第1問
(1) 0＜r＜Rとする。xyz空間において、原点Oを中心とし
半径がRの球を考える。その球を平面x=rで分けた2つ
の部分のうち、Oを含まない部分の体積を求めよ。
(2) 正四面体Vを考える。Vの4頂点をA、B、C、Dとする。
Vの重心Gは、三角形BCDの重心をMとするとき、AM
を3:1に内分する点である。Gを中心としGMを半径と
する球はVに内接している。Gを中心とする球Sがあり、
Vの各面とSの共通部分はその面(正三角形)の内接円
となっている。このとき、Vの1辺の長さを6$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ として、
次の問いに答えよ．
(ⅰ)線分GMの長さとVの体積を求めよ。
(ⅱ)Sの半径とSの体積を求めよ。
(ⅲ)VとSの共通部分をV1とし、VからV1を除いた部分を
V2とする。V2の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
xy平面において、原点O中心で半径Rの円x2+y2=R2
を考え、この円を直線x=r (0＜r＜R)で分けた2つの
部分のうち、Oを含まない部分をKとする。
Kをx軸の周りに回転してできる立体の体積は、求める
体積に等しいので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \pi\int_r^Ry^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_r^R(R^2-x^2)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\bigg[R^2x-\frac{1}{3}x^3\bigg]_r^R\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi}{3}\left(r^3-3R^2r+2R^3\right)\ }\end{align*}}$ ．
(2)
(ⅰ) CDの中点をEとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BE=BC\sin 60^{\circ}=6\sqrt2\times\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt6\end{align*}}$
であり、Mは△BCDの重心なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BM=\frac{2}{3}BE=2\sqrt6\end{align*}}$ ．
AM⊥平面BCDなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{\left(6\sqrt2\right)^2-\left(2\sqrt6\right)^2}=4\sqrt3\end{align*}}$
であり、題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf GM=\frac{1}{4}AM=\underline{\ \sqrt3\ }\end{align*}}$ ．
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{1}{3}\cdot \triangle BCD\cdot AM\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\cdot\left(6\sqrt2\right)^2\cdot\sin 60^{\circ}\times 4\sqrt3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 72\ }\end{align*}}$
(ⅱ) △BCDの内接円は辺CDと点Eで接するので、
Sの半径はGEに等しい。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf GE=\sqrt{GM^2+EM^2}=\sqrt{(\sqrt3)^2+(\sqrt6)^2}=\underline{\ 3\ }\end{align*}}$ ．
よって、Sの体積Sは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{4}{3}\pi\cdot 3^3=\underline{\ 36\pi\ }\end{align*}}$ ．
(ⅲ) 球Sを平面BCDで分けた2つの部分のうち、
Gを含まない部分の体積をS1とする。
(1)において
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf R=GE=3\ \ ,\ \ r=GM=\sqrt3\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\frac{\pi}{3}\left\{(\sqrt3)^3-3\cdot 3^2\cdot\sqrt3-2\cdot 3^3\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(18-8\sqrt3\right)\pi\end{align*}}$ ．
Sは四面体の4つの平面によって切断されるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_1=S-4S_1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =36\pi-4(18-8\sqrt3)\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(32\sqrt3-36)\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_2=V-V_1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 72-(32\sqrt3-36)\pi\ }\end{align*}}$
(2)は(1)を使いましょう。
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- 2013/10/28(月) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 後期 2008
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第2問
a＞1とする。
$\small\sf{\begin{align*} \rm I\sf =\int_{\frac{1}{a}}^a\frac{1}{x}(\log x)^2dx\ \ ,\ \ \int_{\frac{1}{a}}^a\frac{1}{x}(\log x)\log (x^2+1)\ dx\end{align*}}$
とおく。
(1) Iを求めよ。
(2) x=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{t}\end{align*}}$ とおく置換積分法を用いてJを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
s=logxとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{ds}{dx}=\frac{1}{x}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I\sf =\int_{-\log a}^{\log a}\frac{1}{x}\ s^2\cdot xds\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left[\frac{1}{3}s^3\right]_{0}^{\log a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2}{3}(\log a)^3\ }\end{align*}}$ ．
(2)
x=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{t}\end{align*}}$ と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{dt}=-\frac{1}{t^2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J=\int_a^{\frac{1}{a}}t\left(\log \frac{1}{t}\right)\log \left(\frac{1}{t^2}+1\right)\cdot\left(-\frac{dt}{t^2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_{\frac{1}{a}}^a\frac{1}{t}\left(\log t\right)\left(\log\frac{t^2+1}{t^2}\right) dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_{\frac{1}{a}}^a\frac{1}{t}\left(\log t\right)\left\{\log (t^2+1)-2\log t\right\} dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_{\frac{1}{a}}^a\frac{1}{t}(\log t)\log (t^2+1)dt+2\int_{\frac{1}{a}}^a\frac{1}{t}(\log t)^2dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-J+2I\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2J=2I\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ J=I=\underline{\ \frac{2}{3}(\log a)^3\ }\end{align*}}$
うまくできている問題ですね。
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- 2013/10/29(火) 23:57:00|
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第3問
座標平面上で、原点を中心とする半径1の円Cと、C上の点
A0(1，0)を考える。9回続けてコインを投げ、C上の9個の点
Ak（ k=1，2，3，･･･，9）を順に次のように定める。
Ak-1が定まっているとして、k回目のコイン投げの結果が、
表であればAkはAk-1を原点を中心として反時計回りに90°
だけ回転した点とし、裏であればAkはAk-1を原点を中心として
反時計回りに60°だけ回転した点とする。
(1) A4がA0と一致する確率を求めよ。
(2) A5がA0と一致する確率を求めよ。
(3) A1、A2、････、A8のいずれもA0と一致せずA9がA0と一致
する確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
1～4回目に表がx回出たとすると、A4がA0と一致するとき、
90x+60(4－x)=360m （m：自然数）
⇔ x=12m－8
となり、これを満たす整数x （0≦x≦4）および自然数mは、
x=4、 m=1．
よって、題意を満たすのは、最初の4回で表が4回、裏が0回
出たときなので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\right)^4=\underline{\ \frac{1}{16}\ }\end{align*}}$
(2)
1～5回目に表がy回出たとすると、A5がA0と一致するとき、
90y+60(5－y)=360m （m：自然数）
⇔ y=12m－10
となり、これを満たす整数y （0≦y≦5）および自然数mは、
y=2、 m=1 ．
よって、題意を満たすのは、最初の5回で表が2回、裏が3回
出たときなので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _5C_2\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^3=\underline{\ \frac{5}{16}\ }\end{align*}}$
(3)
9回のうち表がz回出たとすると、A9がA0と一致するのは、
90z+60(9－z)=360m （m：自然数）
⇔ z=12m－18
となり、これを満たす整数z （0≦z≦9）および自然数mは、
z=6、 m=2 ．
よって、A9がA0と一致するのは、表が6回、裏が3回のとき
であり、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _9C_6\left(\frac{1}{2}\right)^6\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{84}{2^9}\end{align*}}$ ．
A9以外にA1～A8のいずれかがA0と一致する場合を考える。
まず、1回に移動しうる最大の角度は90°なので、
A1～A3がA0と一致することはありえない。
同様に考えると、A9がA0と一致するとき、A6～A8は
A0と一致しない。
よって、A9以外にA0と一致しうるのは、A4とA5のみである。
また、A4とA5がともにA0と一致することはない。
(ア)A4とA9がA0と一致する場合
1～4回目････表4回、裏0回
5～9回目････表2回、裏3回
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\right)^4\times _5C_2\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{10}{2^9}\end{align*}}$
(イ)A4とA9がA0と一致する場合
1～4回目････表2回、裏3回
5～9回目････表4回、裏0回
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _5C_2\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^3\times\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{10}{2^9}\end{align*}}$
以上より、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{84}{2^9 }-2\cdot\frac{10}{2^9}=\underline{\ \frac{1}{8}\ }\end{align*}}$
(3)が少し考えにくいかもしれませんね。
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- 2013/10/30(水) 23:57:00|
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第4問
関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\ \ ,\ \ g(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\end{align*}}$
を考える。cを正の定数とする。数列{an}を次の条件によって
定める。
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=f(c)\ \ ,\ \ a_{n+1}=\sqrt{\frac{a_n+1}{2}}\ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
(1) 等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{f(x)+1}{2}=\left\{f\left(\frac{x}{2}\right)\right\}^2\ \ ,\ \ \frac{f(x)-1}{2}=\left\{g\left(\frac{x}{2}\right)\right\}^2\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(2) 数列{an}の一般項を求めよ。
(3) 極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ 4^n(a_n-1)\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{f\left(\frac{x}{2}\right)\right\}^2=\left\{\frac{1}{2}\left(e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}\right)\right\}^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\left(e^x+e^{-x}+2e^{\frac{x}{2}}\cdot e^{-\frac{x}{2}}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{f(x)+1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{g\left(\frac{x}{2}\right)\right\}^2=\left\{\frac{1}{2}\left(e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}\right)\right\}^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\left(e^x+e^{-x}-2e^{\frac{x}{2}}\cdot e^{-\frac{x}{2}}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}-1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{f(x)-1}{2}\end{align*}}$
(2)
ex＞0、e-x＞0より、f(x)＞0なので、
(1)の等式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{\frac{f(x)+1}{2}}=f\left(\frac{x}{2}\right)\end{align*}}$ ････(A)
と変形できる。
与えられた漸化式より、{an}の項を順次計算していくと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_2=\sqrt{\frac{a_1+1}{2}}=\sqrt{\frac{f(c)+1}{2}}=f\left(\frac{c}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_3=\sqrt{\frac{a_1+1}{2}}=\sqrt{\frac{f\left(\frac{c}{2}\right)+1}{2}}=f\left(\frac{c}{4}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_4=\sqrt{\frac{a_1+1}{2}}=\sqrt{\frac{f\left(\frac{c}{4}\right)+1}{2}}=f\left(\frac{c}{8}\right)\end{align*}}$
となるので、{an}の一般項は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=f\left(\frac{c}{2^{n-1}}\right)\end{align*}}$ ････(*)
と類推できる。
これを数学的帰納法で示す。
(ⅰ)n=1のときは自明
(ⅱ)n=kで(*)が成り立つと仮定すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{k+1}=\sqrt{\frac{a_k+1}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\frac{f\left(\frac{c}{2^{k-1}}\right)+1}{2}}\end{align*}}$ ←仮定より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =f\left(\frac{c}{2^k}\right)\end{align*}}$ ←(A)より
これより、n=k+1のときも(*)は成立するので、
数列{an}の一般項は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=f\left(\frac{c}{2^{n-1}}\right)=\underline{\ \frac{1}{2}\left(e^{\frac{c}{2^{n-1}}}+e^{-\frac{c}{2^{n-1}}}\right)\ }\end{align*}}$
となる。
(3)
求める極限をLとおくと、(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{n\rightarrow\infty}4^n\left\{f\left(\frac{c}{2^{n-1}}\right)-1\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\lim_{n\rightarrow\infty}4^n\left\{g\left(\frac{c}{2^{n}}\right)\right\}^2\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left\{\lim_{n\rightarrow\infty} 2^n\ g\left(\frac{c}{2^{n}}\right)\right\}^2\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{1}{2^n}\end{align*}}$
とおくと、n→+∞のとき、t→+0となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=2\left\{\lim_{t\rightarrow +0} \frac{1}{t}\cdot g(ct)\right\}^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left\{\lim_{t\rightarrow +0}\frac{1}{t}\cdot \frac{e^{ct}-e^{-ct}}{2}\right\}^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left\{\lim_{t\rightarrow +0}\frac{e^{ct}-1-\left(e^{-ct}-1\right)}{t}\right\}^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left\{\lim_{t\rightarrow +0}\frac{e^{ct}-e^0}{t-0}-\lim_{t\rightarrow +0}\frac{e^{-ct}-e^0}{t-0}\right\}^2\end{align*}}$
ここで、tの関数F(t)、G(t)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F(t)=e^{ct}\ \ ,\ \ G(t)=e^{-ct}\end{align*}}$
とおくと、それぞれの導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ '(t)=c\ e^{ct}\ \ ,\ \ G(t)=-c\ e^{-ct}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\frac{1}{2}\left\{F\ '(0)-G\ '(0)\right\}^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left\{c-(-c)\right\}^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2c^2\ }\end{align*}}$
(3)が難しいでしょうね。
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- 2013/10/31(木) 23:57:00|
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