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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011滋賀医科大 数学1



第1問

  座標平面上に3点O(0,0)、A(0,1)、B(x,$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ )(x>0)を考える。
  ベクトル
       $\small\sf{\begin{align*}\sf t\overrightarrow{\sf OA}+(1-t)\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
  の長さを最小にする実数tの値をt0とし、点Hを
       $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OH}=t_0\overrightarrow{\sf OA}+(1-t_0)\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
  で定める点とする。

 (1) t0をxを用いて表せ。

 (2) Hが線分ABを2等分するとき、xの値を求めよ。

 (3) xを動かすとき、△OAHの面積が最大になるxの値を求めよ。


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  1. 2018/10/06(土) 03:09:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .滋賀医科大 2011
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2011滋賀医科大 数学2



第2問

  aを正の実数とし、実数xについての関数
        $\small\sf{\begin{align*}\sf f (x)=\left( x^3+ax\right)e^{-\frac{\sf x^2}{\sf a}}\end{align*}}$
  を考える。ただし、任意の自然数nに対して、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{t\rightarrow\infty}\ t^ne^{-t}=0\end{align*}}$
  であることを使ってよい。

 (1) y=f(x)のグラフの概形を、極値および変曲点を調べて描け。

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf g(x)=\int_0^xf\ (x)\ dt\end{align*}}$ を求めよ。

 (3) f(x)=g(x)となる実数xはいくつあるか。



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2011滋賀医科大 数学3



第3問

  文字x、y、zの任意の整式Aに対して、x、y、zをそれぞれsin$\small\sf{\theta}$ 、
  cos$\small\sf{\theta}$ 、tan$\small\sf{\theta}$ に置き換えて得られる$\small\sf{\theta}$ の関数を $\small\sf{\begin{align*}\sf \tilde{A}(\theta)\end{align*}}$ で表す。
  例えば、
     P=x5+z4-xyz ならば $\small\sf{\begin{align*}\sf \tilde{P}(\theta)=\sin^5\theta+\tan^4\theta-\sin\theta\cos\theta\tan\theta\end{align*}}$
     P=x2+y2、 Q=1 ならば $\small\sf{\begin{align*}\sf \tilde{P}(\theta)=\sin^2\theta+\cos^2\theta=1=\tilde{Q}(\theta)\end{align*}}$
  である。ただし、$\small\sf{\theta}$ の関数の定義域は0≦$\small\sf{\theta}$ ≦2$\small\sf{\pi}$ 、$\small\sf{\theta}$ ≠$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{2}\ ,\ \frac{3\pi}{2}\end{align*}}$
  とする。

 (1) Pをx、y、zの整式とする。$\small\sf{\begin{align*}\sf \tilde{P}(\theta)=\tilde{Q}(\theta)\end{align*}}$ となるy、zの整式Qが
    存在することを示せ。

 (2) Pをx、y、zの整式とする。$\small\sf{\begin{align*}\sf \tilde{P}(0)=\tilde{P}(\pi)\end{align*}}$ ならば$\small\sf{\begin{align*}\sf \tilde{P}(\theta)=\tilde{Q}(\theta)\end{align*}}$ となる
    x、zの整式Qが存在することを示せ。

 (3) Pをx、y、zの整式とする。$\small\sf{\theta}$ →$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、および$\small\sf{\theta}$ →$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{3\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、
    $\small\sf{\begin{align*}\sf \tilde{P}(\theta)\end{align*}}$がそれぞれ収束するならば$\small\sf{\begin{align*}\sf \tilde{P}(\theta)=\tilde{Q}(\theta)\end{align*}}$ となるx、yの整式Qが
    存在することを示せ。ただし、収束とは一定の実数に限りなく近
    づくことである。



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2011滋賀医科大 数学4



第4問

  円卓の周りに並べられたn席の座席にm人の人が座るとき、
  どの二人も隣り合わない確率をP(n,m)とする。ただし、
  2≦m≦$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{n}{2}\end{align*}}$ とし、どの空席も同じ確率で選ぶものとする。

 (1) P(n,2)をnを用いて表せ。

 (2) P(n,m)をn、mを用いて表せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{m\rightarrow\infty} \end{align*}}$P(m2,m)を求めよ。



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