第３問
はじめに、Ａが赤玉を１個、Ｂが白玉を１個、Ｃが青玉を１個もっている。
表裏の出る確率がそれぞれ２分の１の硬貨を投げ、表が出ればＡとＢの
玉を交換し、裏が出ればＢとＣの玉を交換する、という操作を考える。
この操作をｎ回（ｎ＝１，２，３，･･･）繰り返した後に、Ａ、Ｂ、Ｃが赤玉を
持っている確率をそれぞれａn、ｂn、ｃnとおく。
(１) ａ１、ｂ１、ｃ１、ａ２、ｂ２、ｃ２を求めよ。
(２) ａn+1、ｂn+1、ｃn+1をａn、ｂn、ｃnで表せ。
(３) ａn、ｂn、ｃnを求めよ。
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【解答】
(１)
右図より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ b_1=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ c_1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_2=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ b_2=\frac{1}{4}\ \ ,\ \ c_1=\frac{1}{4}\end{align*}}$
(１)は、あれやこれや考えるより、書き出した方が確実です。
(２)
・ｎ回の操作後にＡが赤玉を持っている状態で、
表が出ると、Ｂが赤玉
裏が出ると、Ａが赤玉
・ｎ回の操作後にＢが赤玉を持っている状態で、
表が出ると、Ａが赤玉
裏が出ると、Ｃが赤玉
・ｎ回の操作後にＣが赤玉を持っている状態で、
表が出ると、Ｃが赤玉
裏が出ると、Ｂが赤玉
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=\frac{1}{2}\ a_n+\frac{1}{2}\ b_n\end{align*}}$ ････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{n+1}=\frac{1}{2}\ a_n+\frac{1}{2}\ c_n\end{align*}}$ ････②
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_{n+1}=\frac{1}{2}\ b_n+\frac{1}{2}\ c_n\end{align*}}$ ････③
(３)
ａn＋ｂn＋ｃn＝１ ････④ を②に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{n+1}=\frac{1}{2}\ (1-\ b_n)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}\ \left(\ b_n-\frac{1}{3}\right)\end{align*}}$
数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{Bmatrix} \sf \ b_n-\frac{1}{3} \end{Bmatrix}\end{align*}}$ は、初項 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ 、公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}\end{align*}}$ の等比数列なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\ \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\ \ \Leftrightarrow\ \ b_n=\underline{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\ \ }\end{align*}}$ ････②’
一方、①－③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}-c_{n+1}=\frac{1}{2}\ (a_n-c_n)\end{align*}}$
数列 {ａn－ｃn}は、初項 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ 、公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ の等比数列なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n-c_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\end{align*}}$ ････⑤
また、④、②’より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n+c_n=1-b_n=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\end{align*}}$ ････⑥
(⑤＋⑥)÷２より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\underline{\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1}\ \ }\end{align*}}$
(⑥－⑤)÷２より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_n=\underline{\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1}\ \ }\end{align*}}$
ａn＋ｂn＋ｃn＝１という条件を忘れてはいけません。
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- 2018/10/21(日) 01:07:00|
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第４問
ｘｙ平面上でｘ座標とｙ座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{2}x\end{align*}}$ のグラフ上に無限個の格子点が存在することを示せ。
(２) ａ、ｂは実数でａ≠０とする。ｙ＝ａｘ2＋ｂｘのグラフ上に、点(０，０)
以外に格子点が２個存在するならば、無限個存在することを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
ｘ＝６ｎ（ｎは整数）のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{3}\cdot(6n)^2+\frac{1}{2}\cdot6n=12n^2+3n\end{align*}}$
となり、ｙも整数となる。
よって、任意の整数ｎに対して、格子点(ｎ，12ｎ2＋３ｎ)を通るので、
無限個存在することになる。
(２)
ｙ＝ａｘ2＋ｂｘが、原点以外に２個の格子点
(ｐ1，ｑ1)、(ｐ2，ｑ2) （ただし、ｐ1≠０、ｐ2≠０、ｐ1≠ｐ2 ････(※)）
を通るとすると、
ａｐ12＋ｂｐ1＝ｑ1 ････①
ａｐ22＋ｂｐ2＝ｑ2 ････②
①×ｐ2－②×ｐ1を計算すると、
ａ ｐ1ｐ2(ｐ1－ｐ2)＝ｐ2ｑ1－ｐ1ｑ2
(※)より、ｐ1ｐ2(ｐ1－ｐ2)≠０なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{p_2q_1-p_1q_2}{p_1p_2(p_1-p_2)}\end{align*}}$
ここで、ｐ1、ｐ2、ｑ1、ｑ2は整数なので、ａは有理数である。
また、①と、ｐ1≠０より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=-a\ p_1+\frac{q_1}{p_1}\end{align*}}$
ｐ1、ｑ1は整数で、ａは有理数なので、ｂも有理数である。
よって、２つの有理数ａ、ｂはそれぞれ、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{t_1}{s_1}\ \ ,\ \ b=\frac{t_2}{s_2}\end{align*}}$ （ｓ1、ｓ2、ｔ1、ｔ2は整数で、ｓ1≠０、ｓ2≠０）
と表せるので、与えられた二次関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{t_1}{s_1}\ x^2+\frac{t_2}{s_2}\ x\end{align*}}$
となる。ここで、ｘ＝ｋ ｓ1ｓ2 （ｋは整数）とすると、
ｙ＝ｋ2ｓ1ｓ22ｔ1＋ｋｓ1ｔ2
となり、ｙも整数になる。
よって、この二次関数のグラフは任意の整数ｋに対して
格子点(ｋ ｓ1ｓ2，ｋ2ｓ1ｓ22ｔ1＋ｋｓ1ｔ2)を通るので、
無限個存在することになる。
ａ、ｂが有理数であることさえ言えれば、(１)のようにするだけなのですが･･･
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