第１問
以下の各問いに答えよ。
(１) 座標平面上の直線x＋2y＝6上にあって、点(2，－3)との
距離が最小になる点の座標を求めよ。
(２) 座標平面上の曲線C:x2＋xy＋y2＝3について、以下の
問いに答えよ。
(ⅰ) 原点のまわりの45°の回転移動によって、C上の各点が
移る曲線の方程式を求めよ。
(ⅱ) 曲線Cで囲まれた図形のうち、y≧0の領域に含まれる部
分の面積を求めよ。
(３) 座標平面上において、曲線C1：y＝xlogx（x≧1）と放物線
C2：y＝ax2がある点Pを共有し、Pにおいて共通の接線Lを
持つものとする。
(ⅰ) aの値を求めよ。
(ⅱ) C1、C2およびx軸によって囲まれた図形の面積をS1とし、
C1、Lおよびx軸によって囲まれた図形の面積をS2とする。
S1、S2の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
与えられた直線をLとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L: x+2y=6\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{1}{2}x+3\end{align*}}$ ．
点A(2，－3)を通り、直線Lに垂直な直線の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m:\ y+3=2(x-2)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=2x-7\end{align*}}$
なので、これら2直線の交点は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}x+3=2x-7\ \ \Leftrightarrow\ \ x=4\ \ ,\ \ y=1\end{align*}}$
より、求める点の座標は(4，1)である。
(２)(ⅰ)
求める曲線をC’とする。
C上の点(x，y)を原点周りに45°回転させたC’上の点を
(X，Y)とする。逆に(X，Y)は(x，y)を原点周りに－45°
回転させた点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x}{y}=\begin{pmatrix} \sf \cos(-45^{\circ})&\sf -\sin(-45^{\circ}) \\ \sf \sin (-45^{\circ}) & \sf \cos (-45^{\circ}) \end{pmatrix}\binom{X}{Y}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf -1 & \sf 1 \end{pmatrix}\binom{X}{Y}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sqrt2}\binom{X+Y}{-X+Y}\end{align*}}$ ．
点(x，y)はC上の点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left( \frac{X+Y}{\sqrt2}\right)^2+\frac{X+Y}{\sqrt2}\cdot\frac{-X+Y}{\sqrt2}+\left( \frac{-X+Y}{\sqrt2}\right)^2=3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ X^2+3Y^2=6\end{align*}}$ ．
よって、C’の方程式は、x2＋3y2＝6である。
(ⅱ)
x軸を原点周り45°回転させるとy＝xになるので、
Cで囲まれた図形でy≧0の部分の面積は、
C’で囲まれた図形でy≧xの部分（図1）の面積と
等しい。
また、曲線C’、y＝xは原点について対称なので、
図2のアとイの面積は等しい。
よって、求める面積は、楕円C’の面積の2分の1
に等しいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \pi\cdot\sqrt2\cdot\sqrt6\cdot\frac{1}{2}=\underline{\ 3\pi\ }\end{align*}}$
(３)(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x\log x\ (x\geqq 1)\ \ ,\ \ g\ (x)=ax^2\end{align*}}$
とおくと、それぞれの導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\log x+x\cdot\frac{1}{x}=\log x+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(x)=2ax\end{align*}}$ ．
点Pのx座標をt（t≧1）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (t)=g\ (t)\ \ \Leftrightarrow\ \ t\log t=at^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)=g\ '(t)\ \ \Leftrightarrow\ \ \log t+1=2at\end{align*}}$
となり、これら2式からaを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t\log t=\frac{\log t+1}{2t}\cdot t^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log t=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=e\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{\log e+1}{2e}=\underline{\ \frac{1}{e}\ }\end{align*}}$
(ⅱ)
(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\int_0^e\frac{x^2}{e}\ dx-\int_1^ex\log x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{x^3}{3e} \right]_0^e-\left\{\bigg[ \frac{x^2}{2}\log x\bigg]_1^e-\frac{1}{2}\int_1^ex^2\cdot\frac{1}{x}\ dx\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{e^2}{3}-\left\{\frac{e^2}{2}-\frac{1}{2}\left[ \frac{x^2}{2}\right]_1^e\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{e^2}{3}-\left(\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{e^2}{12}-\frac{1}{4}\ }\end{align*}}$ ．
また、P(e，e)における共通接線Lは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L:y-e=2(x-e)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=2x-e\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2=\int_1^ex\log x\ dx-\frac{1}{2}\left( e-\frac{e}{2}\right)\cdot e\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}\right)-\frac{e^2}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{4}\ }\end{align*}}$ ．
(２)の面積をまともに計算しようとすると死にますよ＾＾；；
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第１問
(４) △ABCにおいて、∠Aと∠Bをの大きさをそれぞれA、Bで表し、
頂点A、B、Cの対辺の長さをそれぞれa、b、cで表す。
tan$\small\sf{\theta}$ ＝$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}\end{align*}}$ になる$\small\sf{\theta}$ （－$\small\sf{\pi}$ /2＜$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\pi}$ /2）について、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{c}\cos (B-\theta)+\frac{b}{c}\cos (A+\theta)\end{align*}}$ の値を求めよ。
(５) nは自然数とする。導関数の定義にしたがって、関数f(x)＝xnの
導関数を求めよ。
(６) nは2以上の自然数とする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2^n}\end{align*}}$ は、小数第(n－1)位が2、小数
第n位が5である小数第n位までの有限小数で表されることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(４)
まず、－$\scriptsize\sf{\pi}$ /2＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$ /2より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\cos^2\theta}=1+\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{25}{16}\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\theta=\frac{4}{5}\ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\theta=\cos\theta\tan\theta=\frac{3}{5}\end{align*}}$
であり、△ABCの外接円の半径をRとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{c}\cos (B-\theta)+\frac{b}{c}\cos (A+\theta)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a}{c}\left(\cos B\cos\theta+\sin B\sin\theta\right)+\frac{b}{c}\left(\cos A\cos\theta-\sin A\sin\theta\right)\end{align*}}$ ←加法定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a}{c}\left(\frac{4}{5}\cos B+\frac{3}{5}\sin B\right)+\frac{b}{c}\left(\frac{4}{5}\cos A-\frac{3}{5}\sin A\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4a}{5c}\cdot\frac{a^2-b^2+c^2}{2ca}+\frac{3a}{5c}\cdot\frac{b}{2R}+\frac{4b}{5c}\cdot\frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}-\frac{3b}{5c}\cdot\frac{a}{2R}\end{align*}}$
↑正弦定理・余弦定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2(a^2-b^2+c^2)}{5c^2}+\frac{2(-a^2+b^2+c^2)}{5c^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ =\frac{4}{5}\ }\end{align*}}$
(５)
導関数の定義より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\ \frac{f\ (x+h)-f\ (x)}{h}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{h\rightarrow 0}\ \frac{(x+h)^n-x^n}{h}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{h\rightarrow 0}\ \frac{_nC_0x^n+_nC_1x^{n-1}h+_nC_2x^{n-2}h^2+\ldots+_nC_nh^n-x^n}{h}\end{align*}}$ ←二項定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{h\rightarrow 0}\left\{_nC_1x^{n-1}+ h\left(_nC_2x^{n-2}+\ldots+_nC_nh^{n-2}\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =nx^{n-1}\end{align*}}$ ．
(６)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M=\frac{1}{2^n}=\frac{5^n}{10^n}\end{align*}}$ とおく。
2以上のnに対して、
5nの下2桁の数は25である････(※)
ことを数学的帰納法で示す。
(ⅰ)n＝2のとき
52＝25 より自明
(ⅱ)n＝kのとき(※)が成立すると仮定すると、
5kは自然数Aを用いて
5k＝100A＋25
と表すことができる。
これより、
5k+1＝5(100A＋25)
＝500A＋125
＝100(5A＋1)＋25
となるので、n＝k＋1のときも(※)は成り立つ。
よって、2以上のnに対して、5nの下25桁の数は25になり、
これを10nで割った数Mにおいて、小数第n位の数が5、
小数第n－1位の数が2になるため、題意は示された。
(６)が書きにくいでしょうね。
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第２問
一辺の長さが8である正四面体OABCの辺OA、OB、OC上に
点D、E、Fがあって、AD＝OE＝OF＝5を満たしている。
△DEFの重心Gを通り△DEFを含む平面に垂直な直線が、
△ABCを含む平面と交わる点をHとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ として、以下の問いに答えよ。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(２) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(３) 四面体DEFHの体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|=|\overrightarrow{\sf b}|=|\overrightarrow{\sf c}|=8\end{align*}}$ ････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}=8\cdot 8\cdot\cos 60^{\circ}=32\end{align*}}$ ････②
(１)
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=\frac{3}{8}\overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OE}=\frac{5}{8}\overrightarrow{\sf b}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OF}=\frac{5}{8}\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
となり、Gは△DEFの重心なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=\frac{\overrightarrow{\sf OD}+\overrightarrow{\sf OE}+\overrightarrow{\sf OF}}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{8}\overrightarrow{\sf a}+\frac{5}{24}\overrightarrow{\sf b}+\frac{5}{24}\overrightarrow{\sf c}\ }\end{align*}}$ ．
(２)
r、s、tを実数として、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf GH}=r\overrightarrow{\sf a}+s\overrightarrow{\sf b}+t\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
とおく。
GH⊥平面DEFより、GH⊥DE かつ GH⊥EFなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf GH}\cdot\overrightarrow{\sf DE}=\left(r\overrightarrow{\sf a}+s\overrightarrow{\sf b}+t\overrightarrow{\sf c} \right)\cdot\left(\frac{5}{8}\overrightarrow{\sf b}-\frac{3}{8}\overrightarrow{\sf a} \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 5r\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+5s|\overrightarrow{\sf b}|^2+5t\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}-3r|\overrightarrow{\sf a}|^2 -3s\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}-3t\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 64\left(5s-3r \right)+32\left(5r+5t-3s-3t \right)=0\end{align*}}$ ←①、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -r+7s+2t=0\end{align*}}$ ････③
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf GH}\cdot\overrightarrow{\sf EF}=\left(r\overrightarrow{\sf a}+s\overrightarrow{\sf b}+t\overrightarrow{\sf c} \right)\cdot\left(\frac{5}{8}\overrightarrow{\sf c}-\frac{5}{8}\overrightarrow{\sf b} \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}+s\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}+t|\overrightarrow{\sf c}|^2-r\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}-s|\overrightarrow{\sf b}|^2-t\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 64\left(t-s \right)+32\left(r+s-r-t \right)=0\end{align*}}$ ←①、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s-t=0\end{align*}}$ ････④
となり、③、④より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=9t\ ,\ s=t\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf GH}=9t\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}+t\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=\overrightarrow{\sf OG}+\overrightarrow{\sf GH}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(9t+ \frac{1}{8}\right)\overrightarrow{\sf a}+\left(t+ \frac{5}{24}\right)\overrightarrow{\sf b}+\left(t+ \frac{5}{24}\right)\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
となり、Hは平面ABC上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(9t+ \frac{1}{8}\right)+\left(t+ \frac{5}{24}\right)+\left(t+ \frac{5}{24}\right)=1\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\frac{1}{24}\end{align*}}$ ．
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf GH}=\frac{3}{8}\overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{24}\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{24}\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=\underline{\ \frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{4}\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{4}\overrightarrow{\sf c}\ }\end{align*}}$ ．
(３)
△OEFは正三角形になるので、EF＝5であり、
△ODE、△ODFにおいて余弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf DE^2=DF^2=3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5\cdot\cos 60^{\circ}=19\end{align*}}$．
EFの中点をMとすると、△DEFは二等辺三角形なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf DM=\sqrt{19-\left( \frac{5}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{51}}{2}\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle DEF=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot\frac{\sqrt{51}}{2}=\frac{5\sqrt{51}}{4} \end{align*}}$ ．
また(２)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf GH}|^2=\left|\frac{3}{8}\overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{24}\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{24}\overrightarrow{\sf c}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{24^2}\left(81|\overrightarrow{\sf a}|^2+|\overrightarrow{\sf b}|^2+|\overrightarrow{\sf c}|^2+18\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+2\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}+18\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{34}{3}\end{align*}}$ ←①、②より
以上より、四面体DEFHの体積をVとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\triangle DEF\times GH\times \frac{1}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{5\sqrt{51}}{4}\cdot\sqrt{\frac{34}{3}}\cdot \frac{1}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{85\sqrt2}{12}\ }\end{align*}}$ ．
やっていることはさほど難しくないのですが、計算がイヤですね・・・
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第３問
A(1，1，0)、B(－1，1，0)、C(－1，－1，0)、D(1，－1，0)、
G(0，0，$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ )をxyz空間の点とする。正方形ABCDを底面とし、
Gを頂点とする四角すいの内部の点P(x，y，z)で、x2＋y2≦1
を満たす点を集めた図形をVとする。また、平面z＝aでVを切断
したときの切断面をSaとする。ただし、0＜a＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ である。
以下の問いに答えよ。
(１) Saが正方形となるaの最小値をz0とする。z0の値を求めよ。
(２) (１)のz0について、0＜a＜z0とする。cos$\small\sf{\theta}$ ＝1－$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{\sqrt2}\end{align*}}$ を
満たす$\small\sf{\theta}$ （0＜$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\pi}$ /2）を用いてSaの面積を表せ。
(３) Vの体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
平面z＝aがGA、GB、GC、GDおよびz軸と交わる点をそれぞれ
A’、B’、C’、D’、O’とおく。
また、平面z＝a上にあり、O’を中心とする半径1の円を$\scriptsize\sf{\alpha}$ とおくと、
切断面Saは、$\scriptsize\sf{\alpha}$ の周および内部と、正方形A’B’C’D’の周および
内部との共通部分になる。
一方、△GOA∽△GO’A’であり、△GOAはOG＝OA＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ の
直角二等辺三角形なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf O'A'=O'G=OG-OO'=\sqrt2-a\end{align*}}$ ．
これより、Saが正方形となるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf O'A'=\sqrt2-a\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ a\geqq \sqrt2-1\end{align*}}$
のときである。よって、条件を満たすaの最小値z0は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ z_0=\sqrt2-1\ }\end{align*}}$
である。
(２)
0＜a＜z0のとき、Saは右図のようになる。
A’B’の中点をM、円$\scriptsize\sf{\alpha}$ が線分A’Mおよび
線分O’A’と交わる点をそれぞれE、Fとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf O'E=O'F=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf O'M=O'A'\sin\frac{\pi}{4}=1-\frac{a}{\sqrt2}\end{align*}}$ ．
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle EO'M=\frac{O'M}{O'E}=1-\frac{a}{\sqrt2}=\cos\theta\end{align*}}$
となるので、∠EO’M＝$\scriptsize\sf{\theta}$ である。
このとき、Saの面積をS(a)とおくと、図の対称性より
S(a)＝8(△O’EM＋扇形O’EF)
として求めることができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(a)=8\left\{\frac{1}{2}\cdot 1\cdot\left(1-\frac{a}{\sqrt2}\right)\sin\theta+\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right) \right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =8\left\{\frac{1}{2}\cos\theta\sin\theta+\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right) \right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2\sin 2\theta-4\theta+\pi }\end{align*}}$ ．
(３)
z0＜a＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ のとき、Saは正方形A’B’C’D’と一致し、
その一辺は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A'D'=2O'E=2-\sqrt2\ a\end{align*}}$．
これらより、立体Vの体積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\int_0^{\sqrt2}S\ (a)\ da\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{z_0}\left(2\sin 2\theta-4\theta+\pi\right)da+\int_{z_0}^{\sqrt2}\left(2-\sqrt2\ a\right)^2da\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=1-\frac{a}{\sqrt2}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\sin\theta\cdot\frac{d\theta}{da}=-\frac{1}{\sqrt2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{da}{d\theta}=\sqrt2\sin\theta\end{align*}}$
となり、a：0→z0に対応する$\scriptsize\sf{\theta}$ は0→$\scriptsize\sf{\pi}$ /4なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{z_0}\left(2\sin 2\theta-4\theta+\pi\right)da\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt2\int_0^{\pi/4}\left(2\sin 2\theta-4\theta+\pi\right)\sin\theta d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt2\int_0^{\pi/4}\left(-\cos 3\theta+\cos\theta+\pi\sin\theta \right)d\theta\end{align*}}$ ←積･和の公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -4\sqrt2\left\{\bigg[-\theta\cos\theta\bigg]_0^{\pi/4}+\int_0^{\pi/4}\cos\theta\ d\theta\right\}\end{align*}}$ ←部分積分
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt2\left[-\frac{1}{3}\sin 3\theta+\sin\theta-\pi\cos\theta\right]_0^{\pi/4}+4\sqrt2\cdot\frac{\pi}{4}\cdot\frac{1}{\sqrt2}-4\sqrt2\bigg[\sin\theta\bigg]_0^{\pi/4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt2\pi-\frac{10}{3}\end{align*}}$ ．
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{z_0}^{\sqrt2}\left(2-\sqrt2\ a\right)^2da\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{3\sqrt2}\left(\sqrt2 a-2 \right)^3\right]_{z_0}^{\sqrt2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0-\frac{1}{3\sqrt2}\left(\sqrt2 z_0-2 \right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{3\sqrt2}\left(-\sqrt2\right)^3\end{align*}}$ ←(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{3}\end{align*}}$ ．
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\left(\sqrt2\pi-\frac{10}{3}\right)+\frac{2}{3}=\underline{\ \sqrt2\pi-\frac{8}{3}\ }\end{align*}}$ ．
形はイメージしやすいですよね。計算が少し面倒ですか。
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- 大学入試(数学) .全国の大学 .福島県立医科大 2013
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