第1問
点Oを原点とするxyz空間に3点H(0，0，h)、A(a，0，0)、
B(0，b，h) （h＞0、a＞0、b＞0）がある。∠OABと∠HBAは
ともに $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$ に等しく、線分ABの長さは4である。
(1) a、b、hの値を求めよ。
(2) $\small\sf{\theta}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta= \frac{1}{\sqrt3}\ \ (0\lt\theta\lt\pi)\end{align*}}$ を満たす実数とする。次の
条件を満たす2点P、Qがある。
Pは直線OA上にありOと異なる。
Qは直線B上にありHと異なる。
∠OPQと∠HQPはともに$\small\sf{\theta}$ に等しい。
このとき、線分PQの長さと線分APの長さを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
OA⊥yz平面より、OA⊥OBなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=OA=AB\cos 60^{\circ}\end{align*}}$
BH⊥zx平面より、HO⊥HBなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=BH=AB\cos 60^{\circ}\end{align*}}$
題意よりAB=4なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=b=2\ }\end{align*}}$
また、△AOBに三平方の定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB^2=OA^2+HQ^2+OH^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4^2=2^2+2^2+h^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ h=2\sqrt2\ \ (>0)\ }\end{align*}}$
(2)
(1)と同様、PO⊥OQ、PH⊥HQなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP=PQ\cos\theta=\frac{1}{\sqrt3}\ PQ\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf QH=PQ\cos\theta=\frac{1}{\sqrt3}\ PQ\end{align*}}$
△POQにおいて三平方の定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PQ^2+OP^2+QH^2+OH^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ PQ^2=\frac{1}{3}\ PQ^2+\frac{1}{3}\ PQ^2+h^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{3}\ PQ^2=8\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ PQ=2\sqrt6\ \ (>0)\ }\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP=\frac{1}{\sqrt3}\ PQ=2\sqrt2\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP=|2\pm2\sqrt2|=\underline{\ 2\sqrt2\pm 2\ }\end{align*}}$
OA⊥OB等に気づくと直角三角形における三角比の定義が使えて楽ですね。
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- 2013/10/24(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 前期 2008
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第2問
0＜t＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ とする。曲線C1：y=tanx上の点(t，tant)における
C1の接線をL1とし、曲線C2：y=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\cos x}\end{align*}}$ 上の点 $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(t\ ,\ \frac{1}{\cos t}\right)\end{align*}}$ ) に
おけるC2の接線をL2とする。L1とL2の交点の座標を
(f(t)，g(t))とする。
(1) f(t)およびg(t)を求めよ。
(2) 不等式f(t)＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。
(3) 極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\pi /2-0}\left(\frac{\pi}{2}-t\right)g(t)\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
C1について、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ '=\frac{1}{\cos^2 x}\end{align*}}$ なので、接線L1の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_1:\ y-\tan t=\frac{1}{\cos^2 t}(x-t)\end{align*}}$
C2について、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ '=\frac{\sin x}{\cos^2 x}\end{align*}}$ なので、接線L2の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_2:\ y-\frac{1}{\cos t}=\frac{\sin t}{\cos^2 t}(x-t)\end{align*}}$
これらの交点を求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan t+\frac{1}{\cos^2 t}(x-t)=\frac{1}{\cos t}+\frac{\sin t}{\cos^2 t}(x-t)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin t\cos t+(x-t)=\cos t+sint(x-t)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (1-\sin t)(x-t)=\cos t\ (1-sin t)\end{align*}}$
ここで、0＜t＜$\scriptsize\sf{\pi}$ /2よりsint≠1なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x-t=\cos t\ \ \Leftrightarrow\ \ x=t+\cos t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{\cos^2 t}\cdot\cos t+\tan t=\frac{1+\sin t}{\cos t}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ f(t)=t+\cos t\ \ ,\ \ g(t)=\frac{1+\sin t}{\cos t}\ }\end{align*}}$
(2)
f(t)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=1-\sin x\geqq 0\end{align*}}$
となるので、f(x)は単調に増加する。
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left( \frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}-cos\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
なので、0＜x＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲でつねに
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)<\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
となり、題意は示された。
(3)
求める極限をLとおくと、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{t\rightarrow\pi /2-0}\left( \frac{\pi}{2}-t\right)\cdot\frac{1+\sin t}{\cos t} \end{align*}}$ ．
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{\pi}{2}-t\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{s\rightarrow 0}s\cdot\frac{1+\sin \left( \frac{\pi}{2}-s\right)}{\cos \left( \frac{\pi}{2}-s\right)} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{s\rightarrow 0}s\cdot\frac{1+\cos s}{\sin s}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{s\rightarrow 0}\frac{s}{\sin s}\cdot\lim_{s\rightarrow 0}\left(1+\cos s\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1\cdot (1+1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2\ }\end{align*}}$
この問題は完答できそうですね。
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- 2013/10/25(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 前期 2008
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第3問
行列
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf \cos\frac{2\pi}{3}&\sf -\sin\frac{2\pi}{3} \\ \sf \sin\frac{2\pi}{3} & \sf \cos\frac{2\pi}{3}\end{pmatrix}\end{align*}}$
を考える。
(1) 次の等式を満たす実数a、bを求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{a}{b}=\frac{1}{2}A\binom{a}{b}+\binom{7}{7\sqrt3}\end{align*}}$
(2) 実数x0、y0に対して、数列{xn}、{yn}を次の漸化式で
定義する。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_n}{y_n}=\frac{1}{2}A\binom{x_{n-1}}{y_{n-1}}+\binom{7}{7\sqrt3}\ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
(1)で求めたa、bに対し、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{p_n}{q_n}=\binom{x_n}{y_n}-\binom{a}{b}\ \ ,\ \ d_n=\sqrt{p_n^2+q_n^2}\ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
とおくとき、dnをnとd0を用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf -1&\sf -\sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf -1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
(1)
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{a}{b}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} \sf -1&\sf -\sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf -1 \end{pmatrix}\binom{a}{b}+\binom{7}{7\sqrt3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\binom{-a-\sqrt3\ b}{\sqrt3\ a-b}+\binom{7}{7\sqrt3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \binom{4a}{4b}=\binom{-a-\sqrt3\ b+28}{\sqrt3\ a-b+28\sqrt3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 5a+\sqrt3\ b=28\end{align*}}$ かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\ a-5b=-28\sqrt3\end{align*}}$
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=2\ \ ,\ \ b=6\sqrt3\ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{a}{b}=\frac{1}{2}A\binom{a}{b}+\binom{7}{7\sqrt3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_n}{y_n}=\frac{1}{2}A\binom{x_{n-1}}{y_{n-1}}+\binom{7}{7\sqrt3}\end{align*}}$
これらを辺々引くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_n}{y_n}-\binom{a}{b}=\frac{1}{2}A\binom{x_{n-1}}{y_{n-1}}-\frac{1}{2}A\binom{a}{b}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \binom{x_n-a}{y_n-b}=\frac{1}{2}A\binom{x_{n-1}-a}{y_{n-1}-b}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \binom{p_n}{q_n}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} \sf -1&\sf -\sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf -1 \end{pmatrix}\binom{p_{n-1}}{q_{n-1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\binom{-p_{n-1}-\sqrt3\ q_{n-1}}{\sqrt3\ p_{n-1}-q_{n-1}}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d_n=\sqrt{\frac{1}{16}\left( -p_{n-1}-\sqrt3\ q_{n-1}\right)^2+\frac{1}{16}\left( \sqrt3\ p_{n-1}-q_{n-1}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\sqrt{4p_{n-1}^2+4q_{n-1}^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{p_{n-1}^2+q_{n-1}^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\ d_{n-1}\end{align*}}$
となるので、数列{dn}は等比数列をなす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d_n=\underline{\ \frac{1}{2^n}\ d_0\ }\end{align*}}$
実は、Aは原点中心の回転を表す行列なので、
原点からの距離dnには無関係です。
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- 2013/10/26(土) 23:57:00|
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第4問
nを自然数とする。x＞0に対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf f_n(x)=\frac{x}{(x^2+1)^n}\ \ ,\ \ g_n(x)=\int_1^xf_n(t)\log t dt\end{align*}}$
とおく。
(1) 不定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int f_n(x)dx\end{align*}}$ を求めよ。
(2) 等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_1^x\frac{t^3}{(t^2+1)^{n+1}}\ \log t\ dt=g_n(x)-g_{n+1}(x)\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(3) x＞0において微分可能な関数f(x)について、等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int\left\{f(x)+xf'(x)\right\}\ \log x\ dx=xf(x)\log x-\int f(x)dx\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(4) (2)、(3)を利用して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf (1-n)g_n(x)+ng_{n+1}(x)+\frac{1}{2}\int_1^xf_n(t)\ dt\end{align*}}$
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
s=t2+1とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{ds}{dt}=2t\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int f_n(t)\ dt=\int\frac{t}{(t^2+1)^n}dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int\frac{t}{s^n}\cdot\frac{ds}{2t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\int\frac{1}{s^n}\ ds\end{align*}}$
n=1のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int f_n(t)\ dt=\frac{1}{2}\log s+C=\underline{\ \frac{1}{2}\log (t^2+1)+C\ }\end{align*}}$
n≠1のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int f_n(t)\ dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(-n+1)\ s^{n-1}}+C=\underline{\ \frac{1}{2(-n+1)(t^2+1)^{n-1}}+C\ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g_n(x)-g_{n+1}(x)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_1^x\frac{t}{(t^2+1)^n}\log t\ dt-\int_1^x\frac{t}{(t^2+1)^{n+1}}\log t\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_1^x\frac{t(t^2+1)-t}{(t^2+1)^{n+1}}\log t\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_1^x\frac{t^3}{(t^2+1)^{n+1}}\log t\ dt\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{x\ f\ (x)\right\}'=f\ (x)+x\ f\ '(x)\end{align*}}$
なので、部分積分法を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int\left\{f(x)+xf'(x)\right\}\ \log x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int\left\{x\ f\ (x)\right\}'\log x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x\ f\ (x)\ \log x-\int x\ f\ (x)\cdot\frac{1}{x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x\ f\ (x)\ \log x-\int f\ (x)\ dx\end{align*}}$
となり、題意は示された。
(4)
求める値をAとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=-n\left\{g_n(x)-g_{n+1}(x)\right\}+g_n(x)+\frac{1}{2}\int_1^xf_n(t)\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-n\int_1^x\frac{t^3}{(t^2+1)^{n+1}}\log t\ dt+\int_1^x\frac{t}{(t^2+1)^n}\log t\ dt+\frac{1}{2}\int_1^xf_n(t)\ dt\end{align*}}$ ←(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_1^x\left\{\frac{t}{(t^2+1)^n}-\frac{nt^3}{(t^2+1)^{n+1}}\right\}\log t\ dt+\frac{1}{2}\int_1^xf_n(t)\ dt\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_n\ '(t)=\frac{(t^2+1)^n-2nt^2(t^2+1)^{n-1}}{(t^2+1)^{2n}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{(t^2+1)^n}-\frac{2nt^2}{(t^2+1)^{n+1}}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_n(t)+t\ f_n\ '(t)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{t}{(t^2+1)^n}+t\left\{ \frac{1}{(t^2+1)^n}-\frac{2nt^2}{(t^2+1)^{n+1}}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left\{\frac{t}{(t^2+1)^n}-\frac{nt^3}{(t^2+1)^{n+1}} \right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{t}{(t^2+1)^n}-\frac{nt^3}{(t^2+1)^{n+1}}=\frac{1}{2}\left\{ f_n(t)+t\ f_n\ '(t)\right\}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{1}{2}\int_1^x\left\{f_n(t)+t\ f_n\ '(t)\right\}\log t\ dt+\frac{1}{2}\int_1^xf_n(t)\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left\{x\ f_n(x)\ \log x-\int f_n(x)\ dx\right\}+\frac{1}{2}\int_1^xf_n(t)\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}x\ f_n(x)\ \log x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{x^2\log x}{2(x^2+1)^n}\ }\end{align*}}$
うまく(2)、(3)を使いましょう。
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- 2013/10/27(日) 03:57:00|
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