第1問
平面上のベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ が $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}|=2\ \ ,\ \ |2\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}|=2\end{align*}}$ を満たす
ように動く。ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}\ ,\ 2\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ をそれぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf x}\ ,\ \overrightarrow{\sf y}\end{align*}}$ とし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf x}\ ,\ \overrightarrow{\sf y}\end{align*}}$ のなす角を$\small\sf{\theta}$ とする。以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf x}\ ,\ \overrightarrow{\sf y}\end{align*}}$ で表せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf x}\ ,\ \overrightarrow{\sf y}\end{align*}}$ で表し、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}|^2\end{align*}}$ を$\small\sf{\theta}$ で表せ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}|\end{align*}}$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの$\small\sf{\theta}$ を、
それぞれ求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf x}\end{align*}}$ ････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf y}\end{align*}}$ ････②
①+②×2より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 5\overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf x}+2\overrightarrow{\sf y}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf a}=\underline{\ \frac{\overrightarrow{\sf x}+2\overrightarrow{\sf y}}{5}\ }\end{align*}}$
①×2－②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 5\overrightarrow{\sf b}=2\overrightarrow{\sf x}-\overrightarrow{\sf y}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf b}=\underline{\ \frac{2\overrightarrow{\sf x}-\overrightarrow{\sf y}}{5}\ }\end{align*}}$
(2)
(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}=\underline{\ \frac{3\overrightarrow{\sf x}+\overrightarrow{\sf y}}{5}\ }\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}|^2=\frac{1}{25}\left|3\overrightarrow{\sf x}+\overrightarrow{\sf y}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{25}\left\{9|\overrightarrow{\sf x}|^2+6\overrightarrow{\sf x}\cdot\overrightarrow{\sf y}+|\overrightarrow{\sf y}|^2\right\}\end{align*}}$ ．
ここで題意より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf x}|^2=|\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}|^2=4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf y}|^2=|2\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}|^2=4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf x}\cdot\overrightarrow{\sf y}=|\overrightarrow{\sf x}||\overrightarrow{\sf y}|\cos\theta=4\cos\theta\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}|^2=\frac{1}{25}\left(9\cdot 4+6\cdot 4\cos\theta+4\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{8}{25}\left(3\cos\theta+5\right)\ }\end{align*}}$ ．
(3)
$\scriptsize\sf{\sf 0\leqq\theta\leqq\pi}$ より、
$\scriptsize\sf{\sf -1\leqq\cos\theta\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ 2\leqqq 3\cos\theta+5\leqq 8}$
なので、
$\scriptsize\sf{\theta=0}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}|\end{align*}}$ は最大となり、その値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}|=\sqrt{\frac{8}{25}\cdot 8}=\underline{\ \frac{8}{5}\ }\end{align*}}$ ．
$\scriptsize\sf{\theta}$ =$\scriptsize\sf{\pi}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}|\end{align*}}$ は最小となり、その値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}|=\sqrt{\frac{8}{25}\cdot 2}=\underline{\ \frac{4}{5}\ }\end{align*}}$ ．
内積計算だけです。
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第2問
$\small\sf{\theta}$ を0＜$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{6}\end{align*}}$ となる実数とし、平面上に3点O(0，0)、
P(cos$\small\sf{\theta}$ ，sin$\small\sf{\theta}$ )、Q(cos3$\small\sf{\theta}$ ，－sin3$\small\sf{\theta}$ )をとる。さらに、
線分PQとx軸との交点をRとする。以下の問いに答えよ。
(1) 加法定理を用いて、cos3$\small\sf{\theta}$ をcos$\small\sf{\theta}$ だけで表す式を導け。
同様に sin3$\small\sf{\theta}$ をsinｖだけで表す式を導け。
(2) PR：RQ=5：11のとき、sin$\small\sf{\theta}$ 、cos$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。
(3) (2)の条件下で△PORの面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
cos3$\scriptsize\sf{\theta}$ =cos(2$\scriptsize\sf{\theta}$ +$\scriptsize\sf{\theta}$ )
=cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ cos$\scriptsize\sf{\theta}$ －sin2$\scriptsize\sf{\theta}$ sin$\scriptsize\sf{\theta}$
=cos($\scriptsize\sf{\theta}$ +$\scriptsize\sf{\theta}$ )cos$\scriptsize\sf{\theta}$ －sin($\scriptsize\sf{\theta}$ +$\scriptsize\sf{\theta}$ )sin$\scriptsize\sf{\theta}$
=(cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ －sin2$\scriptsize\sf{\theta}$ )cos$\scriptsize\sf{\theta}$ －2sin$\scriptsize\sf{\theta}$ cos$\scriptsize\sf{\theta}$ ･sin$\scriptsize\sf{\theta}$
=cos3$\scriptsize\sf{\theta}$ －3sin2$\scriptsize\sf{\theta}$ cos$\scriptsize\sf{\theta}$
=cos3－3(1－cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ )cos$\scriptsize\sf{\theta}$
=4cos3$\scriptsize\sf{\theta}$ －3cos$\scriptsize\sf{\theta}$
sin3$\scriptsize\sf{\theta}$ =sin(2$\scriptsize\sf{\theta}$ +$\scriptsize\sf{\theta}$ )
=sin2$\scriptsize\sf{\theta}$ cos$\scriptsize\sf{\theta}$ +cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ sin$\scriptsize\sf{\theta}$
=sin($\scriptsize\sf{\theta}$ +$\scriptsize\sf{\theta}$ )cos$\scriptsize\sf{\theta}$ +cos($\scriptsize\sf{\theta}$ +$\scriptsize\sf{\theta}$ )sin$\scriptsize\sf{\theta}$
=2sin$\scriptsize\sf{\theta}$ cos$\scriptsize\sf{\theta}$ ･cos$\scriptsize\sf{\theta}$ +(cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ －sin2$\scriptsize\sf{\theta}$ )sin$\scriptsize\sf{\theta}$
=3sin$\scriptsize\sf{\theta}$ cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ －sin3$\scriptsize\sf{\theta}$
=3sin$\scriptsize\sf{\theta}$ (1－sin2$\scriptsize\sf{\theta}$ )－sin3$\scriptsize\sf{\theta}$
=3sin$\scriptsize\sf{\theta}$ －4sin3$\scriptsize\sf{\theta}$
(2)
まず、0＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$ /6より
sin$\scriptsize\sf{\theta}$ ＞0 かつ cos$\scriptsize\sf{\theta}$ ＞0．
RはPQを5：11に内分する点であり、
そのy座標は0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{11\sin\theta+5\cdot(-\sin 3\theta)}{5+11}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 11\sin\theta-5(3\sin\theta-4\sin^3\theta)=0\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\sin\theta\left(5\sin^2\theta-1\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\theta=\underline{\ \frac{1}{\sqrt5}\ \ (>0)}\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt5}\right)^2}=\underline{\ \frac{2}{\sqrt5}\ \ (>0)\ }\end{align*}}$
(3)
Rはx軸上にあり、PQを5：11に内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OR=\left|\frac{11cos\theta+5\cos 3\theta}{5+11}\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\frac{1}{16}\left\{11\cos\theta+5\left(4\cos^3\theta-3\cos\theta\right)\right\}\right|\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\frac{1}{4}\cos\theta\left(5\cos^2\theta-1\right)\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{\sqrt5}\left\{5\left(\frac{2}{\sqrt5}\right)^2-1\right\}\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{2\sqrt5}\end{align*}}$ ．
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP=\sqrt{\sin^2\theta+\cos^2\theta}=1\end{align*}}$
であり、∠POR=$\scriptsize\sf{\theta}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle POR=\frac{1}{2}OP\cdot OR\ \sin\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\cdot 1\cdot\frac{3}{2\sqrt5}\cdot\frac{1}{\sqrt5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3}{20}\ }\end{align*}}$ ．
3倍角の公式は覚えているでしょうから、結論は見えています。
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第3問
正四面体ABCDを考える。点Pは、時刻0では頂点Aにあり、1秒ごとに、
今いる頂点から他の3頂点のいずれかに、等しい確率で動く。nを0以上
の整数とし、点Pがn秒後にAにある確率をpn、Bにある確率をqnとする。
このとき、n秒後にCにある確率も、Dにある確率もqnとなる。このことに
注意して、以下の問いに答えよ。ただし、p0=1、q0=0 とする。
(1) n≧1に対し pn、qnをpn-1、qn-1で表せ。
(2) cn=pn－qnとおいてcnの一般項を求めよ。
(3) pnの一般項を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
頂点Aには、B、C、Dのいずれかの頂点より3分の1の確率で
移動してくるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\frac{1}{3}q_{n-1}+\frac{1}{3}q_{n-1}+\frac{1}{3}q_{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ q_{n-1}\ }\end{align*}}$ ････①
同様に、頂点Bには、A、C、Dのいずれかの頂点より3分の1の
確率で移動してくるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_n=\frac{1}{3}p_{n-1}+\frac{1}{3}q_{n-1}+\frac{1}{3}q_{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{3}p_{n-1}+\frac{2}{3}q_{n-1}\ }\end{align*}}$ ････②
(2)
①－②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n-q_n=q_{n-1}-\left(\frac{1}{3}p_{n-1}+\frac{2}{3}q_{n-1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{3}\left(p_{n-1}-q_{n-1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ c_n=-\frac{1}{3}\ c_{n-1}\end{align*}}$
となり、数列{cn}は等比数列をなす。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_0=p_0-q_0=1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_n=\left(-\frac{1}{3}\right)^nc_0=\underline{\ \left(-\frac{1}{3}\right)^n\ }\end{align*}}$
(3)
動点PはA、B、C、Dいずれかの頂点にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n+q_n+q_n+q_n=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ q_n=\frac{1-p_n}{3}\end{align*}}$ ････③
また、(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n-q_n=c_n=\left(-\frac{1}{3}\right)^n\end{align*}}$
なので、これに③を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n-\frac{1-p_n}{3}=\left(-\frac{1}{3}\right)^n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{4}{3}p_n-\frac{1}{3}=\left(-\frac{1}{3}\right)^n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_n=\underline{\ \frac{3}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)^n+\frac{1}{4}\ }\end{align*}}$
pn+qn+rn+sn=1に気づくと楽ですね。
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第4問
$\small\sf{\begin{align*} \sf y^2=(x-2)^2(x+1)\end{align*}}$ で決まる曲線をCとする。
(1) 関数$\small\sf{\begin{align*} \sf y=(x-2)\sqrt{x+1}\end{align*}}$ の増減を調べ、関数のグラフの概形をかけ。
(2) 曲線Cの概形をかけ。
(3) 曲線Cで囲まれる部分の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
定義域は
x+1≧0 ⇔ x≧－1
であり、導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ '=\sqrt{x+1}+(x-2)\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x+1}}=\frac{3x}{2\sqrt{x+1}}\end{align*}}$
となるので、増減表およびグラフの概形は下のようになる。
(2)
Cの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\pm\sqrt{(x-2)^2(x+1)}=\pm|x-2|\sqrt{x+1}\end{align*}}$
と変形でき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-(x-2)\sqrt{x+1}\end{align*}}$ のグラフは、(1)のグラフを
x軸に関して対称に移動したものなので、曲線Cの概形は
次のようになる。
(3)
求める面積をSとすると、図の対称性より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=-2\int_{-1}^2(x-2)\sqrt{x+1}\ dx\end{align*}}$ ．
ここで、t=x+1と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=1\end{align*}}$
であり、積分区間は、t：0→3となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=-2\int_0^3\left(t-3\right)\sqrt{t}\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2\int_0^3\left(t^{\frac{3}{2}}-3\ t^{\frac{1}{2}}\right)dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2\left(\frac{2}{5}\cdot 9\sqrt3-2\cdot 3\sqrt3\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{24\sqrt3}{5}\ }\end{align*}}$
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