第３問
pを3以上の素数とする。4個の整数a、b、c、dが次の3条件
a＋b＋c＋d＝0
ad－bc＋p＝0
a≧b≧c≧d
を満たすとき、a、b、c、dをpを用いて表せ。
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【解答】
a＋b＋c＋d＝0 ･･････①
ad－bc＋p＝0 ･･････②
a≧b≧c≧d ･･････③
①を②に代入すると、
ad－b(－a－b－d)＋p＝0
⇔ p＝－(ab＋ad＋b2＋bd)
⇔ p＝－(a＋b)(d＋b) ･･････④
③より、a＋b≧d＋b であり、④においてp＞0なので、
a＋b＞0 かつ d＋b＜0
また、④においてpは素数なので、
(ア) a＋b＝1、 d＋b＝－p
(イ) a＋b＝p、 d＋b＝－1
の2つの場合が考えられる。
(ア)の場合
a＋b＝1と①より、c＋d＝－1．
③より、
b＋d≧c＋d
⇔ －p≧－1
⇔ p≦1
これはpが3以上であることに反する。
(イ)の場合
b＋d＝－1と①より、a＋c＝1．
これらと③より
c≧d
⇔ 1－a≧－1－b
⇔ a≦b＋2．
これと、③より
b≦a≦b＋2 ･････⑤
ここでpは3以上の素数なので奇数であり、
このこととa＋b＝p ･････⑥ および⑤より
a＝b＋1 ･････⑦
となる。
⑥、⑦を連立させて解くと、
であり、
pは素数なので、p＝1×pです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2013/11/18(月) 23:00:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都大 文系 2007
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