第1問（理学部）
半径1の外接円をもつ三角形ABCの外心をOとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
とおく。
$\small\sf{\begin{align*} \sf 2\overrightarrow{\sf a}+3\overrightarrow{\sf b}+3\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
であるとき、次の問いに答えよ。
(1) 内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を求めよ。
(2) 辺AB、ACの長さをそれぞれ求めよ。
(3) ∠BAC=$\small\sf{\theta}$ とおく。cos$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\overrightarrow{\sf a}+3\overrightarrow{\sf b}+3\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$ ･････①
(1)
Oは三角形の外心なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|=|\overrightarrow{\sf b}|=|\overrightarrow{\sf c}|=1\end{align*}}$ ････②
よって、①、②を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |2\overrightarrow{\sf a}+3\overrightarrow{\sf b}|^2=|-3\overrightarrow{\sf c}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4|\overrightarrow{\sf a}|^2+12\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+9|\overrightarrow{\sf b}|^2=9|\overrightarrow{\sf c}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4+12\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+9=9\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=\underline{\ -\frac{1}{3}\ }\end{align*}}$
(2)
(1)および②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AB}|^2=|\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\overrightarrow{\sf b}|^2-2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+|\overrightarrow{\sf a}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1+\frac{2}{3}+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{8}{3}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=\underline{\ \frac{2\sqrt{6}}{3}\ }\end{align*}}$
また、(1)と同様にすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |2\overrightarrow{\sf a}+3\overrightarrow{\sf c}|^2=|-3\overrightarrow{\sf c}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4+12\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}+9=9\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}=-\frac{1}{3}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AC}|^2=|\overrightarrow{\sf c}-\overrightarrow{\sf a}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\overrightarrow{\sf c}|^2-2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}+|\overrightarrow{\sf a}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{8}{3}\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AC=\underline{\ \frac{2\sqrt{6}}{3}\ }\end{align*}}$．
(3)
(1)と同様にすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |3\overrightarrow{\sf b}+3\overrightarrow{\sf c}|^2=|-2\overrightarrow{\sf a}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 9+18\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}+9=4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=-\frac{7}{9}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf BC}|^2=|\overrightarrow{\sf c}-\overrightarrow{\sf b}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\overrightarrow{\sf c}|^2-2\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}+|\overrightarrow{\sf a}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{32}{9}\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BC=\frac{4\sqrt{2}}{3}\end{align*}}$
△ABCにおいて余弦定理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB\cdot AC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\frac{8}{3}+\frac{8}{3}-\frac{32}{9}}{2\cdot\frac{8}{3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{3}\ }\end{align*}}$
①の式がbとcについて対称なので、AB=ACとなることは予想できそうです。
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- 2013/10/10(木) 23:57:00|
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第2問（理学部）
座標平面上に、直線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{4}{3}x\end{align*}}$ とy軸の両方に接する円Cがある。
その円Cの中心の座標を(a，b)とする。ただし、a＞0かつb＜0
とする。次の問いに答えよ。
(1) bをaで表せ。
(2) 点(0，3)と点(a，b)を通る直線をLとし、Lとx軸との交点の
座標を(t，0)とおく。このとき、tをaを用いて表せ。また、
a→∞のときのtの極限値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
中心(a，b)からy軸までの距離は a（＞0）であり、
直線 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{4}{3}x\end{align*}}$ すなわち 4x－3y=0までの距離は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{|4a-3b|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\frac{|4a-3b|}{5}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{|4a-3b|}{5}\ \ \Leftrightarrow\ \ \pm5a=4a-3b\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b=3a\ \ ,\ \ b=-\frac{1}{3}a\end{align*}}$ ．
題意よりa＞0、b＜0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ b=-\frac{1}{3}\ a\ }\end{align*}}$ ．
(2)
直線Lの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{b-3}{a}x+3\end{align*}}$
であり、x軸との交点が(t，0)なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=\frac{b-3}{a}t+3\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\frac{3a}{3-b}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\ t=\lim_{a\rightarrow\infty}\ \frac{3a}{3-b}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{a\rightarrow\infty}\ \frac{3a}{3+\frac{1}{3}\ a }\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{a\rightarrow\infty}\ \frac{9}{\frac{9}{a}+1 }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 1\ }\end{align*}}$ ．
そのまま計算しましょう。
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- 2013/10/11(金) 23:57:00|
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第3問（理学部）
nを正の整数とする。袋の中に、1から4nまでの数字が1つずつ
書かれた4n枚のカードが入っている。ただし、異なるカードには
異なる数字が書かれているものとする。この袋の中から、カード
を1枚ずつ2回取り出す。ただし、取り出したカードは袋に戻さな
いものとする。取り出された2枚のカードに書かれた数字の和が
6n以下となる確率をPnとおく。次の問いに答えよ。
(1) P1、P2をそれぞれ求めよ。
(2) Pnをnを用いて表せ。また、極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ P_n\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
取り出した2枚のカードに書かれた数字の和をSnとおく。
(1)
P1････1～4のカードでS1≦6となる確率
余事象を考えると、S1＞6となるのは、2枚のカードの組が
(4，3)の場合のみ。
また、2枚のカードの選び方の総数は、4C2=6通りなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_1=1-\frac{1}{6}=\underline{\ \frac{5}{6}\ }\end{align*}}$ ．
P2････1～8のカードでS2≦12となる確率
余事象を考えると、S2＞12となるのは、2枚のカードの組が
(8，7)、(8，6)、(8，5)、(7，6)の場合の4通り。
また、2枚のカードの選び方の総数は、8C2=28通りなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_2=1-\frac{4}{28}=\underline{\ \frac{6}{7}\ }\end{align*}}$ ．
(2)
Pn････1～4nのカードでS1≦6nとなる確率
余事象、すなわちSn＞6nとなる場合を考える。
(ⅰ) Sn＞6nで、Snが奇数の場合
Sn=8n－1となるのは
(4n，4n－1)の1通り
Sn=8n－3となるのは
(4n，4n－3)、(4n－1，4n－2)の2通り
Sn=8n－5となるのは
(4n，4n－5)、(4n－1，4n－4)、(4n－2，4n－3)の3通り
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
Sn=6n+1となるのは
(4n，2n+1)、･･･、(3n+1，3n)のn通り
よって、これらの組の総数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+2+3+\ldots +n=\frac{1}{2}n(n+1)\end{align*}}$ 通り
(ⅱ) Sn＞6nで、Snが偶数の場合
Sn=8n－2となるのは
(4n，4n－2)の1通り
Sn=8n－4となるのは
(4n，4n－4)、(4n－1，4n－3)の2通り
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
Sn=6n+2となるのは
(4n，2n+2)、･･･、(3n+2，3n)のn－1通り
よって、これらの組の総数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+2+\ldots +(n-1)=\frac{1}{2}n(n-1)\end{align*}}$ 通り
以上より、Sn＞6nになる組の総数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}n(n+1)+\frac{1}{2}n(n-1)=n^2\end{align*}}$
であり、2枚のカードの選び方の総数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _{4n}C_2=\frac{4n(4n-1)}{2}=2n(4n-1)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_n=1-\frac{n^2}{2n(4n-1)}=\underline{\ \frac{7n-1}{2(4n-1)}\ }\end{align*}}$ ．
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ P_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{7n-1}{2(4n-1)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{7-\frac{1}{n}}{2\left(4-\frac{1}{n}\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{7}{8}\ }\end{align*}}$
(2)は難しいでしょうね。
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- 2013/10/12(土) 23:57:00|
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第4問（生活環境学部）
a、dを正の整数とする。x1=a、x2=a+d、x3=a+2d、
x4=a+3dとおく。x1、x2、x3、x4がすべて素数であるとき、
次の問いに答えよ。
(1) aは奇数であることを示せ。また、dは偶数であることを示せ。
(2) dは3の倍数であることを示せ。
(3) x3=67であるとき、a、dの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
aが偶数であるとすると、x1=aとx3=a+2dがともに偶数と
なるが、偶数の素数は2のただ1であることに矛盾する。
よって、aは奇数である。
次に、dが奇数であると仮定すると、x2=a+dとx4=a+3dが
ともに偶数となる。これも偶数の素数がただ1つしかないことに
矛盾するので、dは偶数である。
(2)
aが3の倍数であるとすると、x1=aとx4=a+3dがともに
3の倍数となるが、3の倍数である素数は3のただ1であることに
矛盾する。よって、aは3の倍数ではない。
よって、a=3m－1 または a=3m－2 （m：自然数)と表すこと
ができる。
次に、dが3の倍数でないと仮定する。すなわち、
d=3n－1 または d=3n－2 （n：自然数)
と仮定する。
(ア) a=3m－1 かつ d=3n－1 のとき
x3=3m－1+2(3n－1)=3(m+2n－1)
となり、x3は3の倍数の素数である。
よって、
x3=3(m+2n－1)=3
⇔ m+2n－1=1
となるが、これを満たす自然数m、nは存在しないので
矛盾する。
(イ) a=3m－1 かつ d=3n－2 のとき
x2=3m－1+(3n－2)=3(m+n－1)
となり、x2は3の倍数の素数である。
よって、
x3=3(m+n－1)=3
⇔ m+n－1=1
⇔ m=n=1
このとき、x1=2となり、aが奇数であることに矛盾する。
(ウ) a=3m－2 かつ d=3n－1 のとき
x2=3m－1+(3n－2)=3(m+n－1)
となり、x2は3の倍数の素数である。
よって、(イ)の場合と同様 m=n=1 となる。
このとき、x1=1となり、aが素数であることに矛盾する。
(エ) a=3m－2 かつ d=3n－2 のとき
x3=3m－2+2(3n－2)=3(m+2n－2)
となり、x3は3の倍数の素数である。
よって、
x3=3(m+2n－2)=3
⇔ m+2n－2=1
⇔ m=n=1 となる。
これは(ウ)と同様、aが素数であることに矛盾する。
(ア)～(エ)より、dは3の倍数である。
(3)
(1)、(2)より、dは6の倍数なので、自然数nを用いて
d=6n
と表すことができる。
よって、題意より、
x2=a+12n=67
⇔ a=67－12n＞0 ････①
となり、これを満たす自然数nの値は
n=1，2，3，4，5
・n=1のとき、①よりa=55
題意よりaは素数なので、この場合は不適
・n=2のとき、①よりa=43
このとき、d=12なので、x2=55となるが、
題意よりx2は素数なので、この場合は不適
・n=3のとき、①よりa=31
このとき、d=18なので、x2=49となるが、
題意よりx2は素数なので、この場合は不適
・n=4のとき、①よりa=19
このとき、d=24なので、x4=91となるが、
題意よりx4は素数なので、この場合は不適
・n=5のとき、①よりa=7
このとき、d=30なので、
x1=7
x2=37
x3=67
x4=97
となり、題意をみたす。
以上より、
a=7、 d=30
(2)が難しいでしょうね。(1)と同様に背理法を使います。
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- 2013/10/13(日) 23:57:00|
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第5問（生活環境学部）
一辺の長さが1の正六角形ABCDEFの頂点から異なる3点を
選び、これらを頂点とする三角形を作る。次の問いに答えよ。
(1) 作られる三角形が正三角形となる確率を求めよ。
(2) 作られる三角形の面積の期待値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
3頂点の選び方の総数は、6C3=20通り
(1)
正三角形となるのは、△ACE、と△BDFの2通り。
よって、正三角形となる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{20}=\underline{\ \frac{1}{10}\ }\end{align*}}$ ．
(2)
作られる三角形の面積をSとすると、三角形の形状は、
次の(ⅰ)～(ⅲ)の3つの場合が考えられる。
(ⅰ) 正三角形となる場合
△ABCで余弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AC^2=1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cos 120^{\circ}=3\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\cdot \left( \sqrt3\right)^2\cdot\sin 60^{\circ}=\frac{3\sqrt3}{4}\end{align*}}$ ．
(ⅱ) 等辺が1、頂角が120°の二等辺三角形になる場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot\sin 120^{\circ}=\frac{\sqrt3}{4}\end{align*}}$
であり、このような三角形は
△ABC、△BCD、△CDE、△DEF、△EFA、△FAB
の6通り。
(ⅲ) 直角三角形になる場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \sqrt3 \cdot\sin 30^{\circ}=\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
であり、このような三角形は
20－2－6=12通り
以上より、Sの期待値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\sqrt3}{4}\cdot\frac{2}{20}+\frac{\sqrt3}{4}\cdot\frac{6}{20}+\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{12}{20}=\underline{\ \frac{9\sqrt3}{20}\ }\end{align*}}$
となる。
これは確実に得点したいですね。
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- 2013/10/14(月) 23:57:15|
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第6問（生活環境学部）
tを0≦t≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$－1を満たす実数とする。座標平面上に6点O(0，0)、
A(0，1)、B($\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$，0)、P(t－1，0)、Q(t，1)、R(t+1，0)がある。
2直線PQとABの交点をM、2直線QRとABの交点をNとする。次の
問いに答えよ。
(1) 2点M、Nのx座標を求めよ。
(2) 三角形OABと三角形PQRの共通部分の面積をSとおく。Sをtを
用いて表せ。
(3) (2)で求めたSが最大となるようなtの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
直線の方程式はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB:\ y=-\frac{1}{\sqrt3}x+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PQ:\ y=x-t+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf QR:\ y=-x+t+1\end{align*}}$
ABとPQの交点Mのx座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{\sqrt3}x+1=x-t+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\underline{\ \frac{\sqrt3\ t}{\sqrt3 +1}\ }\end{align*}}$ ．
ABとQRの交点Nのx座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{\sqrt3}x+1=-x+t+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\underline{\ \frac{\sqrt3\ t}{\sqrt3 -1}\ }\end{align*}}$ ．
(2)
(1)より、Nのy座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{\sqrt3\ t}{\sqrt3 +1}+t+1=\frac{-t+\sqrt3-1}{\sqrt3 -1}\end{align*}}$ ．
また、PQとy軸の交点をU(0，－t+1)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\triangle OAB-\triangle AUM-\triangle BRN\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \sqrt3-\frac{1}{2}\cdot\left\{1-(-t+1) \right\}\cdot \frac{\sqrt3\ t}{\sqrt3 +1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}\cdot\left\{\sqrt3-(t+1) \right\}\cdot\frac{-t+\sqrt3-1}{\sqrt3 -1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt3}{2}-\frac{(3-\sqrt3)\ t^2}{4}-\frac{\left(\sqrt3 +1 \right)\left\{t- \left(\sqrt3-1 \right)\right\}^2}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -t^2+t+\frac{1}{2}\ }\end{align*}}$ ．
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=-\left( t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\end{align*}}$
と変形できるので、
0≦t≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$－1の範囲でSを最大にするtの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ t=\frac{1}{2}\ }\end{align*}}$
である。
(2)は、
S=△PQR－△OPU－△QMN
で求めてもOKです。
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- 2013/10/15(火) 23:57:00|
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