FC2ブログ

青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013京都薬科大 数学1



第1問

  次の    にあてはまる数を記入せよ。ただし、分数形で解答する
  場合は、既約分数にしなさい。

 (1) 直線(1-k)x+(1+k)y-k-3=0は定数kの値によらず定点Aを
    通る。このとき、定点Aの座標は、(  ア  イ  )である。また、
    中心がAで直線x+y=5に接する円の半径は ウ  となる。

 (2) 空間の3点O(0,0,0)、A(1,2,-3)、B(1,-1,1)において、
    線分ABを2:1に内分する点Cの座標は( エ  オ  カ  )
    である。また、このとき、cos∠AOC= キ  となる。

 (3) △ABCにおいて、AB=3、BC=5、CA=6とする。また、∠BACの
    2等分線と辺BCの交点をPとする。このとき、△ABCの面積は ク 
    となり、BP= ケ  、AP= コ  となる。△ABCの内接円の半径
    をrとすると、r= サ  である。

 (4) 4つの数、log2(log4(log816))、log4(log8(log216))、
    log8(log2(log416))、log2(log8(log416))の大小を比較すると、
     シ  ス  セ  ソ  となる。



2013京都薬科大 数学2



第2問

  0から9までの数字を1つずつ書いた10個の球が袋に入っている。
  この袋から1つずつ順に球を取り出す試行において、次の   
  あてはまる数を解答欄に記入せよ。ただし、分数形で解答する場合
  は、既約分数にしなさい。

 (1) 8を書いた球より前に1を書いた球が取り出される確率は ア 
    である。

 (2) 6を書いた球と8を書いた球のどちらよりも前に、1を書いた球が
    取り出される確率は イ  である。

 (3) 6を書いた球と8を書いた球のどちらかよりも前に、1を書いた球が
    取り出される確率は ウ  である。

  mを書いた球とnを書いた球が取り出されたとき、mとnがそろったと
  いうことにする。例えば、10個の球に書かれた数字が取り出された
  順に8、1、4、9、5、3、6、0、2、7であった場合には、9つ目の球が
  取り出された段階で1と2がそろったということである。

 (4) 7と8がそろうよりも前に1と2がそろう確率は エ  である。

 (5) 1と2がそろうのが、7と8がそろうより前であり、かつ、4と6が
    そろうよりも前である確率は オ  である。

 (6) 1と2がそろうのが、7と8がそろうより前であるか、または、
    4と6がそろうよりも前である確率は カ  である。

 (7) 7と8がそろう前に1と8がそろう確率は キ  である。ただし、
    10個の球に書かれた数字が、取り出された順に9、1、4、7、5、
    3、8、0、2、6である場合にように7と8、1と8が同時にそろう場合
    は、7と8がそろうよりも前に1と8がそろう場合に含めないものとする。






2013京都薬科大 数学3



第3問

  濃度a%の食塩水300gが入っている容器Aと、濃度b%の食塩水400g
  が入っている容器Bがある。Aより100gの食塩水をとってそれをBに移し、
  よくかき混ぜた後に同量をAに戻すとする。この操作をn回くり返したとき
  のA、Bの食塩水の濃度を求めたい。
  次の    にあてはまる数または式を、解答欄に記入せよ。ただし、
  分数形で解答する場合は、既約分数にしなさい。

 (1) 容器Aと容器Bに、最初にあった食塩水の量の和は ア  gである。

 (2) n(≧1)回の操作の後、容器Aの濃度がxn%、容器Bの濃度がyn
    になったとする。ynをxn-1とyn-1を用いて表すと、
         yn= イ  xn-1+ ウ  yn-1
    となる。また、xnをxn-1とyn-1を用いて表すと、
         xn= エ  xn-1+ オ  yn-1
    となる。

 (3) 食塩の量の和は一定であることに注意すると、
     カ  xn+ キ  yn= カ  xn-1+ キ  yn-1=・・・= ア 
   
 (4) (3)で与えられた関係式を使って、数列{xn}の漸化式をつくると、
         xn= ク  xn-1+ ケ 
    となる。この漸化式を解くことによって、xnをaとbおよびnを用いて
    表すと、
            xn= コ 
    また、ynをaとbおよびnを用いて表すと
            yn= サ 
    となる。




2013京都薬科大 数学4



第4問

  放物線y=(x-1)2上の異なる2点A(a,(a-1)2)、B(b,(b-1)2)に
  おける2つの接線を、それぞれL1、L2とする。ただし、a<bとする。また、
  点Aを通りL1と直交する直線をL’1、点Bを通りL2と直交する点をL’2
  する。
  次の    にあてはまる数または式を、解答欄に記入せよ。ただし、
  分数形で解答する場合は、既約分数にしなさい。

 (1) L1とL2の交点の座標をa、bを使って表すと、( ア  イ  )である。

 (2) この放物線とL1、L2で囲まれた部分の面積Sをa、bを使って表すと、
     ウ  である。

 (3) L’1とL’2が直交するとき、(2)で求めたSの最小値は エ  である。
    このとき、a= オ  、b= カ  となり、L1、L’1、L2、L’2の4つの
    直線で囲まれた部分の面積は キ  となる。