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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010東北大 文系数学1



第1問

  f(x)=x3とするとき、以下の問いに答えよ。

 (1) 0≦a<x<yを満たすすべてのa、x、yに対して
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{f(x)-f(a)}{x-a}<\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。

 (2) y<x<bを満たすすべてのx、yに対して
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)>\frac{(x-y)f(b)+(b-x)f(y)}{b-y}\end{align*}}$
    が成り立つようなbの範囲を求めよ。




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  1. 2018/10/26(金) 01:17:00|
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2010東北大 文系数学2



第2問

  放物線C:y=x2に対して、以下の問いに答えよ。

 (1) C上の点P(a,a2)を通り、PにおけるCの接線に直交する
    直線Lの方程式を求めよ。

 (2) Lを(1)で求めた直線とする。a≠0のとき、直線x=aをLに
    関して対称に折り返して得られる直線mの方程式を求めよ。

 (3) (2)で求めた直線mはaの値によらず定点Fを通ることを示し、
    Fの座標を求めよ。




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2010東北大 文系数学3



第3問

  数直線上を動く点Pがある。裏表の出る確率が等しい硬貨を
  2枚投げて、2枚とも表が出たらPは正の向きに1だけ移動し、
  2枚とも裏が出たらPは負の向きに1だけ移動し、それ以外の
  ときはその位置にとどまるものとする。Pが原点Oを出発点と
  して、このような試行をn回繰り返して到着した位置をSn
  する。以下の問いに答えよ。

 (1) S2=-1となる確率を求めよ。

 (2) S3=1となる確率を求めよ。

 (3) 試行をn回繰り返して出た表の総数をiとするとき、Sn
    求めよ。

 (4) kを整数とするとき、Sn=kとなる確率を求めよ。





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2010東北大 文系数学4



第4問

  四面体ABCDにおいて、辺ABの中点をM、辺CDの中点を
  Nとする。以下の問いに答えよ。

 (1) 等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PA}+\overrightarrow{\sf PB}=\overrightarrow{\sf PC}+\overrightarrow{\sf PD}\end{align*}}$
    を満たす点Pは存在するか。証明をつけて答えよ。

 (2) 点Qが等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf QA}+\overrightarrow{\sf QB}|=|\overrightarrow{\sf QC}+\overrightarrow{\sf QD}|\end{align*}}$
    を満たしながら動くとき、点Qが描く図形を求めよ。

 (3) 点Rが等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf RA}|^2+|\overrightarrow{\sf RB}|^2=|\overrightarrow{\sf RC}|^2+|\overrightarrow{\sf RD}|^2\end{align*}}$
    を満たしながら動くとき、内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MN}\cdot\overrightarrow{\sf MR}\end{align*}}$ はRのとり方によらず
    一定であることを示せ。

 (4) (2)の点Qが描く図形と(3)の点Rが描く図形が一致する
    ための必要十分条件は $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AB}|=|\overrightarrow{\sf CD}|\end{align*}}$ であることを示せ。



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