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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011三重大 工学部 数学1



第1問

  次のふたつの方程式を考える。
       x2+y2=z2  ・・・・①
       s2+t2=u2+1  ・・・・②

 (1) 実数a、bに対し実数a、bをa=a+b、b=2a+b+1で
    定める。(x,y,z)=(a,a+1,b)が①の解ならば(s,t,u)=
    (a,a+1,b)は②の解であることを示せ。
   また、逆に(s,t,u)=(a,a+1,b)が②の解ならば(x,y,z)=
    (a,a+1,b)は①の解であることを示せ。

 (2) 方程式①の自然数解(x,y,z)をピタゴラス数という。y=x+1を
    満たすピタゴラス数を3組求めよ。


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  1. 2013/09/01(日) 23:54:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .三重大 2011(工)
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2011三重大 工学部 数学2



第2問

  四面体OBCにおいて、OA=OC=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ 、OB=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt5\end{align*}}$ 、AB=3であり、
  ∠AOC=∠BOC=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ であるとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ 
  として以下の問いに答えよ。

 (1) 内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) 線分ABを1:2に内分する点をDとし、点Oから直線CDに引いた
    垂線と直線CDとの交点をHとするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて
    表せ。また $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OH}|\end{align*}}$ を求めよ。


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  1. 2013/09/01(日) 23:57:00|
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2011三重大 工学部 数学3



第3問

  関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{x}{1+x^2}\end{align*}}$
  のグラフをCとし、曲線Cをx軸方向に $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ だけ平行移動した曲線を
  C’とする。

 (1) f(x)の増減と極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\ f\ (x)\ \ ,\ \ \lim_{x\rightarrow -\infty}\ f\ (x)\end{align*}}$ を調べて、曲線Cの
    概形を描け。

 (2) 曲線Cと曲線C’の共有点のx座標を求めよ。

 (3)2曲線C、C’で囲まれた領域の面積を求めよ。




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  1. 2013/09/02(月) 23:54:00|
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2011三重大 工学部 数学4



第4問

  tを実数として2次正方行列
        $\small\sf{\begin{align*} \sf A_t=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf -t \\ \sf t & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
  を考える。

 (1) すべての実数tに対しAtが逆行列を持つことを示し、その逆行列
    At-1を求めよ。

 (2) 各実数tに対し座標平面上の点(xt,yt)を条件
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_t}{y_t}=A_t^{-1}\binom{1}{0}\end{align*}}$
    によって定める。tがすべての実数を動くとき(xt,yt)が描く図形を
    求めて図示せよ。



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  1. 2013/09/02(月) 23:57:00|
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