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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013三重大 工学部 数学1



第1問

  平面上のベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ が $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}|=2\ \ ,\ \ |2\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}|=2\end{align*}}$ を満たす
  ように動く。ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}\ ,\ 2\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ をそれぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf x}\ ,\ \overrightarrow{\sf y}\end{align*}}$ とし、
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf x}\ ,\ \overrightarrow{\sf y}\end{align*}}$ のなす角を$\small\sf{\theta}$ とする。以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf x}\ ,\ \overrightarrow{\sf y}\end{align*}}$ で表せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf x}\ ,\ \overrightarrow{\sf y}\end{align*}}$ で表し、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}|^2\end{align*}}$ を$\small\sf{\theta}$ で表せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}|\end{align*}}$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの$\small\sf{\theta}$ を、
    それぞれ求めよ。


テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2013/09/13(金) 23:54:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .三重大 2013(工)
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2013三重大 工学部 数学2



第2問

  $\small\sf{\theta}$ を0<$\small\sf{\theta}$ <$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{6}\end{align*}}$ となる実数とし、平面上に3点O(0,0)、
  P(cos$\small\sf{\theta}$ ,sin$\small\sf{\theta}$ )、Q(cos3$\small\sf{\theta}$ ,-sin3$\small\sf{\theta}$ )をとる。さらに、
  線分PQとx軸との交点をRとする。以下の問いに答えよ。

 (1) 加法定理を用いて、cos3$\small\sf{\theta}$ をcos$\small\sf{\theta}$ だけで表す式を導け。
    同様に sin3$\small\sf{\theta}$ をsinvだけで表す式を導け。

 (2) PR:RQ=5:11のとき、sin$\small\sf{\theta}$ 、cos$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。

 (3) (2)の条件下で△PORの面積を求めよ。



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  1. 2013/09/13(金) 23:57:00|
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2013三重大 工学部 数学3



第3問

  正四面体ABCDを考える。点Pは、時刻0では頂点Aにあり、1秒ごとに、
  今いる頂点から他の3頂点のいずれかに、等しい確率で動く。nを0以上
  の整数とし、点Pがn秒後にAにある確率をpn、Bにある確率をqnとする。
  このとき、n秒後にCにある確率も、Dにある確率もqnとなる。このことに
  注意して、以下の問いに答えよ。ただし、p0=1、q0=0 とする。

 (1) n≧1に対し pn、qnをpn-1、qn-1で表せ。

 (2) cn=pn-qnとおいてcnの一般項を求めよ。

 (3) pnの一般項を求めよ。



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  1. 2013/09/14(土) 23:54:00|
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2013三重大 工学部 数学4



第4問

  $\small\sf{\begin{align*} \sf y^2=(x-2)^2(x+1)\end{align*}}$ で決まる曲線をCとする。

 (1) 関数$\small\sf{\begin{align*} \sf y=(x-2)\sqrt{x+1}\end{align*}}$ の増減を調べ、関数のグラフの概形をかけ。

 (2) 曲線Cの概形をかけ。

 (3) 曲線Cで囲まれる部分の面積を求めよ。




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  1. 2013/09/14(土) 23:57:00|
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