第１問
次のふたつの方程式を考える。
x2＋y2＝z2 ････①
s2＋t2＝u2＋1 ････②
(１) 実数a、bに対し実数a※、b※をa※＝a＋b、b※＝2a＋b＋1で
定める。(x，y，z)＝(a，a＋1，b)が①の解ならば(s，t，u)＝
(a※，a※＋1，b※)は②の解であることを示せ。
また、逆に(s，t，u)＝(a，a＋1，b)が②の解ならば(x，y，z)＝
(a※，a※＋1，b※)は①の解であることを示せ。
(２) 方程式①の自然数解(x，y，z)をピタゴラス数という。y＝x＋1を
満たすピタゴラス数を3組求めよ。
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【解答】
(１)
(x，y，z)＝(a，a＋1，b)が①の解なので、
a2＋(a＋1)2＝b2 ････③
このとき、(s，t，u)＝(a※，a※＋1，b※)に対して、
s2＋t2－u2－1
＝(a※)2＋(a※＋1)2－(b※)2－1
＝(a＋b)2＋(a＋b＋1)2－(2a＋b＋1)2－1
＝－2a2＋b2－2a－1
＝－2a2＋{a2＋(a＋1)2}－2a－1
＝0
となるので、s2＋t2＝u2＋1．
以上より、
(a，a＋1，b)が①の解ならば(a※，a※＋1，b※)は②の解である･･･(A)
逆に、(s，t，u)＝(a，a＋1，b)が②の解のとき、
a2＋(a＋1)2＝b2＋1 ････④
このとき、(x，y，z)＝(a※，a※＋1，b※)に対して、
x2＋y2－z2
＝(a※)2＋(a※＋1)2－(b※)2
＝(a＋b)2＋(a＋b＋1)2－(2a＋b＋1)2
＝－2a2＋b2－2a
＝－2a2＋{a2＋(a＋1)2-1}－2a
＝0
となるので、x2＋y2＝z2．
以上より、
(a，a＋1，b)が②の解ならば(a※，a※＋1，b※)は①の解である･･･(B)
(２)
まず、32＋42＝52がなりたつので、
a＝3、b＝4とすると、a※＝8、b※＝12．
(A)より(s，t，u)＝(8，9，12)は②の解となる。
次に、a＝8、b＝12とすると、a※＝20、b※＝29であり、
(B)より(x，y，z)＝(20，21，29)は①の解となる。
さらに、a＝20、b＝29とすると、a※＝49、b※＝70であり、
(A)より(s，t，u)＝(49，50，70)は②の解となる。
次に、a＝49、b＝70とすると、a※＝119、b※＝169であり、
(B)より(x，y，z)＝(119，120，169)は①の解となる。
以上より、
(x，y，z)＝(3，4，5)、(20，21，29)、(119，120，169)
はピタゴラス数である。
面倒ですが、うまく(１)を使いましょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2013/09/01(日) 23:54:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .三重大 2011（工）
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