第１問
xy平面上の長方形ABCDが次の条件(a)、(b)、(c)を満たして
いるとする。
(a) 対角線ACとBDの交点は原点Oに一致する。
(b) 直線ABの傾きは2である。
(c) Aのy座標は、B、C、Dのy座標より大きい。
このとき、a＞0、b＞0として、辺ABの長さを2$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt5\end{align*}}$ a、BCの長さ
を2$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt5\end{align*}}$ bとおく。
(１) A、B、C、Dの座標をa、bで表せ。
(２) 長方形ABCDが領域x2＋(y－5)2≦100に含まれるための
a、bに対する条件を求め、ab平面上に図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
条件(b)、(c)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BA}=(t\ ,\ 2t)\ \ \ (t>0)\end{align*}}$
と表すことができる。
t＞0よりその大きさを考えると 
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf BA}|=\sqrt{t^2+(2t)^2}=\sqrt5 t=2\sqrt5 a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=2a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf BA}=\left(2a\ ,\ 4a \right)\end{align*}}$．
また、DAの傾きは$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}\end{align*}}$ であり、Aの方が
y座標が大きい。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf DA}=\left(-2s\ ,\ s \right)\ \ \ (s>0)\end{align*}}$
と表すことができ、上と同様に考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf DA}=\left(-4b\ ,\ 2b \right)\end{align*}}$
となる。
AD、ABの中点をそれぞれM、Nとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf BA}=\left(a\ ,\ 2a \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf ON}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf DA}=\left(-2b\ ,\ b \right)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf OM}+\overrightarrow{\sf ON}=\left(a-2b\ ,\ 2a+b \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}=-\overrightarrow{\sf OM}+\overrightarrow{\sf ON}=\left(-a-2b\ ,\ -2a+b \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}=-\overrightarrow{\sf OA}=\left(-a+2b\ ,\ -2a-b \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=-\overrightarrow{\sf OB}=\left(a+2b\ ,\ 2a-b \right)\end{align*}}$ ．
よって、A、B、C、Dの座標はそれぞれ
A(a－2b，2a＋b)、 B(－a－2b，－2a＋b)
C(－a＋2b，－2a－b)、 D(a＋2b，2a－b)
(２)
頂点A、B、C、Dがすべて領域x2＋(y－5)2≦100内に
あればよいので、
(a－2b)2＋(2a＋b－5)2≦100
⇔ 5a2＋5b2－20a－10b＋25≦100
⇔ (a－2)2＋(b－1)2≦20
(－a－2b)2＋(－2a＋b－5)2≦100
⇔ (a＋2)2＋(b－1)2≦20
(－a＋2b)2＋(－2a－b－5)2≦100
⇔ (a＋2)2＋(b＋1)2≦20
(a＋2b)2＋(2a－b－5)2≦100
⇔ (a－2)2＋(b＋1)2≦20
これらとa＞0、b＞0を同時に満たす(a，b)の領域を
図示すると、下図のようになる。
境界は、座標軸上の点を含まない。
図から考えると、(２)はCだけ調べればいい感じがしますが、念のため。
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第３問
はじめに、Aが赤玉を1個、Bが白玉を1個、Cが青玉を1個もっている。
表裏の出る確率がそれぞれ2分の1の硬貨を投げ、表が出ればAとBの
玉を交換し、裏が出ればBとCの玉を交換する、という操作を考える。
この操作をn回（n＝1，2，3，･･･）繰り返した後に、A、B、Cが赤玉を
持っている確率をそれぞれan、bn、cnとおく。
(１) a1、b1、c1、a2、b2、c2を求めよ。
(２) an+1、bn+1、cn+1をan、bn、cnで表せ。
(３) nが奇数ならばan＝bn＞cnが成り立ち、nが偶数ならば
an＞bn＝cnが成り立つことを示せ。
(４) bnを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
右図より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ b_1=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ c_1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_2=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ b_2=\frac{1}{4}\ \ ,\ \ c_1=\frac{1}{4}\end{align*}}$
(２)
・n回の操作後にAが赤玉を持っている状態で、
表が出ると、Bが赤玉
裏が出ると、Aが赤玉
・n回の操作後にBが赤玉を持っている状態で、
表が出ると、Aが赤玉
裏が出ると、Cが赤玉
・n回の操作後にCが赤玉を持っている状態で、
表が出ると、Cが赤玉
裏が出ると、Bが赤玉
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=\frac{1}{2}\ a_n+\frac{1}{2}\ b_n\end{align*}}$ ････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{n+1}=\frac{1}{2}\ a_n+\frac{1}{2}\ c_n\end{align*}}$ ････②
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_{n+1}=\frac{1}{2}\ b_n+\frac{1}{2}\ c_n\end{align*}}$ ････③
(３)
自然数nに対して、
a2n-1＝b2n-1＞c2n-1、 a2n＞b2n＝c2n ････(※)
であることを数学的帰納法で示す。
(ⅰ)n＝1のときは、(１)よりOK
(ⅱ)n＝kのとき(※)が成り立つとする。
すなわち、
a2k-1＝b2k-1＞c2k-1
a2k＞b2k＝c2k ････④
n＝k＋1のとき、①～③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{2k+1}=\frac{1}{2}\ a_{2k}+\frac{1}{2}\ b_{2k}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{2k+1}=\frac{1}{2}\ a_{2k}+\frac{1}{2}\ c_{2k}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_{2k+1}=\frac{1}{2}\ b_{2k}+\frac{1}{2}\ c_{2k}\end{align*}}$
であり、これらと④より
a2k＋b2k＝a2k＋c2k＞b2k＋c2k
⇔ a2k+1＝b2k+1＞c2k+1 ･････⑤
さらに、①～③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{2(k+1)}=\frac{1}{2}\ a_{2k+1}+\frac{1}{2}\ b_{2k+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{2(k+1)}=\frac{1}{2}\ a_{2k+1}+\frac{1}{2}\ c_{2k+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_{2(k+1)}=\frac{1}{2}\ b_{2k+1}+\frac{1}{2}\ c_{2k+1}\end{align*}}$
であり、これらと⑤より
a2k+1＋b2k+1＞a2k+1＋c2k+1＝b2k+1＋c2k+1
⇔ a2(k+1)＞b2(k+1)＝c2(k+1)
よって、n＝k＋1のときも(※)は成立する。
以上より、任意の自然数nに対して(※)は成立するので、
題意は示された。
(４)
an＋bn＋cn＝1 を②に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{n+1}=\frac{1}{2}\ (1-\ b_n)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}\ \left(\ b_n-\frac{1}{3}\right)\end{align*}}$
数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{Bmatrix} \sf \ b_n-\frac{1}{3} \end{Bmatrix}\end{align*}}$ は、初項 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ 、公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}\end{align*}}$ の等比数列なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\ \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\ \ \Leftrightarrow\ \ b_n=\underline{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\ \ }\end{align*}}$
ａn＋ｂn＋ｃn＝１という条件を忘れてはいけません。
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