第３問
pを3以上の素数とする。4個の整数a、b、c、dが次の3条件
a＋b＋c＋d＝0
ad－bc＋p＝0
a≧b≧c≧d
を満たすとき、a、b、c、dをpを用いて表せ。
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【解答】
a＋b＋c＋d＝0 ･･････①
ad－bc＋p＝0 ･･････②
a≧b≧c≧d ･･････③
①を②に代入すると、
ad－b(－a－b－d)＋p＝0
⇔ p＝－(ab＋ad＋b2＋bd)
⇔ p＝－(a＋b)(d＋b) ･･････④
③より、a＋b≧d＋b であり、④においてp＞0なので、
a＋b＞0 かつ d＋b＜0
また、④においてpは素数なので、
(ア) a＋b＝1、 d＋b＝－p
(イ) a＋b＝p、 d＋b＝－1
の2つの場合が考えられる。
(ア)の場合
a＋b＝1と①より、c＋d＝－1．
③より、
b＋d≧c＋d
⇔ －p≧－1
⇔ p≦1
これはpが3以上であることに反する。
(イ)の場合
b＋d＝－1と①より、a＋c＝1．
これらと③より
c≧d
⇔ 1－a≧－1－b
⇔ a≦b＋2．
これと、③より
b≦a≦b＋2 ･････⑤
ここでpは3以上の素数なので奇数であり、
このこととa＋b＝p ･････⑥ および⑤より
a＝b＋1 ･････⑦
となる。
⑥、⑦を連立させて解くと、
であり、
pは素数なので、p＝1×pです。
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- 2013/11/08(金) 23:54:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都大 理系 2007甲
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第４問
△ABC において、∠Aの二等分線とこの三角形の外接円との
交点でAと異なる点をA’とする。同様に∠B、∠Cの二等分線と
この外接円との交点をそれぞれB’、C’とする。このとき3直線
A A’、BB’、C C’は1点Hで交わり、この点Hは三角形A’B’
C’の垂心と一致することを証明せよ。
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【解答】
AA’とBB’の交点をIとし、IからBC、CA、ABに
下ろした垂線の足をそれぞれP、Q、Rとする。
直角三角形の斜辺と1鋭角相等より、
△IAR≡△IAQ かつ △IBR≡△IBP
なので、IP＝IQ＝IRである。
よって、直角三角形の斜辺と他の一辺相等より、
△ICP≡△ICQ
となるので、∠ICP＝∠ICQである。
よって、∠Cの二等分線CC’もIを通ることになる
ので、3直線A A’、BB’、C C’は1点Iで交わる。
以下は、この点をHとする。
AA’とB’C’の交点をEとし、
∠CAB＝2a
∠ABC＝2b
∠BCA＝2c
とおくと、
2a＋2b＋2c＝180°
⇔ a＋b＋c＝90° ････①
であり、円周角の定理より
∠A’C’C＝a
∠B’C’C＝b
∠C’A’A＝c
となる。
よって、△A’C’Eの内角を考えると、
∠A’EC’＝180°－(∠A’C’E＋∠C’A’E)
＝180°－(a＋b＋c)
＝90° ←①より
となるので、AA’⊥B’C’である。
同様に考えると、BB’⊥C’A’、CC’⊥A’B’
となるので、AA’、BB’、CC’の交点である点Hは、
△A’B’C’の垂心である。
こういう問題は、高校生より中学生の方が得意そうですね。
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- 2013/11/08(金) 23:57:00|
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