第1問
実数a、bに対して、$\small{\sf f(x)=a(x-b)^2}$ とおく。ただし、aは正とする。
放物線$\small{\sf y=ｆ(x)}$ が直線$\small{\sf y=-4x+4}$ に接している。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) bをaで表せ。
(2) $\small{\sf 0\leqq x\leqq 2}$ において、ｆ(x)の最大値M(a)と、最小値m(a)を求めよ。
(3) aが正の実数を動くとき、M(a)の最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(1)
$\scriptsize\sf{\sf y=ｆ(x)}$ と$\scriptsize\sf{\sf y=-4x+4}$ の交点を求める。
$\scriptsize\sf{\sf a(x-b)^2=-4x+4}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ ax^2-2(ab-2)x+ab^2-4=0}$
$\scriptsize\sf{\sf a\ne 0}$ より、この二次方程式の判別式をDとすると、
$\scriptsize\sf{\sf y=ｆ(x)}$ と$\scriptsize\sf{\sf y=-4x+4}$ は接するので、
$\scriptsize\sf{\sf D/4=(ab-2)^2-a(ab^2-4)}$
$\scriptsize\sf{\sf =-4ab+4a+4=0}$
$\scriptsize\sf{\sf a\ne0}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{b=1+\frac{1}{a}\ \ }\end{align*}}$
まぁこれは問題ないでしょう。
(2)
(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=f\ (x)=a\left(x-1-\frac{1}{a} \right)^2\end{align*}}$
となるので、放物線の軸は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=1+\frac{1}{a}\ >1\ \ (\because\ \ a>0\ )\end{align*}}$．
定義域0≦x≦2に対する軸の位置で以下のように場合分けをする。
(ⅰ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1<1+\frac{1}{a}<2\end{align*}}$ すなわち a＞1のとき
右図1より、
最大値
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M(a)=f(0)=a\left(1+\frac{1}{a}\right)^2\end{align*}}$
最小値
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m(a)=f\left(1+\frac{1}{a}\right)=0\end{align*}}$
(ⅱ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+\frac{1}{a}\geqq 2\end{align*}}$ すなわち 0＜a≦1のとき
右図2より、
最大値
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M(a)=f(0)=a\left(1+\frac{1}{a}\right)^2\end{align*}}$
最小値
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m(a)=f(2)=a\left(1-\frac{1}{a}\right)^2\end{align*}}$
(ⅰ)、(ⅱ)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{M(a)=a\left(1+\frac{1}{a}\right)^2\ \ ,\ \ m(a)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf a\left(1-\frac{1}{\sf a}\right)^2 & (0<\sf a\leqq 1) \\ 0 & (1<\sf a) \\\end{array} \right.\ \ }\end{align*}}$
軸＞1に気づけば、場合分けが少なくて楽です。
(3)
(2)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M(a)=a\left(1+\frac{1}{a}\right)^2=a+\frac{1}{a}+2\end{align*}}$
a＞0より、相加･相乗平均の関係を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a+\frac{1}{a}\geqq 2\sqrt{a\cdot \frac{1}{a}}=2\end{align*}}$
等号成立は、 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{1}{a}\ \ \Leftrightarrow\ \ a=1\ (>0)\end{align*}}$
よって、
M(a)≧2+2=4
なので、
a=1のとき、M(a)は最小値4をとる。
みえみえの形ですが、相加・相乗に気づきましたか？
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- 2011/10/04(火) 23:57:00|
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第2問
空間内に4点O、A、B、Cがあり、
OA=3
OB=OC=4
∠BOC=∠COA=∠AOB=$\small\sf{\pi}$ /3
であるとする。3点A、B、Cを通る平面に垂線OHをおろす。
このとき、以下の問に答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ とし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=r\overrightarrow{\sf a}+s\overrightarrow{\sf b}+t\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
と表すとき、r、s、ｔを求めよ。
(2) 直線CHと直線ABの交点をDとするとき、長さの比CH：HD、
AD：DBを求めよ。
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(1)
条件より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|=3\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf b}|=|\overrightarrow{\sf c}|=4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}=3\times4\times\cos\frac{\pi}{3}=6\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=4\times4\times\cos\frac{\pi}{3}=8\end{align*}}$ ････････(※)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=r\overrightarrow{\sf a}+s\overrightarrow{\sf b}+t\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ で、Hは平面ABC上にあるので、
$\scriptsize\sf{\sf r+s+ｔ=1}$ ･･･①
また、OH⊥平面ABCなので、OH⊥ABかつOH⊥ACである。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}\cdot\overrightarrow{\sf AB}=\left(r\overrightarrow{\sf a}+s\overrightarrow{\sf b}+t\overrightarrow{\sf c}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}\right)=0\end{align*}}$ かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=\left(r\overrightarrow{\sf a}+s\overrightarrow{\sf b}+t\overrightarrow{\sf c}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf C}-\overrightarrow{\sf a}\right)=0\end{align*}}$
(※)を用いて、内積をそれぞれ計算すると、
$\scriptsize\sf{\sf -3r+10b+2c=0}$ ･･･②
$\scriptsize\sf{\sf -3r+2b+10c=0}$ ･･･③
が得られる。
①～③を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{r=\frac{2}{3}\ \ ,\ \ s=t=\frac{1}{6}\ \ }\end{align*}}$
まぁ標準的な問題じゃないでしょうか。
(2)
(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf OA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{\sf OB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
始点をCにそろえると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CH}-\overrightarrow{\sf CO}=\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{\sf CA}-\overrightarrow{\sf CO}\right)+\frac{1}{6}\left(\overrightarrow{\sf CB}-\overrightarrow{\sf CO}\right)-\frac{1}{6}\overrightarrow{\sf CO}\end{align*}}$ 
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf CH}=\frac{2}{3} \overrightarrow{\sf CA}+ \frac{1}{6} \overrightarrow{\sf CB}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4\overrightarrow{\sf CA}+ \overrightarrow{\sf CB}}{6}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{5}{6}\times \frac{4\overrightarrow{\sf CA}+ \overrightarrow{\sf CB}}{5}\end{align*}}$
ここで、ABを1：4に内分する点をPとすると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CH}=\frac{5}{6} \overrightarrow{\sf CP}\end{align*}}$
となり、HはCPを5：1に内分する点であることを表している。
題意より、PはDと一致するので、
CH：HD=5：1、 AD：DB=1：4
まぁ標準的な問題じゃないでしょうか。
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- 2011/10/05(水) 23:57:00|
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第3問
a、bを自然数とする。以下の問いに答えよ。
(1) abが3の倍数であるとき、aまたはbは3の倍数であることを示せ。
(2) a+bとabがともに3の倍数であるとき、aとbはともに3の倍数である
ことを示せ。
(3) a+bとa2+b2がともに3の倍数であるとき、aとbはともに3の倍数
であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(1)
aとbがともに3の倍数でないとすると、aとbはそれぞれ整数m、nを用いて、
a=3m±1、 b=3n±1
と表せる。
(ⅰ) a=3m+1、b=3n+1のとき
ab=(3m+1)(3n+1)=3(3mn+m+n)+1
(ⅱ) a=3m+1、b=3n－1のとき
ab=(3m+1)(3n－1)=3(3mn－m+n)－1
(ⅲ) a=3m－1、b=3n+1のとき
ab=(3m－1)(3n+1)=3(3mn+m－n)－1
(ⅳ) a=3m－1、b=3n－1のとき
ab=(3m－1)(3n－1)=3(3mn－m－n)+1
いずれの場合もabが3の倍数とならない。
よって、aとbがともに3の倍数でないとき、abは3の倍数にならない。
このことの対偶をとると、題意は示される。
3で割って2余る数は、3m+2と表しても構いませんが、
3m－1の方が計算が楽でしょう。
(2)
abが3の倍数なので、(1)より、aとbのうち少なくとも一方は3の倍数である。
ここで、aを3の倍数とすると、aは整数mを用いて、
a=3m
と表せる。
一方、仮定よりa+bも3の倍数なので、整数Mを用いて、
a+b=3M
と表せる。
よって、b=(a+b)－a
=3(M－m)
となるので、bも3の倍数である。
以上より題意は示された。
(3)
a2+b2=(a+b)2－2ab
⇔ 2ab=(a+b)2－(a2+b2) ････①
ここで、a+bとa2+b2はともに3の倍数なので、
整数M、Nを用いて、
a+b=3M、 a2+b2=3N
と表せる。
よって①より、
2ab=(3M)2－3N=3(3M2－N)
となるので、2abは3の倍数である。
さらに、3と2は互いに素なので、abは3の倍数となる。
以上より、a+b、abともに3の倍数になるので、(2)より
a、bともに3の倍数となる。
バカ丁寧な証明を書きましたが、
(3の倍数)+(3の倍数)=(3の倍数)
ぐらいはそのまま使ってもいいような気がするので、もう少し
ごまかして書いちゃってもOKじゃないでしょうか。
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- 2011/10/06(木) 23:57:00|
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