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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013福島県立医科大 数学1(1)~(3)



第1問

  以下の各問いに答えよ。

 (1) 座標平面上の直線x+2y=6上にあって、点(2,-3)との
    距離が最小になる点の座標を求めよ。

 (2) 座標平面上の曲線C:x2+xy+y2=3について、以下の
    問いに答えよ。
   (ⅰ) 原点のまわりの45°の回転移動によって、C上の各点が
      移る曲線の方程式を求めよ。
   (ⅱ) 曲線Cで囲まれた図形のうち、y≧0の領域に含まれる部
      分の面積を求めよ。

 (3) 座標平面上において、曲線C1:y=xlogx(x≧1)と放物線
    C2:y=ax2がある点Pを共有し、Pにおいて共通の接線Lを
    持つものとする。
   (ⅰ) aの値を求めよ。
   (ⅱ) C1、C2およびx軸によって囲まれた図形の面積をS1とし、
      C1、Lおよびx軸によって囲まれた図形の面積をS2とする。
      S1、S2の値を求めよ。




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2013福島県立医科大 数学1(4)~(6)



第1問

 (4) △ABCにおいて、∠Aと∠Bをの大きさをそれぞれA、Bで表し、
    頂点A、B、Cの対辺の長さをそれぞれa、b、cで表す。
    tan$\small\sf{\theta}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}\end{align*}}$ になる$\small\sf{\theta}$ (-$\small\sf{\pi}$ /2<$\small\sf{\theta}$ <$\small\sf{\pi}$ /2)について、
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{c}\cos (B-\theta)+\frac{b}{c}\cos (A+\theta)\end{align*}}$ の値を求めよ。

 (5) nは自然数とする。導関数の定義にしたがって、関数f(x)=xn
    導関数を求めよ。

 (6) nは2以上の自然数とする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2^n}\end{align*}}$ は、小数第(n-1)位が2、小数
    第n位が5である小数第n位までの有限小数で表されることを示せ。



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2013福島県立医科大 数学2



第2問

  一辺の長さが8である正四面体OABCの辺OA、OB、OC上に
  点D、E、Fがあって、AD=OE=OF=5を満たしている。
  △DEFの重心Gを通り△DEFを含む平面に垂直な直線が、
  △ABCを含む平面と交わる点をHとする。
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ として、以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (3) 四面体DEFHの体積を求めよ。 



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2013福島県立医科大 数学3



第3問

  A(1,1,0)、B(-1,1,0)、C(-1,-1,0)、D(1,-1,0)、
  G(0,0,$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ )をxyz空間の点とする。正方形ABCDを底面とし、
  Gを頂点とする四角すいの内部の点P(x,y,z)で、x2+y2≦1
  を満たす点を集めた図形をVとする。また、平面z=aでVを切断
  したときの切断面をSaとする。ただし、0<a<$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ である。
  以下の問いに答えよ。

 (1) Saが正方形となるaの最小値をz0とする。z0の値を求めよ。

 (2) (1)のz0について、0<a<z0とする。cos$\small\sf{\theta}$ =1-$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{\sqrt2}\end{align*}}$ を
    満たす$\small\sf{\theta}$ (0<$\small\sf{\theta}$ <$\small\sf{\pi}$ /2)を用いてSaの面積を表せ。

 (3) Vの体積を求めよ。



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