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【解答】
PがxについてのK次式、yについてのM次式、zについてのN次式
であるとする。(K，M，Nは0以上の整数）
0≦k≦K、0≦m≦M、0≦n≦Nである整数k、m、nに対して、
Pのxkymznの項の係数をak,m,nで表すことにすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P=\sum_{k=0}^K\left[\sum_{m=0}^M\left\{\sum_{n=0}^Na_{k,m,n}\ x^ky^mz^n\right\}\right]\end{align*}}$
となる。
また、x、y、zについての2つの整式A、Bが、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \tilde{A}(\theta)=\tilde{B}(\theta)\end{align*}}$ を満たすとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A\cong B\end{align*}}$ と表すことにする。例えば、
sin$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝cos$\scriptsize\sf{\theta}$ tan$\scriptsize\sf{\theta}$ なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x\cong yz\end{align*}}$ ････①
cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝1－sin2$\scriptsize\sf{\theta}$ なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y^2\cong 1-x^2\end{align*}}$ ････②
である。
(１)
①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\cong\sum_{k=0}^K\left[\sum_{m=0}^M\left\{\sum_{n=0}^Na_{k,m,n}\ (yz)^ky^mz^n\right\}\right]\end{align*}}$
であり、この右辺をQとすると、これはy、zの整式なので、
題意は示された。
(２)
Pの項は(ア)～(エ)の4種類に分類することができる。
(ア) mが偶数で、L，n≠0の項
m＝2tとおくと、②より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^ky^{2t}z^n\cong x^k(1-x^2)^{t}z^n\end{align*}}$
(イ) mが奇数で、L，n≠0の項
m＝2t＋1とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^ky^{2t+1}z^n\cong x^k(1-x^2)^{t}yz^n\end{align*}}$ ←②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cong x^{k+1}(1-x^2)^{t}z^{n-1}\end{align*}}$ ←①より
(ウ) mが偶数で、L＝n＝0の項
m＝2tとおくと、②より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y^{2t}\cong (1-x^2)^{t}\end{align*}}$
(エ) mが奇数で、L＝n＝0の項
m＝2t＋1とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y^{2t+1}\cong (1-x^2)^{t}y\end{align*}}$ ←②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cong \left(\sum_{i=0}^t\ _tC_i(-x^2)^i\right)\ y\end{align*}}$ ←二項定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cong \left(1+\sum_{i=1}^t\ _tC_i(-x^2)^i\right)\ y\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cong y-\left(\sum_{i=1}^t\ _tC_i(-x^2)^{i-1}\right)\ x^2y\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cong y-\left(\sum_{i=1}^t\ _tC_i(-x^2)^{i-1}\right)\ xy^2z\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cong y-\left(\sum_{i=1}^t\ _tC_i(-x^2)^{i-1}\right)\ x(1-x^2)z\end{align*}}$ ←②より
Pはこれらの項の総和なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\cong\sum a_{k,2t,n}x^k(1-x^2)^{t}z^n+\sum a_{k,2t+1,n}x^{k+1}(1-x^2)^{t}z^{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf +\sum a_{0,2t,0} (1-x^2)^{t}+\underline{\ \sum a_{0,2t+1,0} y\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\sum a_{0,2t+1,0}\left(\sum_{i=1}^t\ _tC_i(-x^2)^{i-1}\right)\ x(1-x^2)z\end{align*}}$ ･･････(※)
$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝0のとき、対応するx、y、zの値は、x＝z＝0、y＝1
なので、(※)の右辺の値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum a_{0,2t,0}+\sum a_{0,2t+1,0}\end{align*}}$
また、$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝$\scriptsize\sf{\pi}$ のとき、対応するx、y、zの値は、x＝z＝0、y＝－1
なので、(※)の右辺の値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum a_{0,2t,0}-\sum a_{0,2t+1,0}\end{align*}}$
ここで題意より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \tilde{P}(0)=\tilde{P}(\pi)\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum a_{0,2t,0}+\sum a_{0,2t+1,0}=\sum a_{0,2t,0}-\sum a_{0,2t+1,0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sum a_{0,2t+1,0}=0\end{align*}}$
となり、(※)の下線部は消え、xとzのみの式となる。
これをQとすると、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \tilde{P}(\theta)=\tilde{Q}(\theta)\end{align*}}$ となるので、題意は示された。
(３)
Pの項は(オ)～(キ)の3種類に分類することができる。
(オ) m≧nの項
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^ky^{m}z^n\cong x^ky^m\left(\frac{x}{y}\right)^n\cong x^{k+n}y^{m-n}\end{align*}}$ ←①より
(カ) m＝nの項
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^ky^{m}z^m\cong x^{k+m}\end{align*}}$ ←①より
(キ) m＜nの項
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^ky^{m}z^n\cong \frac{x^{k+n}}{y^{n-m}}\end{align*}}$ ←①より
(オ)～(キ)の係数をそれぞれak,m,n、bk,m,m、ck,m,nとして
区別すると、Pはこれらの項の総和なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\cong \sum a_{k,m,n}x^{k+n}y^{m-n}+\sum b_{k,m,m}x^{k+m}+\sum c_{k,m,n}\frac{x^{k+n}}{y^{n-m}}\end{align*}}$
となり、この右辺をQとおく。
$\scriptsize\sf{\theta}$ →$\scriptsize\sf{\pi}$ /2のとき、x→1、y→0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{\theta\rightarrow \pi /2}\ Q= \sum b_{k,m,m}+\lim_{y\rightarrow 0}\ \sum \frac{c_{k,m,n}}{y^{n-m}}\end{align*}}$
となり、これが収束するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum c_{k,m,n}=0\end{align*}}$ ･･････③
よって、③を見たすPに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q=\sum a_{k,m,n}x^{k+n}y^{m-n}+\sum b_{k,m,m}x^{k+m}\end{align*}}$
とおくと、Qはx、yのみの整式となり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\cong Q\end{align*}}$ を満たすので
題意は示された。
何とも答案が書きにくい問題ですねぇ･･････
(２)、(３)は捨て問題ではｗｗｗ？
