第4問
放物線y=(x－1)2上の異なる2点A(a，(a－1)2)、B(b，(b－1)2)に
おける2つの接線を、それぞれL1、L2とする。ただし、a＜bとする。また、
点Aを通りL1と直交する直線をL’1、点Bを通りL2と直交する点をL’2と
する。
次の にあてはまる数または式を、解答欄に記入せよ。ただし、
分数形で解答する場合は、既約分数にしなさい。
(1) L1とL2の交点の座標をa、bを使って表すと、( ア ， イ )である。
(2) この放物線とL1、L2で囲まれた部分の面積Sをa、bを使って表すと、
ウ である。
(3) L’1とL’2が直交するとき、(2)で求めたSの最小値は エ である。
このとき、a= オ 、b= カ となり、L1、L’1、L2、L’2の4つの
直線で囲まれた部分の面積は キ となる。
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【解答】
ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a+b}{2}\end{align*}}$ イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (a-1)(b-1)\end{align*}}$ ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{12}\left(b-a\right)^3\end{align*}}$ エ 1
オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$
【解説】
(1)
y=(x－1)2の導関数はy’=2(x－1)なので、
L1の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-(a-1)^2=2(a-1)(x-a)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=2(a-1)x-a^2+1\end{align*}}$
同様にL2の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=2(b-1)x-b^2+1\end{align*}}$
となるので、これら2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2(a-1)x-a^2+1=2(b-1)x-b^2+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2(a-b)x=a^2-b^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{a+b}{2}\ \ \ (\because a\ne b)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=2(a-1)\cdot\frac{a+b}{2}-a^2+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =ab-a-b+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(a-1)(b-1)\end{align*}}$
よって、L1、L2の交点をPとすると、その座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P\left(\frac{a+b}{2}\ ,\ (a-1)(b-1)\right)\ }\end{align*}}$
となる。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_a^{\frac{a+b}{2}}\left\{(x-1)^2-2(a-1)x+a^2-1\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +\int_{\frac{a+b}{2}}^b\left\{(x-1)^2-2(b-1)x+b^2-1\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_a^{\frac{a+b}{2}}\left(x-a\right)^2dx+\int_{\frac{a+b}{2}}^b\left(x-b\right)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{3}\left(x-a\right)^3\right]_a^{\frac{a+b}{2}}+\left[\frac{1}{3}\left(x-b\right)^3\right]_{\frac{a+b}{2}}^b\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left(\frac{a+b}{2}-a\right)^3-\frac{1}{3}\left(\frac{a+b}{2}-b\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{3}\left(\frac{b-a}{2}\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{12}\left(b-a\right)^3\ }\end{align*}}$
(3)
L’1とL’2が直交するとき、L1とL2も直交するので、
傾きの積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2(a-1)\cdot 2(b-1)=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ 4(ab-a-b+1)=-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ ab=a+b-\frac{5}{4}\end{align*}}$ ･･････①
このとき(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{12}\left\{\left(b-a\right)^2\right\}^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{12}\left\{\left(a+b\right)^2-4ab\right\}^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{12}\left\{\left(a+b\right)^2-4\left(a+b-\frac{5}{4}\right)\right\}^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{12}\left\{\left(a+b-2\right)^2+1\right\}^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
となるので、a+b=2 ･･････②のとき Sは最小となり、
その値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{min}=\frac{1}{12}\cdot 1^{\frac{3}{2}}=\underline{\ \frac{1}{12}\ }\end{align*}}$
このとき①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ab=2-\frac{5}{4}=\frac{3}{4}\end{align*}}$
これと②より、解と係数の関係を用いると、
a、bはtについての二次方程式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2-2t+\frac{3}{4}=0\end{align*}}$
の2解となる。これを解くと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4t^2-8t+3=(2t-1)(2t-3)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\frac{1}{2}\ ,\ \frac{3}{2}\end{align*}}$
であり、a＜bなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ b=\frac{3}{2}\ }\end{align*}}$
となる。
このとき、A、B、Pの座標はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\left(\frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{4}\right)\ \ ,\ \ B\left(\frac{3}{2}\ ,\ \frac{1}{4}\right)\ \ ,\ \ P\left(1\ ,\ -\frac{1}{4}\right)\end{align*}}$
となるので、L1、L’1、L2、L’2の4直線で囲まれた部分は、
対角線の長さが1の正方形となる。よってその面積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1^2\cdot\frac{1}{2}=\underline{\ \frac{1}{2}\ }\end{align*}}$
最後はかなり誤魔化していますが（笑）
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/24(土) 01:17:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .京都薬科大 2013
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