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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2008京都工芸繊維大 後期 数学1



第1問

 (1) 0<r<Rとする。xyz空間において、原点Oを中心とし
    半径がRの球を考える。その球を平面x=rで分けた2つ
    の部分のうち、Oを含まない部分の体積を求めよ。

 (2) 正四面体Vを考える。Vの4頂点をA、B、C、Dとする。
    Vの重心Gは、三角形BCDの重心をMとするとき、AM
    を3:1に内分する点である。Gを中心としGMを半径と
    する球はVに内接している。Gを中心とする球Sがあり、
    Vの各面とSの共通部分はその面(正三角形)の内接円
    となっている。このとき、Vの1辺の長さを6$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ として、
    次の問いに答えよ.
  (ⅰ)線分GMの長さとVの体積を求めよ。

  (ⅱ)Sの半径とSの体積を求めよ。

  (ⅲ)VとSの共通部分をV1とし、VからV1を除いた部分を
    V2とする。V2の体積を求めよ。




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  1. 2013/10/28(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 後期 2008
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2008京都工芸繊維大 後期 数学2



第2問

  a>1とする。
     $\small\sf{\begin{align*} \rm I\sf =\int_{\frac{1}{a}}^a\frac{1}{x}(\log x)^2dx\ \ ,\ \ \int_{\frac{1}{a}}^a\frac{1}{x}(\log x)\log (x^2+1)\ dx\end{align*}}$
  とおく。

 (1) Iを求めよ。

 (2) x=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{t}\end{align*}}$ とおく置換積分法を用いてJを求めよ。


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  1. 2013/10/29(火) 23:57:00|
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2008京都工芸繊維大 後期 数学3



第3問

  座標平面上で、原点を中心とする半径1の円Cと、C上の点
  A0(1,0)を考える。9回続けてコインを投げ、C上の9個の点
  Ak( k=1,2,3,・・・,9)を順に次のように定める。
  Ak-1が定まっているとして、k回目のコイン投げの結果が、
  表であればAkはAk-1を原点を中心として反時計回りに90°
  だけ回転した点とし、裏であればAkはAk-1を原点を中心として
  反時計回りに60°だけ回転した点とする。

 (1) A4がA0と一致する確率を求めよ。

 (2) A5がA0と一致する確率を求めよ。

 (3) A1、A2、・・・・、A8のいずれもA0と一致せずA9がA0と一致
    する確率を求めよ。



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  1. 2013/10/30(水) 23:57:00|
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2008京都工芸繊維大 後期 数学4



第4問

  関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\ \ ,\ \ g(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\end{align*}}$
  を考える。cを正の定数とする。数列{an}を次の条件によって
  定める。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=f(c)\ \ ,\ \ a_{n+1}=\sqrt{\frac{a_n+1}{2}}\ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$

 (1) 等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{f(x)+1}{2}=\left\{f\left(\frac{x}{2}\right)\right\}^2\ \ ,\ \ \frac{f(x)-1}{2}=\left\{g\left(\frac{x}{2}\right)\right\}^2\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。

 (2) 数列{an}の一般項を求めよ。

 (3) 極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ 4^n(a_n-1)\end{align*}}$ を求めよ。


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  1. 2013/10/31(木) 23:57:00|
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