第１問
f(x)＝x3＋3x2－9xとする。y＜x＜aを満たす全てのx、yに
対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)>\frac{\left(x-y\right)f\ (a)+\left(a-x\right)f\ (y)}{a-y}\end{align*}}$
が成り立つようなaの範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
与式の右辺をg(x)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=\frac{\left(x-y\right)f\ (a)+\left(a-x\right)f\ (y)}{a-y}=\frac{\left(x-y\right)f\ (a)+\left(a-x\right)f\ (y)}{(a-x)+(x-y)}\end{align*}}$
と変形できるので、点(x，g(x))は、2点(a，f(a))、(y，f(f))を
結ぶ線分を(a－x)：(x－y)の比に内分する点を表す。
よって、任意のx、yに対して、f(x)＞g(x)を満たすためには、
x＜aの範囲で常にf(x)が上に凸であればよい。
一方、f(x)の導関数は、
f’(x)＝3x2＋6x－9＝3(x＋3)(x－1)
f”(x)＝6x＋6＝6(x＋1)
となるので、f(x)はx≦－1の範囲で上に凸となる。
以上より、求めるaの値の範囲は、
a≦－1
となる。
そのまま計算すると計算が死ぬので、うまく誤魔化しましょうｗｗ
しかしまぁ、答案が書きにくいですなぁ・・・
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- 2018/10/26(金) 01:11:00|
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第３問
1、2、3、4の数字が1つずつ書かれた4枚のカードを用いて、
次の手順で5桁の整数をつくる。まず1枚を取り出して現れた
数字を一の位とする。取り出した1枚を元に戻し、4枚のカード
をよく混ぜて、再び1枚を取り出して現れた数字を十の位とする。
このような操作を5回繰り返して、5桁の整数をつくる。得られた
整数をXとするとき、以下の問いに答えよ。
(１) Xに数字1がちょうど2回現れる確率を求めよ。
(２) Xに数字1と数字2がちょうど1回ずつ現れる確率を求めよ。
(３) Xにちょうど2回現れる数字が1種類以上ある確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
1が2回、1以外の数が3回現れればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _5C_2\left(\frac{1}{4}\right)^2\left(\frac{3}{4}\right)^3=\underline{\ \frac{135}{512}\ }\end{align*}}$
(２)
1が1回、2が1回、3または4が3回現れればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _5C_1\cdot _4C_1\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{2}{4}\right)^3=\underline{\ \frac{5}{32}\ }\end{align*}}$
(３)
(ア) 5数の組み合わせが○○□△☆ の場合
○の数の選び方は4通りあり、
5数の並べ方は、5C2・3! 通りなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4\cdot _5C_2\cdot 3!\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^2\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{240}{4^5}\end{align*}}$
(イ) 5数の組み合わせが○○□□□ の場合
○の数の選び方は4通り、□の数の選び方は3通りあり、
5数の並べ方は、5C2 通りなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4\cdot 3\cdot _5C_2\cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2\left(\frac{1}{4}\right)^3=\frac{120}{4^5}\end{align*}}$
(ウ) 5数の組み合わせが○○□□△ の場合
○、□の選び方は4C2通り、△の選び方は2通りあり、
5数の並べ方は、5C2・3C2 通りなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _4C_2\cdot 2\cdot_5C_2\cdot _3C_2\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^2\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^2\cdot\frac{1}{4}=\frac{360}{4^5}\end{align*}}$
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{240}{4^5}+\frac{120}{4^5}+\frac{360}{4^5}=\underline{\ \frac{45}{64}\ }\end{align*}}$
(３)は(イ)のパターンを忘れないように！！
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- 2018/10/26(金) 01:13:00|
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第４問
四面体ABCDにおいて、辺ABの中点をM、辺CDの中点を
Nとする。以下の問いに答えよ。
(１) 等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PA}+\overrightarrow{\sf PB}=\overrightarrow{\sf PC}+\overrightarrow{\sf PD}\end{align*}}$
を満たす点Pは存在するか。証明をつけて答えよ。
(２) 点Qが等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf QA}+\overrightarrow{\sf QB}|=|\overrightarrow{\sf QC}+\overrightarrow{\sf QD}|\end{align*}}$
を満たしながら動くとき、点Qが描く図形を求めよ。
(３) 点Rが等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf RA}|^2+|\overrightarrow{\sf RB}|^2=|\overrightarrow{\sf RC}|^2+|\overrightarrow{\sf RD}|^2\end{align*}}$
を満たしながら動くとき、内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MN}\cdot\overrightarrow{\sf MR}\end{align*}}$ はRのとり方によらず
一定であることを示せ。
(４) (２)の点Qが描く図形と(３)の点Rが描く図形が一致する
ための必要十分条件は $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AB}|=|\overrightarrow{\sf CD}|\end{align*}}$ であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
与式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\overrightarrow{\sf PA}+\overrightarrow{\sf PB}}{2}=\frac{\overrightarrow{\sf PC}+\overrightarrow{\sf PD}}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf PM}=\overrightarrow{\sf PN}\end{align*}}$
と変形できるが、四面体ABCDにおいてM、Nが一致することは
あり得ないので、この式を満たす点Pは存在しない。
(２)
与式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\frac{\overrightarrow{\sf QA}+\overrightarrow{\sf QB}}{2}\right|=\left|\frac{\overrightarrow{\sf QC}+\overrightarrow{\sf QD}}{2}\right|\ \ \Leftrightarrow\ \ \left|\overrightarrow{\sf QM}\right|=\left|\overrightarrow{\sf QN}\right|\end{align*}}$
と変形できるので、Qは2点M、Nから距離にある。
よっって、Qが描く図形は、線分MNの中点を通って、
MNと垂直な平面である。
(３)
左辺$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\overrightarrow{\sf MA}-\overrightarrow{\sf MR}|^2+|\overrightarrow{\sf MB}-\overrightarrow{\sf MR}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\overrightarrow{\sf MA}|^2+|\overrightarrow{\sf MB}|^2-2\left(\overrightarrow{\sf MA}+\overrightarrow{\sf MB}\right)\cdot\overrightarrow{\sf MR}+2|\overrightarrow{\sf MR}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2|\overrightarrow{\sf MA}|^2+2|\overrightarrow{\sf MR}|^2\ \ \ \ \left(\because \overrightarrow{\sf MB}=-\overrightarrow{\sf MA}\right)\end{align*}}$
右辺$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\overrightarrow{\sf MC}-\overrightarrow{\sf MR}|^2+|\overrightarrow{\sf MD}-\overrightarrow{\sf MR}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\overrightarrow{\sf MC}|^2+|\overrightarrow{\sf MD}|^2-2\left(\overrightarrow{\sf MC}+\overrightarrow{\sf MD}\right)\cdot\overrightarrow{\sf MR}+2|\overrightarrow{\sf MR}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\overrightarrow{\sf MC}|^2+|\overrightarrow{\sf MD}|^2-4\overrightarrow{\sf MN}\cdot\overrightarrow{\sf MR}+2|\overrightarrow{\sf MR}|^2\ \ \ \ \left(\because \overrightarrow{\sf MN}=\frac{\overrightarrow{\sf MC}+\overrightarrow{\sf MD}}{2}\right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2|\overrightarrow{\sf MA}|^2+2|\overrightarrow{\sf MR}|^2=|\overrightarrow{\sf MC}|^2+|\overrightarrow{\sf MD}|^2-4\overrightarrow{\sf MN}\cdot\overrightarrow{\sf MR}+2|\overrightarrow{\sf MR}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf MN}\cdot\overrightarrow{\sf MR}=\frac{1}{4}\left(|\overrightarrow{\sf MC}|^2+|\overrightarrow{\sf MD}|^2-2|\overrightarrow{\sf MA}|^2\right)\end{align*}}$
となるので、内積 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MN}\cdot\overrightarrow{\sf MR}\end{align*}}$ はRのとり方によらず一定である。
(４)
(２)の点Qと(３)の点Rが同じ図形を描くためには
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf RM}|=|\overrightarrow{\sf RN}|\end{align*}}$
であればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf RM}|^2=|\overrightarrow{\sf RN}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf MR}|^2=|\overrightarrow{\sf MN}-\overrightarrow{\sf MR}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\overrightarrow{\sf MN}|^2-2\overrightarrow{\sf MN}\cdot\overrightarrow{\sf MR}+|\overrightarrow{\sf MR}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\overrightarrow{\sf MN}\cdot\overrightarrow{\sf MR}=|\overrightarrow{\sf MN}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}\left(|\overrightarrow{\sf MC}|^2+|\overrightarrow{\sf MD}|^2-2|\overrightarrow{\sf MA}|^2\right)=\left|\frac{\overrightarrow{\sf MC}+\overrightarrow{\sf MD}}{2}\right|^2\end{align*}}$ ←(３)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2|\overrightarrow{\sf MC}|^2+2|\overrightarrow{\sf MD}|^2-4|\overrightarrow{\sf MA}|^2=|\overrightarrow{\sf MC}|^2+2\overrightarrow{\sf MC}\cdot\overrightarrow{\sf MD}+|\overrightarrow{\sf MD}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4|\overrightarrow{\sf MA}|^2=|\overrightarrow{\sf MC}|^2-2\overrightarrow{\sf MC}\cdot\overrightarrow{\sf MC}+|\overrightarrow{\sf MD}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\left|\frac{\overrightarrow{\sf AB}}{2}\right|^2=|\overrightarrow{\sf MD}-\overrightarrow{\sf MC}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf AB}|^2=|\overrightarrow{\sf CD}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf AB}|=|\overrightarrow{\sf CD}|\end{align*}}$
よって、題意は示された。
適当に式をいじっていれば最後までたどり着けると思いますよ。
ベクトルの計算は始点をそろえるのが基本です！
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- 2018/10/26(金) 01:14:00|
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第５問
0＜t＜3のとき、連立不等式
0≦y≦sinx
0≦x≦t－y
の表す領域をx軸のまわりに回転して得られる立体の体積を
V(t)とする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{d}{dt}V(t)=\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ となるtと、そのときのV(t)の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
直線y＝－x＋tのx切片はtであり、題意より
0＜t＜3＜$\scriptsize\sf{\pi}$
となるので、この直線は曲線y＝sinx（0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ ）と
ただ1つの共有点をもち、連立不等式の表す領域は
右図のようになる。
共有点のx座標をp (0＜p＜$\scriptsize\sf{\pi}$ ）とおくと、
－p＋t＝sinp ････①
よって、回転体の体積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V(t)=\pi\int_0^p\left(\sin x\right)^2dx+\pi\int_p^t(-x+t)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{2}\int_0^p\left(1-cos2p\right)dx+\pi\left[-\frac{1}{3}(-x+t)^3\right]_p^t\end{align*}}$ ←倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{2}\left[x-\frac{1}{2}\sin 2x\right]_0^p+\frac{\pi}{3}(t-p)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{2}\left(p-\frac{1}{2}\sin 2p\right)+\frac{\pi}{3}\sin^3 p\end{align*}}$ ←①より
となる。
両辺をpで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{d}{dp}V(t)=\frac{\pi}{2}\left(1-\cos 2p\right)+\pi\sin^2 p\cos p\end{align*}}$
であり、①の両辺をpで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1+\frac{dt}{dp}=\cos p\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{dp}{dt}=\frac{1}{1+\cos p}\end{align*}}$ ．
これらより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{d}{dt}V(t)=\frac{d}{dp}V(t)\cdot \frac{dp}{dt}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\pi}{4}=\left\{\frac{\pi}{2}\left(1-\cos 2p\right)+\pi\sin^2 p\cos p\right\}\cdot\frac{1}{1+\cos p}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1+\cos p=2-2\cos 2p+4\sin^2 p\cos p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos p=1-2\left(2\cos^2p-1\right)+4(1-\cos^2p)\cos p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\cos^3p-4\cos^2p-3\cos p+1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (\cos p+1)(4\cos^2p-3)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos p=-1\ ,\ \pm\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
0＜p＜$\scriptsize\sf{\pi}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\frac{\pi}{6}\ ,\ \frac{5\pi}{6}\end{align*}}$
(ア) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\frac{5\pi}{6}\end{align*}}$ のとき、①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{5\pi}{6}+\frac{1}{2}\end{align*}}$
を得るが、$\scriptsize\sf{\pi}$ ＞3なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5\pi}{6}+\frac{1}{2}>\frac{5}{6}\cdot 3+\frac{1}{2}>3\end{align*}}$
となり、0＜t＜3を満たさない。
(イ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\frac{\pi}{6}\end{align*}}$ のとき、①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ t=\frac{\pi}{6}+\frac{1}{2}\ }\end{align*}}$ （これは0＜t＜3を満たす。）
このとき、回転体の体積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V(t)=\frac{\pi}{2}\left(\frac{\pi}{6}-\frac{1}{2}\sin \frac{\pi}{3}\right)+\frac{\pi}{3}\sin^3\frac{\pi}{6}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi}{24}\left(2\pi-3\sqrt3+1\right)\ }\end{align*}}$
合成関数の微分
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dp}\cdot \frac{dp}{dt}\end{align*}}$
を用いるのがミソです。
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- 2018/10/26(金) 01:15:00|
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第６問
xy平面において、原点を中心としP(1，0)を頂点の1つとする
正六角形をXとする。Aを2次の正方行列とし、Xの各頂点(x，y)
に対して、行列Aの表す移動
$\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{x'}{y'}=A\binom{x}{y}\end{align*}}$
で得られる点(x’，y’)はXの辺上の点（頂点を含む）であるとする。
以下の問いに答えよ。
(１) 点Pが行列Aの表す移動でP自身に移るとき、Xの各頂点は
Xのいずれかの頂点に移ることを示せ。また、そのときの
行列Aを求めよ。
(２) 点Pが行列Aの表す移動でXのある頂点に移るとき、Xの各頂点は
Xのいずれかの頂点に移ることを示せ。また、そのときの行列Aを
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
PをP0とする。Xの他の頂点を右図のようにP1～P5とし、
P0～P5がAによって移される点をそれぞれQ0～Q5とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ_k}=A\ \overrightarrow{\sf OP_k}\ \ \ (k=0,1,\ldots ,5)\end{align*}}$ ････①
が成り立つ。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf Q_2Q_1}=\overrightarrow{\sf OQ_1}-\overrightarrow{\sf OQ_2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =A\ \overrightarrow{\sf OP_1}-A\ \overrightarrow{\sf OP_2}\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =A\left(\overrightarrow{\sf OP_1}-\overrightarrow{\sf OP_2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =A\ \overrightarrow{\sf P_2P_1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =A\ \overrightarrow{\sf OP_0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\overrightarrow{\sf OQ_0}\end{align*}}$ ･･･②
(１)
Q0はP0と一致するので、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf Q_2Q_1}=\overrightarrow{\sf OP_0}\end{align*}}$．
よって、
(ア) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf Q_2Q_1}=\overrightarrow{\sf P_2P_1}\end{align*}}$ (イ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf Q_2Q_1}=\overrightarrow{\sf P_4P_5}\end{align*}}$
の2つの場合が考えられ、Q1、Q2はともにX上の点なので、
いずれの場合も両辺のベクトルの始点と終点が一致する。
すなわち、
(ア) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ_1}=\overrightarrow{\sf OP_1}\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ_2}=\overrightarrow{\sf OP_2}\end{align*}}$
(イ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ_1}=\overrightarrow{\sf OP_5}\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ_2}=\overrightarrow{\sf OP_4}\end{align*}}$
となり、P1、P2ともXの頂点に移る。
このとき、k＝3，4，5に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ_k}=A\ \overrightarrow{\sf OP_k}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =A\ \left(-\overrightarrow{\sf OP_{k-3}}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-A\ \overrightarrow{\sf OP_{k-3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\overrightarrow{\sf OQ_{k-3}}\end{align*}}$
となるので、Q3、Q4、Q5はそれぞれQ0、Q1、Q2と原点について
対称な点である。
よって、P0～P2が頂点に移るとき、P3～P5も頂点に移る。･･･③
以上より、Xの各頂点はXのいずれかの頂点に移ることが示された。
ここで、2つの列ベクトル $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を並べてできる行列を $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\right)\end{align*}}$
のように表すことにすると、k＝1、2についても①が成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\overrightarrow{\sf OQ_1}\ ,\ \overrightarrow{\sf OQ_2}\right)=A\ \left(\overrightarrow{\sf OP_1}\ ,\ \overrightarrow{\sf OP_2}\right)\end{align*}}$ ････④
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\overrightarrow{\sf OP_1}\ ,\ \overrightarrow{\sf OP_2}\right)=\frac{1}{2}\binom{1\ \ -1}{\sqrt3\ \ \sqrt3}\end{align*}}$ ････⑤
のデターミナントを計算すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf det\left(\overrightarrow{\sf OP_1}\ ,\ \overrightarrow{\sf OP_2}\right)=\frac{\sqrt3}{4}+\frac{\sqrt3}{4}=\frac{\sqrt3}{2}\ne 0\end{align*}}$
となるので、④の両辺に右から⑤の逆行列をかけると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\left(\overrightarrow{\sf OQ_1}\ ,\ \overrightarrow{\sf OQ_2}\right)\left(\overrightarrow{\sf OP_1}\ ,\ \overrightarrow{\sf OP_2}\right)^{-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{\sqrt3}\left(\overrightarrow{\sf OQ_1}\ ,\ \overrightarrow{\sf OQ_2}\right)\binom{\sqrt3\ \ 1}{-\sqrt3\ \ 1}\end{align*}}$ ････(※)
を得る。
(ア)の場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{1}{\sqrt3}\left(\overrightarrow{\sf OP_1}\ ,\ \overrightarrow{\sf OP_2}\right)\binom{\sqrt3\ \ 1}{-\sqrt3\ \ 1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2\sqrt3}\binom{1\ \ -1}{\sqrt3\ \ \sqrt3}\binom{\sqrt3\ \ 1}{-\sqrt3\ \ 1}=\underline{\ \binom{1\ \ 0}{0\ \ 1}\ }\end{align*}}$
(イ)の場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{1}{\sqrt3}\left(\overrightarrow{\sf OP_5}\ ,\ \overrightarrow{\sf OP_4}\right)\binom{\sqrt3\ \ 1}{-\sqrt3\ \ 1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2\sqrt3}\binom{1\ \ -1}{-\sqrt3\ \ -\sqrt3}\binom{\sqrt3\ \ 1}{-\sqrt3\ \ 1}=\underline{\ \begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf -1 \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
(２)
n＝1，2，…，5とする。
Q0がPnと一致するとき、PnはP0を原点中心にn×60°だけ
回転させた点なので、回転移動を表す行列
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix} \sf \cos\frac{\pi}{3} &\sf -\sin\frac{\pi}{3}\\ \sf \sin\frac{\pi}{3} & \sf \cos\frac{\pi}{3} \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 1 &\sf -\sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
を用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ_0}=\overrightarrow{\sf OP_n}=B^n\ \overrightarrow{\sf OP_0}\end{align*}}$
と表すことができる。
よって、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf Q_2Q_1}=B^n\ \overrightarrow{\sf OP_0}\end{align*}}$
となり、
(ウ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf Q_2Q_1}=B^n\ \overrightarrow{\sf P_2P_1}\end{align*}}$ (エ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf Q_2Q_1}=B^n\ \overrightarrow{\sf P_4P_5}\end{align*}}$
の2つの場合が考えられる。
これらは(１)の(ア)、(イ)の場合をそれぞれ原点中心にn×60°
だけ回転させたことになるので、
(ウ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ_1}=B^n\ \overrightarrow{\sf OP_1}\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ_2}=B^n\ \overrightarrow{\sf OP_2}\end{align*}}$
(エ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ_1}=B^n\ \overrightarrow{\sf OP_5}\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ_2}=B^n\ \overrightarrow{\sf OP_4}\end{align*}}$
となり、P1、P2ともXの頂点に移る。
このときも③と同様に考えられるので、Xの各頂点はXのいずれかの
頂点に移ることになり、題意は示された。
(※)を用いて行列Aを求めると、
(ウ)の場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{1}{\sqrt3}\left(B^n\ \overrightarrow{\sf OP_1}\ ,\ B^n\ \overrightarrow{\sf OP_2}\right)\binom{\sqrt3\ \ 1}{-\sqrt3\ \ 1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sqrt3}\ B^n\ \left(\overrightarrow{\sf OP_1}\ ,\ \overrightarrow{\sf OP_2}\right)\binom{\sqrt3\ \ 1}{-\sqrt3\ \ 1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2\sqrt3}\ B^n\ \binom{1\ \ -1}{\sqrt3\ \ \sqrt3}\binom{\sqrt3\ \ 1}{-\sqrt3\ \ 1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =B^n\end{align*}}$
(エ)の場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{1}{\sqrt3}\left(B^n\ \overrightarrow{\sf OP_5}\ ,\ B^n\ \overrightarrow{\sf OP_4}\right)\binom{\sqrt3\ \ 1}{-\sqrt3\ \ 1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sqrt3}\ B^n\ \left(\overrightarrow{\sf OP_5}\ ,\ \overrightarrow{\sf OP_4}\right)\binom{\sqrt3\ \ 1}{-\sqrt3\ \ 1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2\sqrt3}\ B^n\ \binom{1\ \ -1}{-\sqrt3\ \ \sqrt3}\binom{-\sqrt3\ \ 1}{-\sqrt3\ \ 1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =B^n\ \begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf -1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=B^n\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf \pm1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left\{\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 1 &\sf -\sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf 1 \end{pmatrix}\right\}^n\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf \pm1 \end{pmatrix}\ \ \ (n=0,1,2,\ldots ,5)}\end{align*}}$
となる。ただし、B0は単位行列を表す。
これは難しいでしょうねぇ。試験場では捨てた方がいいかもしれません(笑)
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/26(金) 01:16:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2010
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