第１問
x100をx2－x＋1で割った余りを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
方程式x2－x＋1＝0の解は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{1\pm\sqrt3\ i}{2}\end{align*}}$
であり、一方をωとおくと、
x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)
より、
ω3＋1＝0 ⇔ ω3＝－1 ････①
が成り立つ。
x100をx2－x＋1で割った商をQ(x)、余りをax＋b
とおくと（a、bは実数）、
x100＝(x2－x＋1)Q(x)＋ax＋b
と表され、これにx＝ωを代入すると
aω＋b＝ω100
＝(ω3)33ω
＝－ω ←①より
⇔ (a＋1)ω＝b．
a、bは実数、ωは虚数なので、両辺の係数を比較すると、
a＝－1、 b＝0
を得る。
x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1) に気づくかがポイントです。
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第２問
AB、BC、CD、DAを4辺とする四角形ABCDがある。AB＝DC
かつAD//BCであることは、四角形ABCDが平行四辺形である
ための 条件である。次から にあてはまる適切な
ものを選べ。
ア、必要であるが十分でない
イ、十分であるが必要でない
ウ、必要十分
エ、必要でも十分でもない
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
命題P、Qを
P････AB＝DC かつ AD//BC
Q････四角形ABCDが平行四辺形である
とする。
【P⇒Q】
右図のような等脚台形が反例となるので、
この命題は偽である。
【Q⇒P】
平行四辺形の対辺はそれぞれ等しく平行なので、
この命題は真である。
以上より、
PはQの必要条件ではあるが十分条件ではない。
等脚台形には気づきますよね？
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第３問
$\small\sf{\begin{align*}\sf x=-1\sqrt2\ i\end{align*}}$ のとき、x4－2x2の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=-1+\sqrt2\ i\ \ \Leftrightarrow\ \ x+1=\sqrt2\ i\end{align*}}$
と変形し、両辺を2乗すると
x2＋2x＋1＝－2 ⇔ x2＝－2x－3 ････①
よって、
x4－2x2
＝(－2x－3)2－2(－2x－3) ←①より
＝4x2＋16x＋15
＝4(－2x－3)＋16x＋15 ←①より
＝8x＋3
＝8(－1＋$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt2\end{align*}}$ i)＋3
＝－5＋8$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt2\end{align*}}$ i
もちろんそのまま代入しませんｗｗ
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第４問
△ABCにおいて、3辺BC、CA、ABの長さを、それぞれa、b、cとし、
∠A、∠B、∠Cの大きさをそれぞれA、B、Cで表すものとする。次の
等式を満たす△ABCはどのような三角形であるか答えよ。
$\small\sf{\begin{align*}\sf b\cos C-c\cos B=a\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
余弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b\cdot\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-c\cdot\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (a^2+b^2-c^2)-(c^2+a^2-b^2)=2a^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ c^2+a^2=b^2\end{align*}}$
となるので、
△ABCは∠B＝90°の直角三角形である。
簡単な問題は猛ダッシュで片付けましょう！！
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第５問
次のように分数を並べた数列がある。
$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{3}\ ,\ \frac{2}{3}\ ,\ \frac{1}{4}\ ,\ \frac{2}{4}\ ,\ \frac{3}{4}\ ,\ \frac{1}{5}\ ,\ \frac{2}{5}\ ,\ \frac{3}{5}\ ,\ \frac{4}{5}\ ,\ \frac{1}{6}\ ,\ \ldots\end{align*}}$
初項から第603項までの和を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\ \left|\ \frac{1}{3}\ ,\ \frac{2}{3}\ \right|\ \frac{1}{4}\ ,\ \frac{2}{4}\ ,\ \frac{3}{4}\ \left|\ \frac{1}{5}\ ,\ \frac{2}{5}\ ,\ \frac{3}{5}\ ,\ \frac{4}{5}\ \right|\ \frac{1}{6}\ ,\ \ldots\end{align*}}$
のように群に分ける。
第n群の末項は、最初から数えて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1+2+\ldots +n=\frac{1}{2}n(n+1)\end{align*}}$
番目の数であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 595=\frac{1}{2}\cdot 34\cdot 35<603<\frac{1}{2}\cdot 35\cdot 36=630\end{align*}}$
より、第603項は第35群の
603－595＝8
番目の数である。
また、第n群に含まれるn個の数の和は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1+2+\ldots +n}{n+1}=\frac{\frac{1}{2}n(n+1)}{n+1}=\frac{n}{2}\end{align*}}$
なので、初項から第603項までの和は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\sum_{n=1}^{34}\frac{n}{2}\right)+\frac{1+2+\ldots +8}{36}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 34\cdot 35+\frac{36}{36}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{597}{2}\ }\end{align*}}$
細かい部分に気をつけましょう。
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第６問
りんご、みかん、メロンの3種類を合わせて10個選ぶ。このとき、
どの種類も少なくとも1個以上選び、リンゴは3個以下とする選び
方は何通りであるか答えよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
りんご、みかん、メロンの個数をそれぞれ、x、y、zとすると、
x＋y＋z＝10 ････①
1≦x≦3、 1≦y、 1≦z ････②
x＝1のとき
①は、y＋z＝9となり、
②を満たす組(y，z)は、
(1，8)、(2，7)、･･･、(8，1)の8通り
x＝2のとき
①は、y＋z＝8となり、
②を満たす組(y，z)は、
(1，7)、(2，6)、･･･、(7，1)の7通り
x＝3のとき
①は、y＋z＝7となり、
②を満たす組(y，z)は、
(1，6)、(2，5)、･･･、(6，1)の6通り
以上より、
8＋7＋6＝21通り
さっさと書き出した方が早いです。
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第７問
xが1≦x≦eの範囲を動く。このとき次の関数の最小値を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*}\sf g\ (x)=\int_0^1|e^t-x|dt\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
et－x＝0 ⇔ t＝logx
であり、1≦x≦eより、0≦logx≦1となる。
よって、
0≦t≦logxのとき、et－x≦0
logx≦t≦1のとき、et－x≧0
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ (x)=\int_0^{\log x}\left(-e^t+x\right)dt+\int_{\log x}^1\left(e^t-x\right)dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\bigg[-e^t+xt\bigg]_0^{\log x}+\bigg[e^t-xt\bigg]_{\log x}^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\left(-x+x\log x\right)-(-1+0)+(e-x)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2x\log x-3x+e+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ '(x)=2\log x+2x\cdot \frac{1}{x}-3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2log x-1\end{align*}}$ ．
g(x)の増減は次の通り。
よって、g(x)の最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(x)_{min}=g\left(\sqrt{e}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\sqrt{e}\cdot\frac{1}{2}-3\sqrt{e}+e+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =e-2\sqrt{e}+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \left(\sqrt{e}-1\right)^2\ }\end{align*}}$
絶対値を外すために、変数tの値で場合分けです。
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第８問
次の極限値を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{e^{x\sin 4x}-1}{x\log (1+x)}\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
求める極限をLとおく。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L=\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{e^{x\sin 4x}-1}{x\sin 4x}\cdot\frac{x}{\log (1+x)}\cdot\frac{\sin 4x}{x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =4\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{e^{x\sin 4x}-e^0}{x\sin 4x-0}\cdot\frac{x-0}{\log (1+x)-\log 1}\cdot\frac{\sin 4x}{4x}\end{align*}}$
ここで、
t＝xsin4xとおくと、x→0のときt→0となり、
f(t)＝etとおくと、f’(t)＝etなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{e^{x\sin 4x}-e^0}{x\sin 4x-0}=\lim_{t\rightarrow 0}\ \frac{e^t-e^0}{t-0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\lim_{t\rightarrow 0}\ \frac{f\ (t)-f\ (0)}{t-0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =f\ '(0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =1\end{align*}}$
さらに、g(x)＝log(1＋x)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ '(x)=\frac{1}{1+x}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-0}{\log (1+x)-\log 1}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-0}{g\ (x)-g\ (0)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{g\ '(0)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =1\end{align*}}$ ．
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 4x}{4x}=1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L=4\cdot 1\cdot 1\cdot 1=\underline{\ 4\ }\end{align*}}$
微分係数の定義に持ちこむパターンですが、
式変形にとまどうかもしれません。
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第９問
3次方程式x3＋ax2＋21x＋8＝0（aは実数）の解を小さいものから
順に$\small\sf{\sf \alpha,\beta,\gamma}$ とする。いま、$\small\sf{\alpha :\beta=\beta :\gamma}$ が成立するとき、aの値
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\alpha :\beta=\beta :\gamma}$ より、3数$\scriptsize\sf{\alpha ,\beta ,\gamma}$ はこの順に等比数列を
なすので、その公比をrとすると、
$\scriptsize\sf{\beta=\alpha\ r\ ,\ \ \gamma=\alpha\ r^2}$
と表せる。
解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\alpha+\alpha\ r+\alpha\ r^2=-a}$ ････①
$\scriptsize\sf{\alpha\cdot\alpha\ r\cdot\alpha\ r^2=\alpha^2r^3=-8\ \ \Leftrightarrow\ \ \alpha\ r=-2}$ ････②
$\scriptsize\sf{\alpha\cdot\alpha\ r+\alpha\ r\cdot\alpha\ r^2+\alpha\ r^2\cdot\alpha=21}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ \alpha\ r\left(\alpha+\alpha\ r+\alpha\ r^2\right)=21}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ 2a=21}$ ←①、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=\underline{\ \frac{21}{2}\ }\end{align*}}$
3次方程式の解と係数の関係を用いるだけです。
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第10問
方程式8x－(a＋4)4x＋4(a＋1)2x－4a＝0 （aは実数）の
実数解がただ一つとなるようなaの範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
t＝2x （＞0)とおくと、与式は
t3－(a＋4)t2＋4(a＋1)t－4a＝0
⇔ (t－2){t2－(a＋2)t＋2a}＝0
⇔ (t－2)2(t－a)＝0
⇔ t＝2，a
t＞0の範囲にただ1つの解をもてばよいので、
a≦0 または a＝2
因数分解に気づきましょう。
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