第1問
実数xに対し、[x]をx以下の最大の整数とする。たとえば、[2]=2、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left[\frac{7}{5}\right]\end{align*}}$ =1である。数列{an}を
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_k=\left[\frac{3k}{5}\right]\ \ \ (k=1\ ,\ 2\ ,\ \ldots)\end{align*}}$
と定めるとき、以下の問いに答えよ。
(1) a1、a2、a3、a4、a5を求めよ。
(2) ak+5=ak+3 （k=1，2，･･･）を示せ。
(3) 自然数nに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{5n}a_k\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=\left[\frac{3}{5}\right]=0\ \ ,\ \ a_2=\left[\frac{6}{5}\right]=1\ \ ,\ \ a_3=\left[\frac{9}{5}\right]=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_4=\left[\frac{12}{5}\right]=2\ \ ,\ \ a_5=\left[\frac{15}{5}\right]=3\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{k+5}=\left[\frac{3(k+5)}{5}\right]\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{3k}{5}+3\right]\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{3k}{5}\right]+3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a_k+3\end{align*}}$
(3)
(2)より、
a5k=a5(k-1)+3
=a5(k-2)+6
=a5(k-3)+9
････
=a5+3(k－1)
=3k ←(1)より
同様にすると、
a5k-1=a4+3(k－1)=3k－1
a5k-2=a3+3(k－1)=3k－2
a5k-3=a2+3(k－1)=3k－2
a5k-4=a1+3(k－1)=3k－3
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{5n}\ a_k=\sum_{k=1}^n\left(a_{5k-4}+a_{5k-3}+a_{5k-2}+a_{5k-1}+a_{5k}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^n\left\{(3k-3)+(3k-2)+(3k-2)+(3k-1)+3k\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^n\left(15k-8\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{15}{2}n(n+1)-8n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}n\left(15n-1\right)\ }\end{align*}}$
雑な答案でスミマセンｗｗ
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第2問
座標平面上でy=x+1で表される直線をLとする。また、4点
A(－1，1)、B(0，－2)、C(3，1)、D(1，3)をとる。以下の
問いに答えよ。
(1) 領域R1={(x，y)|y＞x+1}とR2={(x，y)|y≦x+1}を
考える。4点A、B、C、Dはそれぞれ、領域R1、R2のどちら
にあるか答えよ。
(2) kを定数とし、直線y=x+k上に点E(x，x+k)をとる。Eと
直線Lの距離が$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ となるkの値をすべて求めよ。
(3) 四角形ABCDの周または内部で、直線Lとの距離が$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ 以下
となる点の範囲を図示せよ。
(4) 点P(x，y)が(3)で求めた範囲を動くとき、2x+yがとる値の
最小値と最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
1＞－1+1 よりAは領域R1内
－2＜0+1 よりBは領域R2内
1＜3+1 よりCは領域R2内
3＞1+1 よりDは領域R1内
(2)
点E(x，x+k)から直線L：x－y+1=0までの距離は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{|x-(x+k)+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\sqrt2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |-k+1|=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -k+1=\pm2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ k=3\ ,\ -1\ }\end{align*}}$ ．
(3)
(2)より直線Lからの距離が $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ 以下になる領域は、
x－1≦y≦x+3．
四角形ABCDの周または内部と共通する部分を図示すると
下図のようになる。（境界線上の点も含む）
(4)
直線AB、CDの式はそれぞれ、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-3x-2\ \ ,\ \ y=-x+4\end{align*}}$
これらと直線y=x－1との交点をそれぞれE、Fとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -3x-2=x-1\ \ \Leftrightarrow\ \ x=-\frac{1}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -x+4=x-1\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{5}{2}\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E\left(-\frac{1}{4}\ ,\ -\frac{5}{4}\right)\ \ \ ,\ \ \ F\left(\frac{5}{2}\ ,\ \frac{3}{2}\right)\end{align*}}$
sを実定数として、2x+y=sとおくと、y=－2x+s ････①
と変形できるので、この式は傾き－2、切片sの直線を表す。
この直線が(3)の領域と共有点をもつようにsを動かすと、
①が点Fを通るとき切片sは最大、
①が点Fを通るとき切片sは最小
となる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{5}{2}\ \ ,\ \ y=\frac{3}{2}\end{align*}}$ のとき、最大値 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{13}{2}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=-\frac{1}{4}\ \ ,\ \ y=-\frac{5}{4}\end{align*}}$ のとき、最小値 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ -\frac{7}{4}\ }\end{align*}}$
上からそのまま解いていきましょう。
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第3問
表の出る確率がp（0＜p＜1）のコインを投げ、表が出れば5点を得、
裏が出れば1点を得るものとする。コインを投げ続けるとき以下の問
いに答えよ。
(1) n回投げたときの得点の取ちうる値をすべて求めよ。また、得点が
それぞれの値となる確率を求めよ。
(2) 10回コインを投げて、得点が14点以下になる確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
n回のうち表がk回（k=0，1，･･･，n）出たとすると、
得点は、
5k+1･(n－k)=4k+n 点
となり、それぞれの確率は
nCkpk(1－p)n-k
である。
(2)
n=10のとき、得点が14点以下になるのは、
4k+10≦14 ⇔ k=0，1
のときなので、求める確率は、
10C0p0(1－p)10+10C1p1(1－p)9
=(1－p)10+10p(1－p)9
=(9p+1)(1－p)9
これも標準的です。
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- 2013/09/08(日) 23:54:00|
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第4問
以下の問いに答えよ。
(1) 関数y=x－e-xの増減を調べよ。
(2) 実数$\small\sf{\alpha}$ で$\small\sf{\sf \alpha-e^{\alpha}=0}$ を満たすものがただひとつだけ存在する
ことを示せ。さらに、この$\small\sf{\alpha}$ は、$\small\sf{\sf 0\lt \alpha\lt }$ を満たすことを示せ。
(3) (2)の$\small\sf{\alpha}$ と正の整数nに対して、
$\small\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf n}\sf =\int_0^{\alpha}\left(xe^{-nx}+\alpha x^{n-1}\right)dx\end{align*}}$
とおく。Inを$\small\sf{\alpha}$ の多項式として表せ。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ n^2\rm I_{\sf n}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\sf f(x)=x-e^{-x}}$ とおく。
(1)
f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\sf f'(x)=1+e^{-x}\gt 0}$
となるので、f(x)は単調に増加する関数である。
(2)
(1)より、f(x)は単調に増加し、
f(0)=－1＜0
f(1)=1－e-1＞0 （∵ e＞1）
なので、中間値の定理より、
$\scriptsize\sf{\sf f(\alpha)=\alpha-e^{-\alpha}=0}$
となる$\scriptsize\sf{\alpha}$ が$\scriptsize\sf{\sf 0\lt \alpha\lt 1}$ の範囲にただ1つ存在する。
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\alpha-e^{-\alpha}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ e^{-\alpha}=\alpha}$ ････①
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf n}\sf =\int_0^{\alpha}\left(xe^{-nx}+\alpha\ x^{n-1}\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-\frac{1}{n}xe^{-nx}\right]_0^{\alpha}+\frac{1}{n}\int_0^{\alpha}e^{-nx}dx+\left[\frac{1}{n}\alpha\ x^n\right]_0^{\alpha}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{n}\alpha\ e^{-n\alpha}+\frac{1}{n}\left[-\frac{1}{n}e^{-nx}\right]_0^{\alpha}+\frac{1}{n}\alpha\cdot\alpha^n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{n}\alpha^{n+1}-\frac{1}{n^2}\left(\alpha^n-1\right)+\frac{1}{n}\alpha^{n+1}\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{n^2}\left(1-\alpha^n\right)\ }\end{align*}}$ ．
また、$\scriptsize\sf{\sf 0\lt \alpha\lt 1}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \alpha^n=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ n^2\rm I_{\sf n}\sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\ \left(1-\alpha^n\right)=\underline{\ 1\ }\end{align*}}$
丁寧に計算しましょう。
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- 2013/09/08(日) 23:57:00|
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