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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010名古屋大 理系数学1



第1問

  座標空間内に8点
    O(0,0,0)、P(1,0,0)、Q(1,1,0)、R(0,1,0)
    A(0,0,1)、B(1,0,1)、C(1,1,1)、D(0,1,1)
  をとり、線分BCの中点をMとする。線分RD上の点をN(0,1,t)とし、
  3点O、M、Nを通る平面と線分PDおよび線分PBとの交点をそれぞれ
  K、Lとする。

 (1) Kの座標をtで表せ。

 (2) 四面体OKLPの体積をV(t)とする。Nが線分RからDまで動くとき、
    V(t)の最大値と最小値およびそれらを与えるtの値をそれぞれ求めよ。





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  1. 2018/10/21(日) 01:05:00|
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2010名古屋大 理系数学2




第2問

  関数f(x)=(x2-x)e-xについて、次の問いに答えよ。
  必要ならば、任意の自然数nに対して、
     $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\ x^n\ e^{-x}=0\end{align*}}$
  が成り立つことを用いてもよい。

 (1) y=f(x)のグラフの変曲点を求め、グラフの概形をかけ。

 (2) a>0とする。点(0,a)を通るy=f(x)のグラフの接線がただ1本だけ
    存在するようなaの値を求めよ。また、aがその値をとるとき、y=f(x)
    のグラフ、その接線およびy軸で囲まれた図形の面積を求めよ。




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2010名古屋大 理系数学3




第3問

  はじめに、Aが赤玉を1個、Bが白玉を1個、Cが青玉を1個もっている。
  表裏の出る確率がそれぞれ2分の1の硬貨を投げ、表が出ればAとBの
  玉を交換し、裏が出ればBとCの玉を交換する、という操作を考える。
  この操作をn回(n=1,2,3,・・・)繰り返した後に、A、B、Cが赤玉を
  持っている確率をそれぞれan、bn、cnとおく。

 (1) a、b、c、a、b、cを求めよ。

 (2) an+1、bn+1、cn+1をan、bn、cnで表せ。

 (3) an、bn、cnを求めよ。



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2010名古屋大 理系数学4




第4問

  xy平面上でx座標とy座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{2}x\end{align*}}$ のグラフ上に無限個の格子点が存在することを示せ。

 (2) a、bは実数でa≠0とする。y=ax2+bxのグラフ上に、点(0,0)
    以外に格子点が2個存在するならば、無限個存在することを示せ。



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