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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2008京都工芸繊維大 前期 数学1



第1問

  点Oを原点とするxyz空間に3点H(0,0,h)、A(a,0,0)、
  B(0,b,h) (h>0、a>0、b>0)がある。∠OABと∠HBAは
  ともに $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$ に等しく、線分ABの長さは4である。

 (1) a、b、hの値を求めよ。

 (2) $\small\sf{\theta}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta= \frac{1}{\sqrt3}\ \ (0\lt\theta\lt\pi)\end{align*}}$ を満たす実数とする。次の
    条件を満たす2点P、Qがある。
        Pは直線OA上にありOと異なる。
        Qは直線B上にありHと異なる。
        ∠OPQと∠HQPはともに$\small\sf{\theta}$ に等しい。
    このとき、線分PQの長さと線分APの長さを求めよ。




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  1. 2013/10/24(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 前期 2008
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2008京都工芸繊維大 前期 数学2



第2問

  0<t<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ とする。曲線C1:y=tanx上の点(t,tant)における
  C1の接線をL1とし、曲線C2:y=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\cos x}\end{align*}}$ 上の点 $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(t\ ,\ \frac{1}{\cos t}\right)\end{align*}}$ ) に
  おけるC2の接線をL2とする。L1とL2の交点の座標を
  (f(t),g(t))とする。

 (1) f(t)およびg(t)を求めよ。

 (2) 不等式f(t)<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。

 (3) 極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\pi /2-0}\left(\frac{\pi}{2}-t\right)g(t)\end{align*}}$ を求めよ。





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  1. 2013/10/25(金) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 前期 2008
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2008京都工芸繊維大 前期 数学3



第3問

  行列
        $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf \cos\frac{2\pi}{3}&\sf -\sin\frac{2\pi}{3} \\ \sf \sin\frac{2\pi}{3} & \sf \cos\frac{2\pi}{3}\end{pmatrix}\end{align*}}$
  を考える。

 (1) 次の等式を満たす実数a、bを求めよ。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{a}{b}=\frac{1}{2}A\binom{a}{b}+\binom{7}{7\sqrt3}\end{align*}}$

 (2) 実数x0、y0に対して、数列{xn}、{yn}を次の漸化式で
    定義する。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_n}{y_n}=\frac{1}{2}A\binom{x_{n-1}}{y_{n-1}}+\binom{7}{7\sqrt3}\ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
    (1)で求めたa、bに対し、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{p_n}{q_n}=\binom{x_n}{y_n}-\binom{a}{b}\ \ ,\ \ d_n=\sqrt{p_n^2+q_n^2}\ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
    とおくとき、dnをnとd0を用いて表せ。



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  1. 2013/10/26(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 前期 2008
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2008京都工芸繊維大 前期 数学4



第4問

  nを自然数とする。x>0に対して
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f_n(x)=\frac{x}{(x^2+1)^n}\ \ ,\ \ g_n(x)=\int_1^xf_n(t)\log t dt\end{align*}}$
  とおく。

 (1) 不定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int f_n(x)dx\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) 等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_1^x\frac{t^3}{(t^2+1)^{n+1}}\ \log t\ dt=g_n(x)-g_{n+1}(x)\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。

 (3) x>0において微分可能な関数f(x)について、等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \int\left\{f(x)+xf'(x)\right\}\ \log x\ dx=xf(x)\log x-\int f(x)dx\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。

 (4) (2)、(3)を利用して、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf (1-n)g_n(x)+ng_{n+1}(x)+\frac{1}{2}\int_1^xf_n(t)\ dt\end{align*}}$
    を求めよ。




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  1. 2013/10/27(日) 03:57:00|
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