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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2009京都工芸繊維大 後期 数学1



第1問

  関数 h(x)=x-log(x2+1)と、xy平面内の曲線C:y=xh(x)を
  考える。C上の点AにおけるCの接線Lが原点Oを通る.ただし、
  AはOと異なるとする。

 (1) h(x)の増減を調べよ。

 (2) Aの座標を求めよ。

 (3) CとLの共有点は2点OとAのみであることを(1)を用いて示せ。

 (4) CとLで囲まれた部分の面積を求めよ。



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  1. 2013/10/20(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 後期 2009
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2009京都工芸繊維大 後期 数学2



第2問

  $\small\sf{\begin{align*} \rm I\sf =\int_0^1\frac{x^2+1}{x^4+1}\ dx\end{align*}}$ とおく。

 (1) 次の等式がxについての恒等式であるように、定数a、bの値を
    求めよ。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2+1}{x^4+1}=\frac{a}{\left( \sqrt2 x-1\right)^2+1}+\frac{b}{\left(\sqrt 2x+1 \right)^2+1}\end{align*}}$

 (2) 実数$\small\sf{\alpha\ ,\ \beta}$ が$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt\alpha\lt \frac{\pi}{2}\ ,\ 0\lt\beta\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ および $\small\sf{\tan\alpha\tan\beta=1}$
    を満たすとき、$\small\sf{\alpha}$ +$\small\sf{\beta}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ であることを証明せよ。

 (3) Iを求めよ。




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  1. 2013/10/21(月) 23:57:00|
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32009京都工芸繊維大 後期 数学3



第3問

  白色の玉が1個、黒色の玉が2個、赤色、黄色、緑色の玉が
  それぞれ3個ずつ、全部で12個の玉が袋に入っている。この
  袋からAが4個の玉を同時に取り出し、次にこれらの玉をもと
  に戻さずにBが4個の玉を同時に取り出す。次の事象E,F,G
  を考える.
   E:Aの取り出した玉の色がすべて異なる。
   F:Bの取り出した玉の色がすべて異なる。
   G:Aの取り出した玉の色の組合せとBの取り出した玉の色
     の組合せが一致する。

 (1) Eが起こる確率P(E)を求めよ。

 (2) E、Gがともに起こる事象の確率P(E∩G)を求めよ。

 (3) E、Fがともに起こる事象の確率P(E∩F)を求めよ。




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  1. 2013/10/22(火) 23:57:00|
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2009京都工芸繊維大 後期 数学4



第4問

  $\small\sf{\alpha}$ を定数とする。数列{bn}は次のように定められている。
     b1=sin2$\small\sf{\alpha}$
     bn+1=b1+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\end{align*}}$ bkcos(2k$\small\sf{\alpha}$ )  (n=1,2,3,・・・・)

 (1) b2=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ sin2(2$\small\sf{\alpha}$ )であることを示せ。

 (2) n=1,2,3,・・・に対して、bn+1をbnを用いて表せ。

 (3) 数列{bn}の一般項を求めよ。

        


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  1. 2013/10/23(水) 23:57:28|
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