第1問
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf t=\tan\frac{x}{2}\end{align*}}$ とおくとき、次の等式が成り立つことを示せ。
(ⅰ) $\small\sf{\begin{align*} \sf \ \sin x=\frac{2t}{1+t^2}\end{align*}}$
(ⅱ) $\small\sf{\begin{align*} \sf \ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\end{align*}}$
(ⅲ) $\small\sf{\begin{align*} \sf \ \tan x=\frac{2t}{1-t^2}\end{align*}}$
(2) a、bを実数とする。xを未知数とする方程式
$\small\sf{\begin{align*} \sf a\sin x+b \cos x+1=0\end{align*}}$
が、$\small\sf{-\pi\lt x\lt\pi}$の範囲に相異なる二つの解をもつとする。
(ⅰ) a、bの満たすべき条件を求めよ。
(ⅱ) 二つの解を$\small\sf{\alpha\ ,\ \beta}$ とするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \tan\frac{\alpha +\beta}{2}\end{align*}}$ をa、bを用いて
表せ。
(3) 次の定積分を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi /2}\frac{1}{\sin x+\cos x+1}\ dx\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\tan\frac{x}{2}\end{align*}}$ ････(A)
(1)
(ⅱ)
1+t2≠0より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}}=\tan^2\frac{x}{2}+1=t^2+1\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos^2\frac{x}{2}=\frac{1}{1+t^2}\end{align*}}$ ････(B)
なので、cosの倍角公式より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos x=2\cos^2\frac{x}{2}-1=2\cdot \frac{1}{1+t^2}-1=\frac{1-t^2}{1+t^2}\end{align*}}$
(ⅲ)
tanの倍角公式より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan x=\frac{2\tan\frac{x}{2}}{1-\tan^2\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1-t^2}\end{align*}}$
(ⅰ)
(ⅰ)、(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin x=\tan x\ \cos x=\frac{2t}{1-t^2}\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{2t}{1+t^2}\end{align*}}$
(2)
(ⅰ)
(A)とおくと、(1)より与式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a\cdot \frac{2t}{1+t^2}+b\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2}+1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2at+b(1-t^2)+(1+t^2)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (1-b)t^2+2at+b+1=0\end{align*}}$ ････(C)
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\pi より、tはすべての実数値をとり得る。
さらに、(D)の範囲において、1つのtの値に1つのxが
対応するので、題意を満たすためには、(C)が異なる
2つの実数解をもてばよい。
まず、(C)が二次方程式であるためには、b≠1である
必要があり、判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4=a^2-(1-b)(b+1)=a^2+b^2-1>0\end{align*}}$ ．
よって、求める条件は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ b\ne 0\ \ ,\ \ a^2+b^2-1>0\ }\end{align*}}$
である。
(ⅱ)
(C)の2解を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t_1=\tan\frac{\alpha}{2}\ ,\ t_2=\tan\frac{\beta}{2}\end{align*}}$
とおくと、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t_1+t_2=\tan\frac{\alpha}{2}+\tan\frac{\beta}{2}=\frac{2a}{b-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t_1\ t_2=\tan\frac{\alpha}{2}\ \tan\frac{\beta}{2}=-\frac{b+1}{b-1}\end{align*}}$ ．
tanの加法定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{\tan\frac{\alpha}{2}+\tan\frac{\beta}{2}}{1-\tan\frac{\alpha}{2}\ \tan\frac{\beta}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\frac{2a}{b-1}}{1+\frac{b+1}{b-1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{a}{b}\ }\end{align*}}$
(3)
(A)式において、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x:\ 0\rightarrow\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t:\ 0\rightarrow 1\end{align*}}$
であり、(A)の両辺をxで微分すると、(B)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=\frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1+t^2}{2}\end{align*}}$ ．
よって、求める定積分をIとおくと、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I=\int_0^{1}\frac{1}{\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}+1}\cdot \frac{2}{1+t^2}\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{1}\frac{2}{2t+(1-t^2)+(1+t^2)}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{1}\frac{1}{t+1}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[\ \log(t+1)\bigg]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \log 2\ }\end{align*}}$ ．
(1)は有名な問題ですね。一度ぐらい解いたことあるはずです。
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- 2013/10/16(水) 23:57:00|
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第2問
直線y=mx（m≠0）をLとし、行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$ で表される平面上の
1次変換fは次の二つの条件を満たすとする。
Lの各点はfで動かない。
fは点A(1，0)を、Aを通りLに平行な直線上の点に移す。
このとき、次の問いに答えよ。
(1) a、c、dをb、mを用いて表せ。
(2) ad－bcの値を求めよ。
(3) fにより平面上の任意の点Pは、Pを通りLに平行な直線上の
点に移ることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
L上の点S(s，ms)のfによる像は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\binom{s}{ms}=\binom{(a+bm)s}{(c+dm)s}\end{align*}}$
であり、1つ目の条件より、任意のpに対してこれがSと一致
するので、成分を比較すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a+bm=1\ \ \Leftrightarrow\ \ a=1-bm\end{align*}}$ ････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c+dm=m\ \ \Leftrightarrow\ \ d=1-\frac{c}{m}\end{align*}}$ ････②
また、A(1，0)のfによる像は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\binom{1}{0}=\binom{a}{c}\end{align*}}$
であり、2つ目の条件より、Aを通りLに平行な直線
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=m(x-1)\end{align*}}$
上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c=m(a-1)\end{align*}}$ ････③
①、③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c=m\left\{(1-bm)-1\right\}=-bm^2\end{align*}}$
これと②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d=1+bm\end{align*}}$ ．
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=1-bm\ \ ,\ \ c=-bm^2\ \ ,\ \ d=1+bm\ }\end{align*}}$
(2)
(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ad-bc=(1-bm)(1+bm)-b\cdot(-bm^2)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-b^2m^2+b^2m^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1\end{align*}}$ ．
(3)
点Pを(p，q)とおくと、その像P’は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\binom{p}{q}=\binom{ap+bq}{cp+dq}\end{align*}}$ ．
また、Pを通りLと平行な直線mの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-q=m(x-p)\ \ \Leftrightarrow\ \ mx-y-mp+q=0\end{align*}}$ ．
ここで(1)の結果を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m(ap+bq)-(cp+dq)-mp+q\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =m(1-bm)p+bmq+bm^2p-(1+bm)q-mp+q\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(m-bm^2+bm^2-m)p+(bm-1-bm+1)q\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$
よって、任意のPに対してP’はm上にあるので、
題意は示された。
(1)ができれば、あとは計算ゴリ押しでOKでしょう。
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- 2013/10/17(木) 23:57:00|
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第3問
平行四辺形ABCDを底面とする四角錐OABCDを考える。
線分OBの中点をB’、線分OCを1：2に内分する点をC’とし、
A、B’、C’を通る平面と直線ODの交点をD’とする。また、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
とする。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ で表せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD'}\end{align*}}$ は $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ の何倍か。
(3) 三角錐AOB’D’の体積は、三角錐AOBDの体積の何倍か。
(4) 四角錐OAB’C’D’の体積は、四角錐OABCDの体積の
何倍か。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
四角形ABCDは平行四辺形なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}=\overrightarrow{\sf DC}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf c}-\overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OD}=\underline{\ \overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\ }\end{align*}}$
(2)
まず、題意より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB'}=\frac{1}{2}\ \overrightarrow{\sf b}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OC'}=\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ ････①
また、D’はOD上にあるので、kを実数として
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD'}=k\overrightarrow{\sf OD}=k\left( \overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)\end{align*}}$ ････②
と表せる。
また、4点A、B’、C’、D’は同一平面上にあるので、
実数s、tを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD'}=s\ \overrightarrow{\sf AB'}+t\ \overrightarrow{\sf AC'}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OD'}-\overrightarrow{\sf OA}=s\left(\overrightarrow{\sf OB'}-\overrightarrow{\sf OA} \right)+t\left(\overrightarrow{\sf OC'}-\overrightarrow{\sf OA} \right)\end{align*}}$
と表せるので、①、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k\left( \overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)-\overrightarrow{\sf a}=s\left(\frac{1}{2}\ \overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a} \right)+t\left(\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\sf c}-\overrightarrow{\sf a} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(k+s+t-1 \right)\overrightarrow{\sf a}-\left(k+ \frac{s}{2}\right)\overrightarrow{\sf b}+\left(k- \frac{t}{3}\right)\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$ ．
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ は一次独立なので、係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k+s+t-1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k+ \frac{s}{2}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ k=-2s\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k- \frac{t}{3}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ t=3k\end{align*}}$
となり、これらよりs、tを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k-2k+3k-1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ k=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD'}\end{align*}}$ は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ の $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{2}\ }\end{align*}}$ 倍である。
(3)
Aから平面OBDに下ろした垂線の足をKとおくと、
三角錐AOB’D’：三角錐AOBD
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\ \triangle OB'D'\cdot AK\ :\ \frac{1}{3}\ \triangle OBD\cdot AK\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\triangle OB'D'\ :\ \triangle OBD\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\ OB'\times OD'\cdot \sin\angle B'OD'\ :\ \frac{1}{2}\ OB\times OD\cdot \sin\angle BOD\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =OB'\times OD'\ :\ OB\times OD\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\ OB\times \frac{1}{2}\ OD\ :\ OB\times OD\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1:4\end{align*}}$
よって、三角錐AOB’D’の体積は、三角錐AOBDの体積の
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{4}\ }\end{align*}}$ 倍である。
(4)
C、C’から平面OBDに下ろした垂線の足をそれぞれH、H’
とおくと、△OH’C’∽△OHC（相似比1：3）なので、
三角錐C’OB’D’：三角錐COBD
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\ \triangle OB'D'\cdot C'H'\ :\ \frac{1}{3}\ \triangle OBD\cdot CH\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\triangle OB'D'\times \frac{1}{3}CH :\ \triangle OBD\times CH\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\triangle OBD\times \frac{1}{3}CH :\ \triangle OBD\times CH\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1:12\end{align*}}$ ．
これらより、三角錐AOBDと三角錐COBDの体積をVとすると、
四角錐OAB’C’D’：四角錐OABCD
=三角錐AOB’D’+三角錐C’OB’D’：2V
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{V}{4}+\frac{V}{12}\right)\ :\ 2V\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1:6\end{align*}}$
よって、四角錐OAB’C’D’の体積は四角錐OABCDの体積の
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{6}\ }\end{align*}}$ 倍である。
(4)は(3)がヒントになっています。
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- 2013/10/18(金) 23:57:00|
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第4問
ある種の粒子は出現して1時間後に次のように変化する。
確率 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ で2個の新しい粒子になる。
確率 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ で1個の新しい粒子になる。
確率 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ で消滅する。
1個の粒子から始まるものとして、次の問いに答えよ。
(1) 2時間後に粒子が2個になっている確率を求めよ。
(2) 3時間後に粒子が5個になっている確率を求めよ。
(3) nを自然数とする。n時間後に最大でいくつの粒子があるか。
その個数と、そうなる確率をnを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
k時間後の粒子の個数をNkとおく。（k=0，1，2，･･･）
また、粒子の変化を次のように変化ア、イ、ウと名付ける。
変化ア … 2個に増える
変化イ … 1個のまま
変化ウ … 消滅する
(1)
N2=2になるためには、次の3つの場合が考えられる。
(ⅰ) N0=1 → N1=1･･･変化イ
N1=1 → N2=2･･･変化ア
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\end{align*}}$
(ⅱ) N0=1 → N1=2･･･変化ア
N1=2 → N2=2･･･2個とも変化イ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\times\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{12}\end{align*}}$
(ⅲ) N0=1 → N1=2･･･変化ア
N1=2 → N2=2･･･一方が変化ア、他方が変化ウ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\times_2C_1\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{27}\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{27}=\underline{\ \frac{31}{108}\ }\end{align*}}$ ．
(2)
N3=5になるためには、N2≧3である必要があり、
そのためには、N1=2でなければならない。
このことから、N3=5となるのは、次の3つの場合である。
(Ⅰ) N0=1 → N1=2･･･ア
N1=2 → N2=3･･･一方がア、他方がイ
N2=3 → N3=5･･･2個がア、1個がイ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\times_2C_1\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\times_3C_2\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3^3\cdot 2}\end{align*}}$
(Ⅱ) N0=1 → N1=2･･･ア
N1=2 → N2=4･･･2個ともア
N2=4 → N3=5･･･3個がイ、1個がア
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\times\left(\frac{1}{3}\right)^2\times_4C_3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{3^4\cdot 2}\end{align*}}$
(Ⅲ) N0=1 → N1=2･･･ア
N1=2 → N2=4･･･2個ともア
N2=4 → N3=5･･･2個がア、1個がイ、1個がウ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\times\left(\frac{1}{3}\right)^2\times\frac{4!}{2!}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{3^5}\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3^3\cdot 2}+\frac{1}{3^4\cdot 2}+\frac{1}{3^5}=\frac{3^2+3+2}{3^5\cdot 2}=\underline{\ \frac{7}{243}\ }\end{align*}}$ ．
(2)
N0=1 → N1=2･･･ア
N1=2 → N2=4･･･2個ともア
N2=4 → N3=8･･･4個ぜんぶア
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
Nk-1=2k-1 → Nk=2k･･･2k-1個ぜんぶア
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
Nn-1=2n-1 → Nn=2n･･･2n個ぜんぶア
のように、すべての粒子の変化がアであれば、
n時間後には2n個になる。
その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\cdot\left( \frac{1}{3}\right)^2\cdot\left( \frac{1}{3}\right)^{2^2}\cdot\left( \frac{1}{3}\right)^{2^3}\cdot \ldots\cdot\left( \frac{1}{3}\right)^{2^{n-1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left( \frac{1}{3}\right)^{1+2+2^2+2^3+\ldots +2^{n-1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left( \frac{1}{3}\right)^{\frac{2^n-1}{2-1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left( \frac{1}{3}\right)^{2^n-1}\ }\end{align*}}$
(1)、(2)はうまく整理して考えましょう。
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- 2013/10/19(土) 23:57:00|
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