第１問
放物線y＝x2上の点P(t，t2)から直線y＝xへ垂線を引き、
交点をHとする。ただし、t＞1とする。このとき、以下の問い
に答えよ。
(１) Hの座標をtを用いて表せ。
(２) Pを通りy軸に平行な直線と直線y＝xとの交点をRとするとき、
三角形PRHの面積をtを用いて表せ。
(３) x≧1の範囲において、放物線y＝x2と直線y＝xおよび線分
PHとで囲まれた図形の面積をS1とするとき、S1をtを用いて
表せ。
(４) 放物線y＝x2と直線y＝xで囲まれた図形の面積をS2とする。
S1＝S2であるとき、tの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
直線PHの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-t^2=-(x-t)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-x+t^2+t\end{align*}}$
であり、これと直線y＝xの交点は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=-x+t^2+t\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{t^2+t}{2}\end{align*}}$
となるので、交点Hの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ H\left( \frac{t^2+t}{2}\ ,\ \frac{t^2+t}{2}\right)\ }\end{align*}}$
(３)
R(t，t)なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle PRH=\frac{1}{2}\cdot\left( t^2-t\right)\left( \frac{t^2+t}{2}-t\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{4}\left( t^2-t\right)^2\ }\end{align*}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\int_1^t\left( x^2-x\right)dx+\triangle PRH\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[ \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x\right]_1^t+\frac{1}{4}\left( t^2-t\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{4}t^4-\frac{1}{6}t^3-\frac{1}{4}t^2+\frac{1}{6}\ }\end{align*}}$
(４)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2=\int_0^1(x-x^2)dx=\frac{1}{6}(1-0)^3"=\frac{1}{6}/>
であり、S1＝S2なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}t^4-\frac{1}{6}t^3-\frac{1}{4}t^2+\frac{1}{6}=\frac{1}{6}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3t^4-2t^3-3t^2=t^2(3t^2-2t-3)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ t=\frac{1+\sqrt{10}}{3}\ \ \ (t>1)\ }\end{align*}}$
こういう問題は落とさないように！
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第２問
数列a1、a2、･･･、an、･･･は
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=\frac{2a_n}{1-a_n^2}\ \ (n=1\ ,\ 2\ ,\ 3\ ,\ \ldots)\end{align*}}$
を満たしているとする。このとき、次の問いに答えよ。
(１) a1＝$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt3}\end{align*}}$ とするとき、a10およびa11を求めよ。
(２) tan$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{12}\end{align*}}$ の値を求めよ。
(３) a1＝tan$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{7}\end{align*}}$ とする。ak＝a1を満たす2以上の自然数kで
最小のものを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
順次計算していくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_2=\frac{\frac{2}{\sqrt 3}}{1-\left(\frac{1}{\sqrt3} \right)^2}=\sqrt3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_3=\frac{2\sqrt 3}{1-\left(\sqrt3 \right)^2}=-\sqrt3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_4=\frac{-2\sqrt 3}{1-\left(-\sqrt3 \right)^2}=\sqrt3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \vdots\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_{10}=\sqrt3\ \ ,\ \ a_{11}=-\sqrt3\ }" \end{align*}}$
(２)
tanの加法定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \tan \frac{\pi}{12}=\tan \left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tan \frac{\pi}{3}-\tan \frac{\pi}{4}}{1+\tan \frac{\pi}{3}\tan \frac{\pi}{4}}\end{align*}}$
これを計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \tan \frac{\pi}{12}=\underline{\ 2-\sqrt3\ }\end{align*}}$
(３)
順次計算していくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_2=\frac{2a_1}{1-a_1^2}=\frac{2\tan \frac{\pi}{7}}{1-\tan^2\frac{\pi}{7}}=\tan \frac{2\pi}{7}\ne\tan\frac{\pi}{7}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_3=\frac{2a_2}{1-a_2^2}=\frac{2\tan \frac{2\pi}{7}}{1-\tan^2\frac{2\pi}{7}}=\tan \frac{4\pi}{7}\ne\tan\frac{\pi}{7}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_4=\frac{2a_3}{1-a_3^2}=\frac{2\tan \frac{4\pi}{7}}{1-\tan^2\frac{4\pi}{7}}=\tan \frac{8\pi}{7}=\tan\frac{\pi}{7}\end{align*}}$
となるので、条件を満たす最小の自然数kは
k＝4
である。
tanの倍角公式に気づくかがポイントです。
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第３問
平面上に直角三角形ABCがあり、その斜辺BCの長さを2とする。
また、点Oは
$\small\sf{\begin{align*} \sf 4\overrightarrow{\sf OA}-\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
を満たしているとする。このとき、以下の問いに答えよ。
(１) 辺BCの中点をMとするとき, 点Aは線分OMの中点となること
を示せ。
(２) $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OB}|^2+|\overrightarrow{\sf OC}|^2=10\end{align*}}$ となることを示せ。
(３) $\small\sf{\begin{align*} \sf 4|\overrightarrow{\sf PA}|^2-|\overrightarrow{\sf PB}|^2-|\overrightarrow{\sf PC}|^2=-4\end{align*}}$ を満たす点をPとするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP}|\end{align*}}$ の値を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4\overrightarrow{\sf OA}-\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$ ････(※)
(１)
(※)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\frac{\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\cdot\frac{\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OM}\end{align*}}$ （←MはBCの中点）
となるので、AはOMの中点である。
(２)
BC＝2より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf BC}|^2=|\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OB}|^2=2^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf OB}|^2+|\overrightarrow{\sf OC}|^2-2\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=\frac{|\overrightarrow{\sf OB}|^2+|\overrightarrow{\sf OC}|^2-4}{2}\end{align*}}$ ････①
また、AB⊥ACなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=\left( \overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\cdot\left( \overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OA}\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\overrightarrow{\sf OB}- \frac{\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}}{4}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf OC}- \frac{\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}}{4}\right)=0\end{align*}}$ ←(※)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(3\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OC} \right)\cdot\left( \overrightarrow{\sf OB}-3\overrightarrow{\sf OC}\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3|\overrightarrow{\sf OB}|^2+3|\overrightarrow{\sf OC}|^2-10\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=0\end{align*}}$ ．
これに①を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3|\overrightarrow{\sf OB}|^2+3|\overrightarrow{\sf OC}|^2-5\left( |\overrightarrow{\sf OB}|^2+|\overrightarrow{\sf OC}|^2-4\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf OB}|^2+|\overrightarrow{\sf OC}|^2=10\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(３)
題意より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4|\overrightarrow{\sf PA}|^2-|\overrightarrow{\sf PB}|^2-|\overrightarrow{\sf PC}|^2=-4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4|\overrightarrow{\sf OA}-\overrightarrow{\sf OP}|^2-|\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OP}|^2-|\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OP}|^2=-4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2|\overrightarrow{\sf OP}|^2+4|\overrightarrow{\sf OA}|^2-\left( |\overrightarrow{\sf OB}|^2+|\overrightarrow{\sf OC}|^2\right)-2\left( 4\overrightarrow{\sf OA}-\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OC}\right)\cdot\overrightarrow{\sf OP}=-4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2|\overrightarrow{\sf OP}|^2+4|\overrightarrow{\sf OA}|^2-10-\overrightarrow{\sf 0}\cdot\overrightarrow{\sf OP}=-4\end{align*}}$ ←(２)と(※)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf OP}|^2=-2|\overrightarrow{\sf OA}|^2+3\end{align*}}$ ････②
ここで(※)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|^2=\left|\frac{\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}}{4}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{16}\left( |\overrightarrow{\sf OB}|^2+|\overrightarrow{\sf OC}|^2+2\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{16}\left\{ |\overrightarrow{\sf OB}|^2+|\overrightarrow{\sf OC}|^2+\left( |\overrightarrow{\sf OB}|^2+|\overrightarrow{\sf OC}|^2-4\right)\right\}\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1\end{align*}}$ ←(２)より
よって、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP}|^2=-2+3=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ |\overrightarrow{\sf OP}|=1\ }\end{align*}}$
Mが△ABCの外接円の中心となることに気づくと、
計算せずにOA＝AM＝1を得ることができます。
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第４問
1から4までの数字が1つずつ書かれた4枚のカードがある。
その4枚のカードを横一列に並べ、以下の操作を考える。
操作：1から4までの数字が1つずつ書かれた4個の球が
入っている袋から同時に2個の球を取り出す。
球に書かれた数字がiとjならば、iのカードとjの
カードを入れかえる。その後、2個の球は袋に戻す。
初めにカードを左から順に1、2、3、4と並べ、上の操作を
2回繰り返した後のカードについて、以下の問いに答えよ。
(１) カードが左から順に1、2、3、4と並ぶ確率を求めよ。
(２) カードが左から順に4、3、2、1と並ぶ確率を求めよ。
(３) 左端のカードの数字が1になる確率を求めよ。
(４) 左端のカードの数字の期待値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
以下、1と2のカードを入れ換えることを(1，2)のように
書くことにすると、玉の取り出し方の総数は、
(1，2)、(1，3)、(1，4)、(2，3)、(2，4)、(3，4)
の6通りある。
(１)
1回目と2回目が同じカードの組み合わせが選ばれれば
よいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} 1\times\frac{1}{6}=\underline{\ \frac{1}{6}\ }\end{align*}}$
(２)
1回目(1，4)、2回目(2，3) または
1回目(2，3)、2回目(1，4) となればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \frac{1}{6}\times\frac{1}{6}\times2!=\underline{\ \frac{1}{18}\ }\end{align*}}$
(３)
1のカードが何回移動したかによって場合分けする。
① 2回とも1が移動しないとき
2回とも(2，3)、(2，4)、(3，4)のいずれかであればよい。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \frac{3}{6}\times\frac{3}{6}=\frac{9}{36}\end{align*}}$
② 1回目に1が移動し、2回目に左端に戻ってくるとき
1回目は(1，2)、(1，3)、(1，4)のいずれかで、
2回目は2回目と同じ入れ替えがおこればよい。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \frac{3}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{3}{36}\end{align*}}$
以上の合計は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \frac{9}{36}+\frac{3}{36}=\underline{\ \frac{1}{3}\ }"\end{align*}}$
(４)
左端が2、3、4になる確率はすべて等しいので、
それぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \left(1-\frac{1}{3}\right)\times\frac{1}{3}=\frac{2}{9}\end{align*}}$ ．
よって、左端の数の期待値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} 1\cdot\frac{1}{3}+2\cdot\frac{2}{9}+3\cdot\frac{2}{9}+4\cdot\frac{2}{9}=\underline{\ \frac{7}{3}\ }\end{align*}}$
(４)は、2、3、4が同等に扱えると言うことに気づけば楽です。
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