青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　文系　2008

2008京都大　文系数学１

第１問

　　実数a、b、cに対して
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　とする。このとき
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　であることを示せ。

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2013/11/11(月) 23:54:00|

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2008京都大　文系数学２

第２問

　　ＡＢ＝ＡＣである二等辺三角形ＡＢＣを考える。辺ＡＢの中点をＭとし、
　　辺ＡＢを延長した直線上に点Ｎを、ＡＮ：ＮＢ＝２：１となるようにとる。
　　このとき、∠ＢＣＭ＝∠ＢＣＮとなることを示せ。ただし、点Ｎは辺ＡＢ
　　上にないものとする。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　△ＡＭＣと△ＡＣＮにおいて、題意より
　　　　　　　　ＡＢ＝ＡＣ＝ＢＮかつ　ＡＭ＝ＢＭ
　　　なので、
　　　　　　　　ＡＭ：ＡＣ＝ＡＣ：ＡＮ＝１：２．
　　　また、∠Ａ共通なので、△ＡＭＣ∽△ＡＣＮ．
　　　よって、∠ＡＣＭ＝∠ＡＮＣ････①

　　　△ＢＣＮにおいて、
　　　　　　　∠ＢＣＮ＝∠ＡＢＣ－∠ＣＮＢ
　　　△ＡＢＣにおいて、
　　　　　　　∠ＢＣＭ＝∠ＡＣＢ－∠ＡＣＭ．
　　　
　　　△ＡＢＣは二等辺三角形なので
　　　　　　　∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ　
　　　であり、このことと①より
　　　　　　　∠ＢＣＭ＝∠ＢＣＮ
　　　となる。

　　他にも色々な考え方ができると思います。　　

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2013/11/12(火) 06:57:00|

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2008京都大　文系数学３

第３問

　　定数ａは実数であるとする。方程式
　　　　　(ｘ²＋ａｘ＋１)(３ｘ²－ａｘ－３)＝０
　　を満たす実数ｘはいくつあるか。ａの値によって分類せよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　(ｘ²＋ａｘ＋１)(３ｘ²－ａｘ－３)＝０　････(※)

　　２つの二次方程式
　　　　　　　　ｘ²＋ａｘ＋１＝０　････①
　　　　　　　　３ｘ²－ａｘ－３＝０　････②
　　の判別式をそれぞれＤ₁、Ｄ₂とすると、
　　　　　　　　Ｄ₁＝ａ²－４＝(ａ－２)(ａ＋２)
　　となるので、①は
　　　　　　　　－２＜ａ＜２のとき、虚数解
　　　　　　　　ａ＝±２のとき、重解
　　　　　　　　ａ＜－２、２＜ａのとき、異なる２つの実数解
　　をもつ。また、
　　　　　　　　Ｄ₂＝ａ²＋36＞０
　　より、②はａの値によらず、異なる２つの実数解をもつ。

　　①と②が共通解をもつ場合を考える。共通解をｐとおくと、
　　　　　　　　ｐ²＋ａｐ＋１＝０　････①’
　　　　　　　　３ｐ²－ａｐ－３＝０　････②’
　　であり、これら２式を辺々加えると、
　　　　　　　　 $\rm 4p^2-2=0　\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\pm\frac{1}{\sqrt2}$
　　 $\rm (i)\ \ p=\frac{1}{\sqrt2}$ 　のとき
　　　　①’、②’よりａの値を求めると、
　　　　　　　　 $\rm a=-\frac{3}{\sqrt2}$
　　　　となり、このときの①および②の解はそれぞれ、
　　　　　　　　 $\rm x=\frac{1}{\sqrt2}\ \ ,\ \sqrt2\ \ \ ,\ \ \ \ x=\frac{1}{\sqrt2}\ \ ,\ -\sqrt2$
　　　　なので、(※)は異なる３個の実数解をもつ。

　　 $\rm (ii)\ \ p=-\frac{1}{\sqrt2}$ 　のとき
　　　　①’、②’よりａの値を求めると、
　　　　　　　　 $\rm a=\frac{3}{\sqrt2}$
　　　　となり、このときの①および②の解はそれぞれ、
　　　　　　　　 $\rm x=-\frac{1}{\sqrt2}\ \ ,\ -\sqrt2\ \ \ ,\ \ \ \ x=-\frac{1}{\sqrt2}\ \ ,\ \sqrt2$
　　　　なので、(※)は異なる３個の実数解をもつ。

　　以上より、(※)の異なる実数解の個数は、
　　　　　　　　 $\rm -2<a<2$ 　のとき２個
　　　　　　　　 $\rm a=\pm 2\ ,\ \pm\frac{3}{\sqrt2}$ 　のとき３個
　　　　　　　　 $\rm a<-\frac{3}{\sqrt2}\ ,\ -\frac{3}{\sqrt2}<a<-2\ ,\ 2<a<\frac{3}{\sqrt2}\ ,\ \frac{3}{\sqrt2}<a$ 　のとき４個
　　となる。

　　共通解があることを忘れちゃダメです！　　

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2013/11/13(水) 23:48:00|

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2008京都大　文系数学４

第４問

　　0≦x＜2πのとき、方程式
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　を満たすxの個数を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　とおくと、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　であり、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　なので、与式は
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　････①
　　　と変形できる。

　　　また、tは
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　と合成できるので
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　･････②
　　　において、tのとり得る値の範囲は
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　････③
　　　である。

　　　ここで、①の左辺をtの関数とみなしてf(t)とおくと、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　なので、③の範囲におけるf(t)の増減は次のようになる。

　　　　　　　

　　　これより、tについての方程式①は
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　の範囲にただ1つの実数解をもつ。
　　　これをAとおくと、
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　なので、これを満たすxの値は②の範囲に2個ある。

　　　よって、実数解xの個数は2個である。

　　①の左辺は因数分解できそうにないので、グラフで考えましょう。　　

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2013/11/14(木) 23:45:00|

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2008京都大　文系数学５

第５問

　　正n角形とその外接円を合わせた図形をFとする。F上の点Pに対して、
　　始点と終点がともにPであるような、図形Fの一筆がきの経路の数を
　　N(P)で表す。正n角形の頂点をひとつとってAとし、a＝N(A)とおく。
　　また正n角形の辺をひとつとってその中点をBとし、b＝N(B)とおく。
　　このときaとbを求めよ。

　　注：一筆がきとは、図形を，かき始めから終わりまで、筆を紙から
　　　　はなさず、また同じ線上を通らずにかくことである。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　【aについて】
　　　正n角形の頂点を左回りにA₁～A_nとし、a＝N(A₁)を
　　　考える。
　　　A₁→A₂と左回りにかき始めた場合、一筆書きの経路は
　　　次の3つのパターンが考えられる。

　　　(ア)左回りに2周する場合．
　　　　　各頂点間の経路は弧と弦の2通りずつあるので、
　　　　　その総数は2^n-1通りある。
　　　(ウ)左回りにちょうど1周し、次に右回りに1周する場合．
　　　　　(ア)と同様に2ⁿ通り
　　　(イ)途中の頂点A_k（2≦k≦n）まで左回り、そこから右回りで
　　　　　ちょうど1周した後、左回りでA₁に戻る場合．
　　　　　A_kの選び方がn－1通りあり、各頂点間の経路の総数は
　　　　　(ア)と同様に2ⁿ通りなので、(n－1)2ⁿ通り

　　　　

　　　(ア)～(ウ)より
　　　　　　2ⁿ＋2ⁿ＋(n－1)2ⁿ＝(n＋1)2ⁿ通り
　　　であり、A₁→A_nとかき始める場合も同数だけあるので、
　　　　　　a＝(n＋1)2ⁿ×2＝(n＋1)2ⁿ⁺¹
　　　となる。

　【bについて】
　　　正n角形の頂点を左回りにA₁～A_nとし、A₁A_nの中点を
　　　Bとする。
　　　B→A₁と左回りにかき始めた場合、最後はA_n→Bとかいて
　　　おわるので、途中の経路は、次の4つのパターンが
　　　考えられる。

　　　(エ)左回りのままA_nまで約2周する場合．
　　　　　A₁A_n間の経路は1通りであり、それ以外の頂点間の
　　　　　経路は弧と弦の2通りずつあるので、
　　　　　その総数は2^n-1通りある。
　　　(オ)A₁から左回りでA_nまでかき、次に右回りでちょうど1周かく場合．
　　　　　(エ)と同様2^n-1通り
　　　(カ)A₁から右回りにちょうど1周し、次に右回りでA_nまでかく場合．
　　　　　(エ)と同様2^n-1通り
　　　(キ)頂点A_k（2≦k≦n－1）まで左回り、そこから右回りでちょうど
　　　　　1周かいた後、左回りでA_nまでかく場合．
　　　　　A_kの選び方がn－2通りあり、各頂点間の経路の総数は
　　　　　(エ)と同様に2^n-1通りなので、(n－2)2^n-1通り

　　　　　

　　　(エ)～(キ)より
　　　　　　2^n-1＋2^n-1＋2^n-1＋(n－2)2^n-1＝(n＋1)2^n-1通り
　　　であり、B→A_nとかき始める場合も同数だけあるので、
　　　　　　b＝(n＋1)2^n-1×2＝(n＋1)2ⁿ
　　　となる。

　　各頂点間の経路は2本しかないので、方向転換する回数は最大でも2回です。
　　それを基準にして場合分けすると考えやすいと思います。
　　　文系にしては少し厳しい問題じゃないかなぁと思います。　　

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2013/11/15(金) 23:57:00|

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