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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2006神戸大 理系数学1



第1問

  平面上に原点Oから出る、相異なる2本の半直線OX,OYをとり、
  ∠XOY<180°とする.半直線OX上にOと異なる点Aを、半直線
  OY上にOと異なる点Bをとり、
      $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
  とおく.次の問に答えよ.

 (1) 点Cが∠XOYの二等分線上にあるとき、ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ は
    ある実数tを用いて
      $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}=t\left(\frac{\overrightarrow{\sf a}}{|\overrightarrow{\sf a}|}+\frac{\overrightarrow{\sf b}}{|\overrightarrow{\sf b}|}\right)\end{align*}}$
    と表されることを示せ.

 (2) ∠XOYの二等分線と∠XABの二等分線の交点をPとおくとき、
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}=\overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ および3辺の長さ $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|\ ,\ |\overrightarrow{\sf b}|\ ,\ |\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}|\end{align*}}$ を用いて
    表せ.


$\small\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$

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  1. 2013/10/05(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2006
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2006神戸大 理系数学2



第2問

  行列
        $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf \frac{1}{2}&\sf -\frac{\sqrt3}{2} \\ \sf \frac{\sqrt3}{2} & \sf \frac{1}{2} \end{pmatrix}\end{align*}}$
  と、実数x、y、z、wを成分とする行列
        $\small\sf{\begin{align*} \sf X=\begin{pmatrix} \sf x&\sf y \\ \sf z & \sf w \end{pmatrix}\end{align*}}$
  を考える。次の問いに答えよ。

 (1) Xについて関係式XA=AXが成立するための、x、y、z、wの
    条件を求めよ。

 (2) XがX2=Aを満たすとき、XA=AXが成立することを示せ。

 (3) X2=Aを満たす行列Xをすべて求めよ。


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  1. 2013/10/06(日) 23:57:00|
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2006神戸大 理系数学3



第3問

  xy平面において放物線C:y=x2と、その下側にある点P(p,q)
  (q<p2)を考える。Pを通るようなCの2つの接線を考え、その
  接点をそれぞれA、Bとする。また、Pを通る傾きmの直線がCと
  相異なる2点S、Td交わるとする。

           図05
解答はこちら↓

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  1. 2013/10/07(月) 23:57:00|
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2006神戸大 理系数学4



第4問

  xyz空間に3点P(1,1,0)、Q(-1,1,0)、R(-1,1,2)をとる。
  次の問いに答えよ。

 (1) tを0<t<2を満たす実数とするとき、平面z=tと、△PQRの
    交わりに現れる線分の2つの端点の座標を求めよ。

 (2) △PQRをz軸の周りに回転して得られる回転体の体積を求めよ。



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  1. 2013/10/08(火) 23:57:00|
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2006神戸大 理系数学5



第5問

  $\small\sf{\alpha}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3+\sqrt7\ i}{2}\end{align*}}$ とする。ただし、iは虚数単位である.次の問に答えよ.

 (1) $\small\sf{\alpha}$ を解にもつような2次方程式x2+px+q=0(p、qは実数)を求めよ.

 (2) 整数a、b、cを係数とする3次方程式x3+ax2+bx+c=0について、
    解の1つは$\small\sf{\alpha}$ であり、また0≦x≦1の範囲に実数解を1つもつとする.
    このような整数の組(a,b,c)をすべて求めよ.



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  1. 2013/10/09(水) 23:57:00|
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