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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011北海道大 文系数学1


第1問

  実数 x に対してk≦x<k+1を満たす整数kを[x]で表す。
  たとえば、 [2]=2 、 $\small\sf{\begin{align*} \sf \left[\frac{5}{2} \right]=2\end{align*}}$、 [-2.1]=-3 である。

 (1) n2-5n+5<0を満たす整数nをすべて求めよ。

 (2) [x]2-5[x]+5<0を満たす実数 xの範囲を求めよ。

 (3) xは(2)で求めた範囲にあるものとする。x2-5[x]+5=0を満たすxを
    すべて求めよ。

 

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  1. 2018/11/01(木) 01:05:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 文系 2011
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2011北海道大 文系数学2



第2問

  aを正の実数、bとcを実数とし、2点P(-1,3)、Q(1,4)を通る
  放物線y=ax2+bx+cをCとおく。C上の2点P、QにおけるCの
  接線をそれぞれL1、L2とする。

 (1) bの値を求め、cをaで表せ。

 (2) L1とL2の交点の座標をaで表せ。

 (3) 放物線Cと接線L1、L2で囲まれる図形の面積が1に等しくなる
    ようなaの値を求めよ。


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2011北海道大 文系数学3



第3問

  a,bを実数とし、xy平面上の3直線を
      L: x+y=0
      L1: ax+y=2a+2
      L2: bx+y=2b+2
  で定める.

 (1) 直線L1はaの値によらない1点Pを通る。Pの座標を求めよ。

 (2) L、L1、L2によって三角形がつくられるためのa、bの条件を
    求めよ。

 (3) a、bは(2)で求めた条件を満たすものとする。点(1,1)が
    (2)の三角形の内部にあるようなa、bの範囲を求め、それを
    ab平面上に図示せよ。



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2011北海道大 文系数学4


第4問

  nを2以上の自然数、qとrを自然数とする。1からnqまで番号のついた
  nq個の白玉、1からnrまでの番号がついたnr個の赤玉を用意する。
  これら白玉と赤玉を、1番からn番まで番号づけられたn個の箱それぞ
  れに、小さい番号から順に白玉はq個ずつ、赤玉はr個ずつ配分して
  おく。たとえば、1番の箱には番号1からqの白玉と番号1からrの赤玉
  が入っている。これらn(q+r)個の玉をn個の箱に以下のように再配分
  する。1番の箱から1個の玉を取り出して2番の箱に移し、次に2番の
  箱から1個の玉を取り出して3番の箱に移す。同様の操作を順次繰り
  返し最後にn番の箱に1個の玉を移して終了する。このようにして実現
  され得る再配分の総数をsnとし、n番の箱の白玉がq+1個であるような
  再配分の総数をanとする。

 (1) s2を求めよ。

 (2) s3とa3を求めよ。

 (3) s4とa4を求めよ。