第1問
平面上に原点Oから出る、相異なる2本の半直線OX，OYをとり、
∠XOY＜180°とする．半直線OX上にOと異なる点Aを、半直線
OY上にOと異なる点Bをとり、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
とおく．次の問に答えよ．
(1) 点Cが∠XOYの二等分線上にあるとき、ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ は
ある実数tを用いて
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}=t\left(\frac{\overrightarrow{\sf a}}{|\overrightarrow{\sf a}|}+\frac{\overrightarrow{\sf b}}{|\overrightarrow{\sf b}|}\right)\end{align*}}$
と表されることを示せ．
(2) ∠XOYの二等分線と∠XABの二等分線の交点をPとおくとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}=\overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ および3辺の長さ $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|\ ,\ |\overrightarrow{\sf b}|\ ,\ |\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}|\end{align*}}$ を用いて
表せ．
$\small\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA'}=\frac{\overrightarrow{\sf a}}{|\overrightarrow{\sf a}|}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OB'}=\frac{\overrightarrow{\sf b}}{|\overrightarrow{\sf b}|}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OC'}=\frac{\overrightarrow{\sf a}}{|\overrightarrow{\sf a}|}+\frac{\overrightarrow{\sf b}}{|\overrightarrow{\sf b}|}\end{align*}}$
とおくと、
OC’はOA’、OB’を隣り合う2辺とする平行四辺形
の対角線となる．
また、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA'}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OB'}\end{align*}}$ はそれぞれ$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ と同じ向きの
単位ベクトルなので、
OA'=OB'=1．
よって、四角形OA'C'B'はひし形となり、
その対角線OC'は内角A'OB'を二等分する．
よって、∠XOYの二等分線上にある点Cに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}=t\left(\frac{\overrightarrow{\sf a}}{|\overrightarrow{\sf a}|}+\frac{\overrightarrow{\sf b}}{|\overrightarrow{\sf b}|}\right)\end{align*}}$
と表すことができる(tは実数)．
(2)
(1)より、点Pは∠XOYの二等分線上にあるので、
実数tを用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=t\left(\frac{\overrightarrow{\sf a}}{|\overrightarrow{\sf a}|}+\frac{\overrightarrow{\sf b}}{|\overrightarrow{\sf b}|}\right)\end{align*}}$ ････①
と表せる．
また、点Pは∠XABの二等分線上にあるので、
実数sを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=s\left(\frac{\overrightarrow{\sf a}}{|\overrightarrow{\sf a}|}+\frac{\overrightarrow{\sf AB}}{|\overrightarrow{\sf AB}|}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OP}-{\overrightarrow{\sf OA}}=s\left(\frac{\overrightarrow{\sf a}}{|\overrightarrow{\sf a}|}+\frac{\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}}{|\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}|}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OP}=\left(\frac{s}{|\overrightarrow{\sf a}|}-\frac{s}{|\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}|}+1\right)\overrightarrow{\sf a}+\frac{s}{|\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}|}\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ ････②
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ は一次独立なので、
①、②の係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{t}{|\overrightarrow{\sf a}|}=\frac{s}{|\overrightarrow{\sf a}|}+\frac{s}{|\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}|}+1\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{t}{|\overrightarrow{\sf b}|}=\frac{s}{|\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}|}\end{align*}}$
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{|\overrightarrow{\sf a}||\overrightarrow{\sf b}|}{|\overrightarrow{\sf a}|+|\overrightarrow{\sf a}|-|\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}|}\end{align*}}$
となり、これを①に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \ \overrightarrow{\sf p}=\frac{|\overrightarrow{\sf a}||\overrightarrow{\sf b}|}{|\overrightarrow{\sf a}|+|\overrightarrow{\sf a}|-|\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}|}\left(\frac{\overrightarrow{\sf a}}{|\overrightarrow{\sf a}|}+\frac{\overrightarrow{\sf b}}{|\overrightarrow{\sf b}|}\right)\ \ }\end{align*}}$
(2)は、(1)の結果をうまく使いましょう
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- 2013/10/05(土) 23:57:00|
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第2問
行列
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf \frac{1}{2}&\sf -\frac{\sqrt3}{2} \\ \sf \frac{\sqrt3}{2} & \sf \frac{1}{2} \end{pmatrix}\end{align*}}$
と、実数x、y、z、wを成分とする行列
$\small\sf{\begin{align*} \sf X=\begin{pmatrix} \sf x&\sf y \\ \sf z & \sf w \end{pmatrix}\end{align*}}$
を考える。次の問いに答えよ。
(1) Xについて関係式XA=AXが成立するための、x、y、z、wの
条件を求めよ。
(2) XがX2=Aを満たすとき、XA=AXが成立することを示せ。
(3) X2=Aを満たす行列Xをすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
XA=AXより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf x&\sf y \\ \sf z & \sf w \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1 &\sf -\sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf 1 \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 1 &\sf -\sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf x&\sf y \\ \sf z & \sf w \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{pmatrix} \sf x+\sqrt3 y&\sf -\sqrt3 x+y \\ \sf z+\sqrt3 w & \sf -\sqrt3 z+w \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf x-\sqrt3 z&\sf y-\sqrt3 w \\ \sf \sqrt3 x+z & \sf \sqrt3 y+w \end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
両辺の成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x+\sqrt3 y=x-\sqrt3z\ \ \Leftrightarrow\ \ z=-y\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\sqrt3 x+y=y-\sqrt3 w\ \ \Leftrightarrow\ \ w=x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z+\sqrt3 w=\sqrt3x+z\ \ \Leftrightarrow\ \ w=x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\sqrt3 z+w=\sqrt3 y+w\ \ \Leftrightarrow\ \ z=-y\end{align*}}$
以上より、求める条件は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ w=x\ \ ,\ \ z=-y\ }\end{align*}}$
(2)
X2=Aのとき
XA=X･X2=X3
AX=X2･X=X3
よって、等式 XA=AX が成り立つ。
(3)
(1)、(2)より、X2=Aのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\begin{pmatrix} \sf x&\sf y \\ \sf -y & \sf x \end{pmatrix}\end{align*}}$
と表せるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X^2=\begin{pmatrix} \sf x&\sf y \\ \sf -y & \sf x \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf x&\sf y \\ \sf -y & \sf x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf x^2-y^2&\sf 2xy \\ \sf -2xy & \sf x^2-y^2 \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 1 &\sf -\sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$．
成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-y^2=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2xy=-\frac{\sqrt3}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{\sqrt3}{4x}\end{align*}}$ ････②
②を①に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-\frac{3}{16x^2}=\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ 16x^4-8x^2-3=(4x^2-3)(4x^2+1)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm\frac{\sqrt3}{2}\ \ ,\ \ y=\mp\frac{1}{2}\end{align*}}$ （複号同順）
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ X=\pm\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf \sqrt3&\sf -1 \\ \sf 1 & \sf \sqrt3 \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
(3)は、(1)、(2)からの誘導です。
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- 2013/10/06(日) 23:57:00|
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第3問
xy平面において放物線C：y=x2と、その下側にある点P(p，q)
（q＜p2）を考える。Pを通るようなCの2つの接線を考え、その
接点をそれぞれA、Bとする。また、Pを通る傾きmの直線がCと
相異なる2点S、Tｄ交わるとする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
Cの導関数は、y’=2xなので、
点A(a，a2)におけるCの接線は、
y－a2=2a(x－a)
であり、これが点P(p，q)を通るので、
q－a2=2a(p－a) ⇔ a2－2pa+q=0．
点Bについても同様に
b2－2pb+q=0
となり、これら2式はa、bがXについての方程式
X2－2pX+q=0
の2解となることを表している。
よって、解と係数の関係より、
a+b=2p、 ab=q
(2)
点P(p，q)を通る傾きmの直線をLとすると、
L：y－q=m(x－p) ⇔ y=mx－mp+q．
LとCとの交点S、Tのx座標はs、tは、xについての方程式
x2=mx－mp+q
⇔ x2－mx+mp－q=0
の2解なので、解と係数の関係より、
s+t=m、 st=mp－q
(3)
直線ABの式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-a^2=\frac{b^2-a^2}{b-a}(x-a)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=(a+b)x-ab\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=2px-q\end{align*}}$ ←(1)より
ABとLの交点Qのx座標はuなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2pu-q=mu-mp+q\ \ \Leftrightarrow\ \ u=\frac{-mp+2q}{2p-m}\end{align*}}$．
また、直線Lの傾きはmなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PS=\sqrt{1+m^2}\ (p-s)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PT=\sqrt{1+m^2}\ (p-t)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PQ=\sqrt{1+m^2}\ (p-u)\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{PS}+\frac{1}{PT}=\frac{1}{\sqrt{1+m^2}\ (p-s)}+\frac{1}{\sqrt{1+m^2}\ (p-t)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}\cdot\frac{(p-s)+(p-t)}{(p-s)(p-t)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}\cdot\frac{2p-(s+t)}{p^2-(s+t)p+st}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}\cdot\frac{2p-m}{p^2-mp+(mp-q)}\end{align*}}$ ←(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}\cdot\frac{2p-m}{p^2-q}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{PQ}=\frac{2}{\sqrt{1+m^2}\ (p-u)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}\cdot\frac{2}{p-\frac{-mp+2q}{2p-m}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}\cdot\frac{2(2p-m)}{p(2p-m)-(-mp+2q)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}\cdot\frac{2p-m}{p^2-q}\end{align*}}$
より、左辺=右辺となるので、題意は示された。
(3)で、PSなどの長さをそのまま求めようとすると死にますｗｗ
傾きがmなので、三平方の定理でうまく切り抜けましょう。
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- 2013/10/07(月) 23:57:00|
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第4問
xyz空間に3点P(1，1，0)、Q(－1，1，0)、R(－1，1，2)をとる。
次の問いに答えよ。
(1) tを0＜t＜2を満たす実数とするとき、平面z=tと、△PQRの
交わりに現れる線分の2つの端点の座標を求めよ。
(2) △PQRをz軸の周りに回転して得られる回転体の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
平面z=tがPR、QRと交わる点をそれぞれS、Tとおく。
PQ//STより、SはPRをt：(2－t)に内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\left(\frac{(2-t)-t}{t+(2-t)}\ ,\ 1\ ,\ t \right)=\underline{\ \left(1-t\ ,\ 1\ ,\ t \right)\ }\end{align*}}$
また、TはQRをt：(2－t)に内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ T(-1\ ,\ 1\ ,\ t)\ }\end{align*}}$
(2)
求める回転体をVとする。
Vを平面z=tで切った断面積をS(t)とおくと、S(t)は線分STを
点H(0，0，t)の周りに回転させたときに通過する部分の
面積に等しい。
M(0，1，t)とおくと、
(ⅰ)0＜t＜1のとき
S(t)は、Hを中心とする半径HT、HMの
2円で囲まれる部分の面積なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(t)=\left( \sqrt2\right)^2\pi-1^2\cdot \pi=\pi\end{align*}}$
(ⅱ)1≦t＜2のとき
S(t)は、Hを中心とする半径HT、HSの
2円で囲まれる部分の面積なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(t)=\left( \sqrt2\right)^2\pi-\left\{\left(1-t \right)^2+1^2 \right\}\ \pi=\left( -t^2+2t\right)\pi\end{align*}}$
以上より、Vの体積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\pi\ dt+\int_1^2\left( -t^2+2t\right)\pi dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[\pi t\bigg]_0^1+\pi\bigg[-\frac{t^3}{3}+t^2\bigg]_1^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{5}{3}\pi\ }\end{align*}}$
(2)で場合分けが必要なことに気づくでしょうか？
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- 2013/10/08(火) 23:57:00|
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第5問
$\small\sf{\alpha}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3+\sqrt7\ i}{2}\end{align*}}$ とする。ただし、iは虚数単位である．次の問に答えよ．
(1) $\small\sf{\alpha}$ を解にもつような2次方程式x2+px+q=0（p、qは実数）を求めよ．
(2) 整数a、b、cを係数とする3次方程式x3+ax2+bx+c=0について、
解の1つは$\small\sf{\alpha}$ であり、また0≦x≦1の範囲に実数解を1つもつとする．
このような整数の組(a，b，c)をすべて求めよ．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\alpha}$ がx2+px+q=0の解なので代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{3+\sqrt7\ i}{2}\right)^2+p\left(\frac{3+\sqrt7\ i}{2}\right)+q=0\end{align*}}$ ．
これを展開して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (1+3p+2q)+\sqrt7\left( 3+p\right)i=0\end{align*}}$ ．
ここで、p、qは実数なので、
1+3p+2q=0 かつ 3+p=0．
これらを連立させて解くと、
p=-3、q=4
pとqは実数なので、複素数$\scriptsize\sf{\alpha}$ が方程式x2+px+q=0の解であれば、
その共役複素数である $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3-\sqrt7\ i}{2}\end{align*}}$ も解となります．
これに気づきさえすれば、解と係数の関係を用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue} -p=\frac{3+\sqrt7\ i}{2}+\frac{3-\sqrt7\ i}{2}=3\ \ \Leftrightarrow\ \ p=-3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue} \ q=\frac{3+\sqrt7\ i}{2}\times\frac{3-\sqrt7\ i}{2}=4}\end{align*}}$
で秒殺です．
(2)
0≦x≦1の範囲にある実数解をtとおくと、
3次方程式x3+ax2+bx+c=0 ････① はtを解にもつので、
①の左辺は、実数P、Qを用いて
(x-t)(x2+Px+Q)=0
と因数分解できる．
さらに、x2+Px+Q=0が$\scriptsize\sf{\alpha}$ を解にもつので、
(1)より、
P=-3、 Q=4
となり、①は
(x-t)(x2-3x+4)=0 ････①’
と表せる．
①’を展開し、①と係数を比較すると、
a=-t-3 ････②
b=3t+4
c=-4t
ここで、②より
t=-a-3
となり、aは整数なので、tも整数となる．
このことと、0≦t≦1であることから考えると、
t=0 または t=1．
よって、
t=0のとき、(a，b，c)=(-3，4，0)
t=1のとき、(a，b，c)=(-4，7，-4)
(2)に関しても、共役複素数$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3-\sqrt7\ i}{2}\end{align*}}$ が解になることに気づけば、
解と係数の関係を用いたスマートな解答になるでしょう．
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- 2013/10/09(水) 23:57:00|
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