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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010東北大 理系数学1



第1問

  f(x)=x3+3x2-9xとする。y<x<aを満たす全てのx、yに
  対して
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)>\frac{\left(x-y\right)f\ (a)+\left(a-x\right)f\ (y)}{a-y}\end{align*}}$
  が成り立つようなaの範囲を求めよ。




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  1. 2018/10/26(金) 01:11:00|
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2010東北大 理系数学2



第2問

  a、bを正の実数とする。曲線C:y=x3-a2x+a3と点P(b,0)を
  考える。以下の問いに答えよ。

 (1) 点Pから曲線Cに接線がちょうど3本引けるような点(a,b)の
    存在する領域を図示せよ。

 (2) 点Pから曲線Cに接線がちょうど2本引けるとする。2つの接点を
    A、Bとしたとき、∠APBが90°より小さくなるためのaとbの条件
    を求めよ。



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2010東北大 理系数学3



第3問

  1、2、3、4の数字が1つずつ書かれた4枚のカードを用いて、
  次の手順で5桁の整数をつくる。まず1枚を取り出して現れた
  数字を一の位とする。取り出した1枚を元に戻し、4枚のカード
  をよく混ぜて、再び1枚を取り出して現れた数字を十の位とする。
  このような操作を5回繰り返して、5桁の整数をつくる。得られた
  整数をXとするとき、以下の問いに答えよ。

 (1) Xに数字1がちょうど2回現れる確率を求めよ。

 (2) Xに数字1と数字2がちょうど1回ずつ現れる確率を求めよ。

 (3) Xにちょうど2回現れる数字が1種類以上ある確率を求めよ。



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2010東北大 理系数学4



第4問

  四面体ABCDにおいて、辺ABの中点をM、辺CDの中点を
  Nとする。以下の問いに答えよ。

 (1) 等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PA}+\overrightarrow{\sf PB}=\overrightarrow{\sf PC}+\overrightarrow{\sf PD}\end{align*}}$
    を満たす点Pは存在するか。証明をつけて答えよ。

 (2) 点Qが等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf QA}+\overrightarrow{\sf QB}|=|\overrightarrow{\sf QC}+\overrightarrow{\sf QD}|\end{align*}}$
    を満たしながら動くとき、点Qが描く図形を求めよ。

 (3) 点Rが等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf RA}|^2+|\overrightarrow{\sf RB}|^2=|\overrightarrow{\sf RC}|^2+|\overrightarrow{\sf RD}|^2\end{align*}}$
    を満たしながら動くとき、内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MN}\cdot\overrightarrow{\sf MR}\end{align*}}$ はRのとり方によらず
    一定であることを示せ。

 (4) (2)の点Qが描く図形と(3)の点Rが描く図形が一致する
    ための必要十分条件は $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AB}|=|\overrightarrow{\sf CD}|\end{align*}}$ であることを示せ。



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2010東北大 理系数学5



第5問

  0<t<3のとき、連立不等式
       0≦y≦sinx
       0≦x≦t-y
  の表す領域をx軸のまわりに回転して得られる立体の体積を
  V(t)とする。
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{d}{dt}V(t)=\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ となるtと、そのときのV(t)の値を求めよ。




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2010東北大 理系数学6



第6問

  xy平面において、原点を中心としP(1,0)を頂点の1つとする
  正六角形をXとする。Aを2次の正方行列とし、Xの各頂点(x,y)
  に対して、行列Aの表す移動
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{x'}{y'}=A\binom{x}{y}\end{align*}}$
  で得られる点(x’,y’)はXの辺上の点(頂点を含む)であるとする。
  以下の問いに答えよ。

 (1) 点Pが行列Aの表す移動でP自身に移るとき、Xの各頂点は
    Xのいずれかの頂点に移ることを示せ。また、そのときの
    行列Aを求めよ。

 (2) 点Pが行列Aの表す移動でXのある頂点に移るとき、Xの各頂点は
    Xのいずれかの頂点に移ることを示せ。また、そのときの行列Aを
    求めよ。





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