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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013三重大 医学部 数学1



第1問

  平面上のベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ が $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}|=2\ \ ,\ \ |2\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}|=2\end{align*}}$ を満たす
  ように動く。ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}\ ,\ 2\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ をそれぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf x}\ ,\ \overrightarrow{\sf y}\end{align*}}$ とし、
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf x}\ ,\ \overrightarrow{\sf y}\end{align*}}$ のなす角を$\small\sf{\theta}$ とする。以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf x}\ ,\ \overrightarrow{\sf y}\end{align*}}$ で表せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf x}\ ,\ \overrightarrow{\sf y}\end{align*}}$ で表し、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}|^2\end{align*}}$ を$\small\sf{\theta}$ で表せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}|\end{align*}}$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの$\small\sf{\theta}$ を、
    それぞれ求めよ。


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  1. 2013/09/09(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .三重大 2013(医)
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2013三重大 医学部 数学2



第2問

  $\small\sf{\theta}$ を0<$\small\sf{\theta}$ <$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{6}\end{align*}}$ となる実数とし、平面上に3点O(0,0)、
  P(cos$\small\sf{\theta}$ ,sin$\small\sf{\theta}$ )、Q(cos3$\small\sf{\theta}$ ,-sin3$\small\sf{\theta}$ )をとる。さらに、
  線分PQとx軸との交点をRとする。以下の問いに答えよ。

 (1) 加法定理を用いて、cos3$\small\sf{\theta}$ をcos$\small\sf{\theta}$ だけで表す式を導け。
    同様に sin3$\small\sf{\theta}$ をsin$\small\sf{\theta}$ だけで表す式を導け。

 (2) PR:RQ=5:11のとき、sin$\small\sf{\theta}$ 、cos$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。

 (3) (2)の条件下で△PORの面積を求めよ。



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  1. 2013/09/10(火) 23:57:00|
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2013三重大 医学部 数学3



第3問

  正四面体ABCDを考える。点Pは、時刻0では頂点Aにあり、1秒ごとに、
  今いる頂点から他の3頂点のいずれかに、等しい確率で動く。nを0以上
  の整数とし、点Pがn秒後にA、B、C、Dにある確率を、それぞれpn、qn
  rn、snとする。このとき以下の問いに答えよ。

 (1) n≧1に対し qn=rn=snとなることを数学的帰納法で証明せよ。

 (2) n≧1に対し pn、qnをpn-1、qn-1で表せ。ただし、p0=1、q0=0
    とする。

 (3) cn=pn-qnとおいてcnの一般項を求めよ。

 (4) pnの一般項を求めよ。



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  1. 2013/09/11(水) 23:57:00|
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2013三重大 医学部 数学4



第4問

  eで自然対数の底を表す、関数f(x)を
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\log\left(x+\sqrt{x^2+e}\right)\end{align*}}$
  で定めるとき、以下の問いに答えよ。

 (1) 関数f(x)を微分せよ。またf’(x)が偶関数であることを示せ。

 (2) 定積分
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{-1}^1f\ (x)\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)dx\end{align*}}$
    を求めよ。

 (3) 数列{an}を
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\int_{-1}^1x^{2n}f\ (x)\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)dx\ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
    で定める。nを2以上とするとき、anとan-1の間に成り立つ
    関係式を求めよ。


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  1. 2013/09/12(木) 23:57:00|
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