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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013大阪教育大 前期 数学1



第1問

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf t=\tan\frac{x}{2}\end{align*}}$ とおくとき、次の等式が成り立つことを示せ。
    (ⅰ) $\small\sf{\begin{align*} \sf \ \sin x=\frac{2t}{1+t^2}\end{align*}}$
    (ⅱ) $\small\sf{\begin{align*} \sf \ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\end{align*}}$
    (ⅲ) $\small\sf{\begin{align*} \sf \ \tan x=\frac{2t}{1-t^2}\end{align*}}$

 (2) a、bを実数とする。xを未知数とする方程式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a\sin x+b \cos x+1=0\end{align*}}$
    が、$\small\sf{-\pi\lt x\lt\pi}$の範囲に相異なる二つの解をもつとする。
    (ⅰ) a、bの満たすべき条件を求めよ。
    (ⅱ) 二つの解を$\small\sf{\alpha\ ,\ \beta}$ とするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \tan\frac{\alpha +\beta}{2}\end{align*}}$ をa、bを用いて
       表せ。

 (3) 次の定積分を求めよ。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi /2}\frac{1}{\sin x+\cos x+1}\ dx\end{align*}}$




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  1. 2013/10/16(水) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2013
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2013大阪教育大 前期 数学2



第2問

  直線y=mx(m≠0)をLとし、行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$ で表される平面上の
  1次変換fは次の二つの条件を満たすとする。
      Lの各点はfで動かない。
      fは点A(1,0)を、Aを通りLに平行な直線上の点に移す。
  このとき、次の問いに答えよ。

 (1) a、c、dをb、mを用いて表せ。

 (2) ad-bcの値を求めよ。

 (3) fにより平面上の任意の点Pは、Pを通りLに平行な直線上の
    点に移ることを示せ。




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  1. 2013/10/17(木) 23:57:00|
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2013大阪教育大 前期 数学3



第3問

  平行四辺形ABCDを底面とする四角錐OABCDを考える。
  線分OBの中点をB’、線分OCを1:2に内分する点をC’とし、
  A、B’、C’を通る平面と直線ODの交点をD’とする。また、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
  とする。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ で表せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD'}\end{align*}}$ は $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ の何倍か。

 (3) 三角錐AOB’D’の体積は、三角錐AOBDの体積の何倍か。

 (4) 四角錐OAB’C’D’の体積は、四角錐OABCDの体積の
    何倍か。



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  1. 2013/10/18(金) 23:57:00|
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2013大阪教育大 前期 数学4



第4問

  ある種の粒子は出現して1時間後に次のように変化する。
     確率 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ で2個の新しい粒子になる。
     確率 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ で1個の新しい粒子になる。
     確率 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ で消滅する。
  1個の粒子から始まるものとして、次の問いに答えよ。

 (1) 2時間後に粒子が2個になっている確率を求めよ。

 (2) 3時間後に粒子が5個になっている確率を求めよ。

 (3) nを自然数とする。n時間後に最大でいくつの粒子があるか。
    その個数と、そうなる確率をnを用いて表せ。



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  1. 2013/10/19(土) 23:57:00|
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