第１問
f(x)＝x3とするとき、以下の問いに答えよ。
(１) 0≦a＜x＜yを満たすすべてのa、x、yに対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{f(x)-f(a)}{x-a}<\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(２) y＜x＜bを満たすすべてのx、yに対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)>\frac{(x-y)f(b)+(b-x)f(y)}{b-y}\end{align*}}$
が成り立つようなbの範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
与式の(左辺)－(右辺)を計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{f(x)-f(a)}{x-a}-\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{x^3-a^3}{x-a}-\frac{y^3-x^3}{y-x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(x^2+ax+a^2)-(y^2+xy+x^2)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a^2-y^2+ax-xy\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(a-y)(a+x+y)\lt 0\ \ \ (\because 0\leqq a\lt x\lt y)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\lt \frac{f(y)-f(x)}{y-x}\end{align*}}$
が成り立つ。
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)\gt \frac{(x-y)f(b)+(b-x)f(y)}{b-y}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (b-y)x^3-(x-y)b^3-(b-x)y^3\gt 0\ \ \ (\because y\lt x\lt b)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (b-y)x^3-(b^3-y^3)x+b^3y-by^3\gt 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (b-y)x^3-(b-y)(b^2+by+y^2)x+by(b-y)(b+y)\gt 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^3-(b^2+by+y^2)x+by(b+y)\gt 0\ \ \ (\because b-y\gt 0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (x-b)\{x^2+bx-y(b+y)\}\gt 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (x-b)(x-y)(x+y+b)\gt 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x+y+b\lt 0\ \ \ (\because y\lt x\lt b)\end{align*}}$
y＜x＜bより、x＋y＋b＜3bなので、
b≦0のときは、常にx＋y＋b＜0が成り立つ。
逆に、b＞0のときは、0＜x＜y＜bとなるx、yが存在し、
このときx＋y＋b＜0は成り立たない。
よって、求める条件は、b≦0である。
(２)の最後の考え方が少し難しいかもしれませんね。
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第２問
放物線C：y＝x2に対して、以下の問いに答えよ。
(１) C上の点P(a，a2)を通り、PにおけるCの接線に直交する
直線Lの方程式を求めよ。
(２) Lを(１)で求めた直線とする。a≠0のとき、直線x＝aをLに
関して対称に折り返して得られる直線mの方程式を求めよ。
(３) (２)で求めた直線mはaの値によらず定点Fを通ることを示し、
Fの座標を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
y＝x2の導関数はy’＝2xなので、Pにおける接線の傾きは
2aであり、それと垂直なLの傾きは、a≠0のとき$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2a}\end{align*}}$ となる。
よって、a≠0のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L:\ y-a^2=-\frac{1}{2a}(x-a)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=-\frac{1}{2a}x+a^2+\frac{1}{2}\ }\end{align*}}$
また、a＝0のとき、Pにおける接線はx軸と一致するので、
Lはx＝0となる。
(２)
Lについて直線x＝a上の点Q(a，0)と対称な点をR(X，Y)とおく。
L⊥QRなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{Y-0}{X-a}=2a\ \ \Leftrightarrow\ \ Y=2a(X-a)\end{align*}}$ ････①
また、QRの中点はL上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{Y+0}{2}=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{X+a}{2}+a^2+\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ Y=-\frac{X+a}{2a}+2a^2+1\end{align*}}$ ････②
①、②を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\frac{8a^3+a}{4a^2+1}\ \ ,\ \ Y=\frac{8a^4}{4a^2+1}\end{align*}}$
求める直線mは2点P、Rを通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m:\ y-a^2=\frac{\frac{8a^4}{4a^2+1}-a^2}{\frac{8a^3+a}{4a^2+1}-a}(x-a)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=\frac{4a^2-1}{4a}x+\frac{1}{4}\ }\end{align*}}$
(３)
(２)で求めたmの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{4a^2-1}{4a}x+\frac{1}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ 4xa^2-(4y-1)a+x=0\end{align*}}$
と変形することができ、これをaについての恒等式とみなすと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4x=4y-1=x=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ ,\ y=\frac{1}{4}\end{align*}}$ ．
よって、mはaの値によらず定点 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(0\ ,\ \frac{1}{4}\right)\ }\end{align*}}$ を通る。
そのまま誘導に乗っていけばOKです！
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第３問
数直線上を動く点Pがある。裏表の出る確率が等しい硬貨を
2枚投げて、2枚とも表が出たらPは正の向きに1だけ移動し、
2枚とも裏が出たらPは負の向きに1だけ移動し、それ以外の
ときはその位置にとどまるものとする。Pが原点Oを出発点と
して、このような試行をn回繰り返して到着した位置をSnと
する。以下の問いに答えよ。
(１) S2＝－1となる確率を求めよ。
(２) S3＝1となる確率を求めよ。
(３) 試行をn回繰り返して出た表の総数をiとするとき、Snを
求めよ。
(４) kを整数とするとき、Sn＝kとなる確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
裏表の出方を次のようにA、B、Cと表すことにする。
A･･･2枚とも表
B･･･2枚とも裏
C･･･表裏1枚ずつ
このとき、各試行においてA、B、Cの起こる確率は順に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\ , \ \frac{1}{4}\ ,\ \frac{1}{2}\end{align*}}$
である。
(１)
S2＝－1となるためには、BとCが1回ずつ起こればよいので、
その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2!\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\underline{\ \frac{1}{4}\ }\end{align*}}$
(２)
S3＝1となるためには、次の2つのパターンがある。
(ア)Aが1回、Cが2回
(イ)Aが2回、Bが1回
よって、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _3C_1\cdot\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2+_3C_2\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^2\cdot\frac{1}{4}=\underline{\ \frac{15}{64}\ }\end{align*}}$
(３)
n回のうちでA、B、Cが起こった回数をそれぞれa、b、cとすると、
a＋b＋c＝n ････①
また、出た表の総数がiなので、
2a＋c＝i ････②
このとき、到着した位置は
Sn＝a－b
＝a－(n－a－c) ←①より
＝－n＋2a＋c
＝－n＋i ←②より
(４)
2枚の硬貨をn回投げるので、硬貨はのべ2n回投げられた
ことになる。
(３)より
Sn＝－n＋i＝k ⇔ i＝n＋k
となるので、2ｎ回のうち表がn＋k回、裏がn－k回出ればよい。
よって、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _{2n}C_{n+k}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n+k}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}=\underline{\ _{2n}C_{n+k}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2n}\ }\end{align*}}$
である。
(４)は(３)の結論をうまく使いましょう。
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第４問
四面体ABCDにおいて、辺ABの中点をM、辺CDの中点を
Nとする。以下の問いに答えよ。
(１) 等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PA}+\overrightarrow{\sf PB}=\overrightarrow{\sf PC}+\overrightarrow{\sf PD}\end{align*}}$
を満たす点Pは存在するか。証明をつけて答えよ。
(２) 点Qが等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf QA}+\overrightarrow{\sf QB}|=|\overrightarrow{\sf QC}+\overrightarrow{\sf QD}|\end{align*}}$
を満たしながら動くとき、点Qが描く図形を求めよ。
(３) 点Rが等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf RA}|^2+|\overrightarrow{\sf RB}|^2=|\overrightarrow{\sf RC}|^2+|\overrightarrow{\sf RD}|^2\end{align*}}$
を満たしながら動くとき、内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MN}\cdot\overrightarrow{\sf MR}\end{align*}}$ はRのとり方によらず
一定であることを示せ。
(４) (２)の点Qが描く図形と(３)の点Rが描く図形が一致する
ための必要十分条件は $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AB}|=|\overrightarrow{\sf CD}|\end{align*}}$ であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
与式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\overrightarrow{\sf PA}+\overrightarrow{\sf PB}}{2}=\frac{\overrightarrow{\sf PC}+\overrightarrow{\sf PD}}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf PM}=\overrightarrow{\sf PN}\end{align*}}$
と変形できるが、四面体ABCDにおいてM、Nが一致することは
あり得ないので、この式を満たす点Pは存在しない。
(２)
与式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\frac{\overrightarrow{\sf QA}+\overrightarrow{\sf QB}}{2}\right|=\left|\frac{\overrightarrow{\sf QC}+\overrightarrow{\sf QD}}{2}\right|\ \ \Leftrightarrow\ \ \left|\overrightarrow{\sf QM}\right|=\left|\overrightarrow{\sf QN}\right|\end{align*}}$
と変形できるので、Qは2点M、Nから距離にある。
よっって、Qが描く図形は、線分MNの中点を通って、
MNと垂直な平面である。
(３)
左辺$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\overrightarrow{\sf MA}-\overrightarrow{\sf MR}|^2+|\overrightarrow{\sf MB}-\overrightarrow{\sf MR}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\overrightarrow{\sf MA}|^2+|\overrightarrow{\sf MB}|^2-2\left(\overrightarrow{\sf MA}+\overrightarrow{\sf MB}\right)\cdot\overrightarrow{\sf MR}+2|\overrightarrow{\sf MR}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2|\overrightarrow{\sf MA}|^2+2|\overrightarrow{\sf MR}|^2\ \ \ \ \left(\because \overrightarrow{\sf MB}=-\overrightarrow{\sf MA}\right)\end{align*}}$
右辺$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\overrightarrow{\sf MC}-\overrightarrow{\sf MR}|^2+|\overrightarrow{\sf MD}-\overrightarrow{\sf MR}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\overrightarrow{\sf MC}|^2+|\overrightarrow{\sf MD}|^2-2\left(\overrightarrow{\sf MC}+\overrightarrow{\sf MD}\right)\cdot\overrightarrow{\sf MR}+2|\overrightarrow{\sf MR}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\overrightarrow{\sf MC}|^2+|\overrightarrow{\sf MD}|^2-4\overrightarrow{\sf MN}\cdot\overrightarrow{\sf MR}+2|\overrightarrow{\sf MR}|^2\ \ \ \ \left(\because \overrightarrow{\sf MN}=\frac{\overrightarrow{\sf MC}+\overrightarrow{\sf MD}}{2}\right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2|\overrightarrow{\sf MA}|^2+2|\overrightarrow{\sf MR}|^2=|\overrightarrow{\sf MC}|^2+|\overrightarrow{\sf MD}|^2-4\overrightarrow{\sf MN}\cdot\overrightarrow{\sf MR}+2|\overrightarrow{\sf MR}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf MN}\cdot\overrightarrow{\sf MR}=\frac{1}{4}\left(|\overrightarrow{\sf MC}|^2+|\overrightarrow{\sf MD}|^2-2|\overrightarrow{\sf MA}|^2\right)\end{align*}}$
となるので、内積 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MN}\cdot\overrightarrow{\sf MR}\end{align*}}$ はRのとり方によらず一定である。
(４)
(２)の点Qと(３)の点Rが同じ図形を描くためには
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf RM}|=|\overrightarrow{\sf RN}|\end{align*}}$
であればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf RM}|^2=|\overrightarrow{\sf RN}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf MR}|^2=|\overrightarrow{\sf MN}-\overrightarrow{\sf MR}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\overrightarrow{\sf MN}|^2-2\overrightarrow{\sf MN}\cdot\overrightarrow{\sf MR}+|\overrightarrow{\sf MR}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\overrightarrow{\sf MN}\cdot\overrightarrow{\sf MR}=|\overrightarrow{\sf MN}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}\left(|\overrightarrow{\sf MC}|^2+|\overrightarrow{\sf MD}|^2-2|\overrightarrow{\sf MA}|^2\right)=\left|\frac{\overrightarrow{\sf MC}+\overrightarrow{\sf MD}}{2}\right|^2\end{align*}}$ ←(３)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2|\overrightarrow{\sf MC}|^2+2|\overrightarrow{\sf MD}|^2-4|\overrightarrow{\sf MA}|^2=|\overrightarrow{\sf MC}|^2+2\overrightarrow{\sf MC}\cdot\overrightarrow{\sf MD}+|\overrightarrow{\sf MD}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4|\overrightarrow{\sf MA}|^2=|\overrightarrow{\sf MC}|^2-2\overrightarrow{\sf MC}\cdot\overrightarrow{\sf MC}+|\overrightarrow{\sf MD}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\left|\frac{\overrightarrow{\sf AB}}{2}\right|^2=|\overrightarrow{\sf MD}-\overrightarrow{\sf MC}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf AB}|^2=|\overrightarrow{\sf CD}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf AB}|=|\overrightarrow{\sf CD}|\end{align*}}$
よって、題意は示された。
適当に式をいじっていれば最後までたどり着けると思いますよ。
ベクトルの計算は始点をそろえるのが基本です！
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