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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011九州大 文系数学1



第1問

  放物線y=x2上の点P(t,t2)から直線y=xへ垂線を引き、
  交点をHとする。ただし、t>1とする。このとき、以下の問い
  に答えよ。

 (1) Hの座標をtを用いて表せ。

 (2) Pを通りy軸に平行な直線と直線y=xとの交点をRとするとき、
    三角形PRHの面積をtを用いて表せ。

 (3) x≧1の範囲において、放物線y=x2と直線y=xおよび線分
    PHとで囲まれた図形の面積をS1とするとき、S1をtを用いて
    表せ。

 (4) 放物線y=x2と直線y=xで囲まれた図形の面積をS2とする。
    S1=S2であるとき、tの値を求めよ。



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  1. 2018/10/17(水) 01:01:00|
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2011九州大 文系数学2



第2問

  数列a1、a2、・・・、an、・・・は
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=\frac{2a_n}{1-a_n^2}\ \ (n=1\ ,\ 2\ ,\ 3\ ,\ \ldots)\end{align*}}$
  を満たしているとする。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) a1=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt3}\end{align*}}$ とするとき、a10およびa11を求めよ。

 (2) tan$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{12}\end{align*}}$ の値を求めよ。

 (3) a1=tan$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{7}\end{align*}}$ とする。ak=a1を満たす2以上の自然数kで
    最小のものを求めよ。



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2011九州大 文系数学3



第3問

  平面上に直角三角形ABCがあり、その斜辺BCの長さを2とする。
  また、点Oは
        $\small\sf{\begin{align*} \sf 4\overrightarrow{\sf OA}-\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
  を満たしているとする。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) 辺BCの中点をMとするとき, 点Aは線分OMの中点となること
    を示せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OB}|^2+|\overrightarrow{\sf OC}|^2=10\end{align*}}$ となることを示せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf 4|\overrightarrow{\sf PA}|^2-|\overrightarrow{\sf PB}|^2-|\overrightarrow{\sf PC}|^2=-4\end{align*}}$ を満たす点をPとするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP}|\end{align*}}$ の値を
    求めよ。



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2011九州大 文系数学4



第4問

  1から4までの数字が1つずつ書かれた4枚のカードがある。
  その4枚のカードを横一列に並べ、以下の操作を考える。

   操作:1から4までの数字が1つずつ書かれた4個の球が
      入っている袋から同時に2個の球を取り出す。
      球に書かれた数字がiとjならば、iのカードとjの
      カードを入れかえる。その後、2個の球は袋に戻す。

  初めにカードを左から順に1、2、3、4と並べ、上の操作を
  2回繰り返した後のカードについて、以下の問いに答えよ。

 (1) カードが左から順に1、2、3、4と並ぶ確率を求めよ。

 (2) カードが左から順に4、3、2、1と並ぶ確率を求めよ。

 (3) 左端のカードの数字が1になる確率を求めよ。

 (4) 左端のカードの数字の期待値を求めよ。