sf{\theta}$ )XY＋c($\small\sf{\theta}$ )Y2＝30
となる。ただし、a($\small\sf{\theta}$ )、b($\small\sf{\theta}$ )、c($\small\sf{\theta}$ )は$\small\sf{\theta}$ のみにより決まる定
数である。いまb($\small\sf{\theta}$ )＝0をみたｓ$\small\sf{\theta}$ を$\small\sf{\theta}$ 1とする。
(１) $\small\sf{\theta}$ 1を求めよ。
(２) a($\small\sf{\theta}$ 1)X2＋c($\small\sf{\theta}$ 1)Y2＝30で囲まれた図形の面積を求めよ。
(３) a($\small\sf{\theta}$ 1)X2＋c($\small\sf{\theta}$ 1)Y2＝30に内接する平行四辺形の面積の
最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
C： 7x2＋2$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ xy＋9y2＝30上
C’： a($\scriptsize\sf{\theta}$ )X2＋b($\scriptsize\sf{\theta}$ )XY＋c($\scriptsize\sf{\theta}$ )Y2＝30
(１)
行列Aを
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf \cos\theta&\sf -\sin\theta \\ \sf \sin\theta & \sf \cos\theta \end{pmatrix}\end{align*}}$
と定めると、そのデターミナントは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf detA=\cos^2\theta-(-\sin^2\theta)=1\ne 0\end{align*}}$
となるので、逆行列A-1が存在する。
よって、題意の変換は行列Aを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{X}{Y}=A\binom{x}{y}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \binom{x}{y}=A^{-1}\binom{X}{Y}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix} \sf \cos\theta&\sf \sin\theta \\ \sf -\sin\theta & \sf \cos\theta \end{pmatrix}\binom{X}{Y}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\binom{X\cos\theta+Y\sin\theta}{-X\sin\theta+Y\cos\theta}\end{align*}}$
となる。これを曲線Cの式に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 7\left(X\cos\theta+Y\sin\theta\right)^2+2\sqrt3\left(X\cos\theta+Y\sin\theta\right)\left(-X\sin\theta+Y\cos\theta\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +9\left(-X\sin\theta+Y\cos\theta\right)^2=30\end{align*}}$
であり、これを展開して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(7\cos^2\theta-2\sqrt3\sin\theta\cos\theta+9\sin^2\theta\right)X^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +\left\{-4\sin\theta\cos\theta+2\sqrt3\left(\cos^2\theta-\sin^2\theta\right)\right\}XY\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +\left(7\sin^2\theta+2\sqrt3\sin\theta\cos\theta+9\cos^2\theta\right)Y^2=0\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b\ (\theta)=-4\sin\theta\cos\theta+2\sqrt3\left(\cos^2\theta-\sin^2\theta\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2\sin 2\theta+2\sqrt3\cos 2\theta\end{align*}}$ ←倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\sin\left(2\theta-\frac{\pi}{3}\right)=0\end{align*}}$ ←合成
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq \theta \leqq\frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{\pi}{3}\leqq 2\theta-\frac{\pi}{3}\leqq \frac{2}{3}\pi\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\theta-\frac{\pi}{3}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\underline{\ \theta_1=\frac{\pi}{6}\ }\end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a\left(\theta_1\right)=7\cos^2\frac{\pi}{6}-2\sqrt3\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6}+9\sin^2\frac{\pi}{6}=6\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c\left(\theta_1\right)=7\sin^2\frac{\pi}{6}+2\sqrt3\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6}+9\cos^2\frac{\pi}{6}=10\end{align*}}$
となるので、曲線C’は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 6X^2+10Y^2=30\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{X^2}{5}+\frac{Y^2}{3}=1\end{align*}}$
となり、これは長軸$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt5\end{align*}}$ 、短軸$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt3\end{align*}}$ の楕円を表す。
よって、曲線C’で囲まれる図形の面積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\cdot \sqrt5\cdot\pi=\underline{\ \sqrt{15}\ \pi\ }\end{align*}}$
(３)
右図のようにC’に内接する平行四辺形を
ABCDとし、A、Bの座標を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\left(\sqrt3\cos\alpha\ ,\ \sqrt5\sin\alpha\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B\left(\sqrt3\cos\beta\ ,\ \sqrt5\sin\beta\right)\end{align*}}$
とおく。ただし、$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＜$\scriptsize\sf{\beta}$ ．
このとき、平行四辺形ABCDの面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=4\triangle OAB\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\cdot\frac{1}{2}\left|\sqrt3\cos\alpha\cdot\sqrt5\sin\beta-\sqrt5\sin\alpha\cdot\sqrt3\cos\beta\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\sqrt{15}\left|\sin\beta\cos\alpha-\cos\beta\sin\alpha\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\sqrt{15}\left|\sin\left(\beta-\alpha\right)\right|\end{align*}}$
これが最大になるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \beta-\alpha=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
のときであり、その値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{max}=\underline{\ 2\sqrt{15}\ }\end{align*}}$
(３)で用いている媒介変数表示は大丈夫ですか？
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第４問
関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x\cos x-\sin x\end{align*}}$
を区間I：$\small\sf{\pi}$ ≦x≦3$\small\sf{\pi}$ で考える。
(１) 不定積分
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int f\ (x)\ dx\end{align*}}$
を求めよ。
(２) 区間Iにおける関数f(x)の最大値と最小値を求めよ。
(３) sとtは、次の4つの区間
$\small\sf{\begin{align*} \sf \pi\leqq x\leqq\frac{3}{2}\pi\ \ ,\ \ \frac{3}{2}\pi\leqq x\leqq 2\pi\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf 2\pi\leqq x\leqq\frac{5}{2}\pi\ \ ,\ \ \frac{5}{2}\pi\leqq x\leqq 3\pi\end{align*}}$
のどれに入るか。
(４)
x軸の4$\small\sf{\pi}$ －t≦x≦2$\small\sf{\pi}$ の部分、直線x＝4$\small\sf{\pi}$ －t、直線x＝2$\small\sf{\pi}$
およびy＝f(x)で囲まれた図形の面積をSとする。また、x軸の
直線2$\small\sf{\pi}$ ≦x≦tの部分、x＝2$\small\sf{\pi}$ およびy＝f(x)で囲まれた図形
の面積をTとする。このとき、SとTの大小を比較せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
部分積分法を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int f\ (x)\ dx=\int\left(x\cos x-\sin x\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x\sin x-\int\sin x\ dx+\cos x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ x\sin x+2\cos x+C\ }\end{align*}}$ （Cは積分定数)
(２)
f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\cos x-x\sin x-\cos x=-x\sin x\end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{\pi}$ ≦x≦3$\scriptsize\sf{\pi}$ におけるf(x)の増減は次のようになる。
よって、
x＝2$\scriptsize\sf{\pi}$ で、f(x)max＝2$\scriptsize\sf{\pi}$
x＝3$\scriptsize\sf{\pi}$ で、f(x)min＝－3$\scriptsize\sf{\pi}$
となる。
(３)
f(x)は区間Iにおいて連続であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (\pi)=-\pi<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ \left(\frac{3}{2}\pi\right)=1>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (2\pi)=2\pi>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ \left(\frac{5}{2}\pi\right)=-1<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (3\pi)=-3\pi<0\end{align*}}$
となるので、中間値の定理より方程式f(x)＝0は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \pi\leqq x\leqq\frac{3}{2}\pi\end{align*}}$ と $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\pi\leqq x\leqq \frac{5}{2}\pi\end{align*}}$
の範囲にそれぞれ実数解をもつ。
よって、s＜tより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \pi\leqq s\leqq\frac{3}{2}\pi\ \ ,\ \ 2\pi\leqq t\leqq \frac{5}{2}\pi\ }\end{align*}}$
(４)
(３)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\pi <4\pi-t<2\pi\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{4\pi-t}^{2\pi}f\ (x)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=\int_{2\pi}^tf\ (x)\ dx\end{align*}}$
となる。
ここで、F(t)＝S－Tとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ (t)=\int_{4\pi-t}^{2\pi}f\ (x)\ dx-\int_{2\pi}^tf\ (x)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[x\sin x+2\cos x\bigg]_{4\pi-t}^{2\pi}-\bigg[x\sin x+2\cos x\bigg]_{2\pi}^t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4-(4\pi-t)\sin (4\pi-t)-2\cos(4\pi-t)-t\sin t-2\cos t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4+(4\pi-t)\sin t-2\cos t-t\sin t-2\cos t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4+(4\pi-2t)\sin t-4\cos t\end{align*}}$
となり、第1次導関数、第2次導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ '(t)=-2\cdot \sin t+(4\pi-2t)\cos t+4\sin t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\sin t+(4\pi-2t)\cos t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ ''(t)=2\cos t-2\cos t-(4\pi-2t)\sin t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2(2\pi-t)\sin t\end{align*}}$
(３)で求めたtの範囲内において、
常にF”(t)＞0 であり、これとF’(0)＝0よりF’(t)＞0．
よってF(t)は単調に増加し、F(0)＝0なので、
常にF(t)＞0となるので、S＞Tである。
全体的に取っつきやすい問題が多いですね。
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