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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011三重大 医学部 数学1



第1問

  次のふたつの方程式を考える。
       x2+y2=z2  ・・・・①
       s2+t2=u2+1  ・・・・②

 (1) 実数a、bに対し実数a、bをa=a+b、b=2a+b+1で
    定める。(x,y,z)=(a,a+1,b)が①の解ならば(s,t,u)=
    (a,a+1,b)は②の解であることを示せ。
   また、逆に(s,t,u)=(a,a+1,b)が②の解ならば(x,y,z)=
    (a,a+1,b)は①の解であることを示せ。

 (2) 方程式①の自然数解(x,y,z)をピタゴラス数という。y=x+1を
    満たすピタゴラス数を3組求めよ。


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  1. 2013/08/28(水) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .三重大 2011(医)
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2011三重大 医学部 数学2



第2問

  cを定数として数列{an}を次の条件によって定める。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=c+1\ \ ,\ \ a_{n+1}=\frac{n}{n+1}\ a_n+1\ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$

 (1) a2、a3、a4を求めよ。また一般項anの形を推定し、その推定が
    正しいことを証明せよ。

 (2) c=324のとき、anの値が自然数となるようなnをすべて求めよ。





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  1. 2013/08/29(木) 23:57:00|
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2011三重大 医学部 数学3



第3問

  tを実数として2次正方行列
        $\small\sf{\begin{align*} \sf A_t=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf -t \\ \sf t & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
  を考える。

 (1) すべての実数tに対しAtが逆行列を持つことを示し、その逆行列
    At-1を求めよ。

 (2) 各実数tに対し座標平面上の点(xt,yt)を条件
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_t}{y_t}=A_t^{-1}\binom{1}{0}\end{align*}}$
    によって定める。tがすべての実数を動くとき(xt,yt)が描く図形を
    求めて図示せよ。



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  1. 2013/08/30(金) 23:57:00|
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2011三重大 医学部 数学4



第4問

  関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=-\frac{1}{2x}+\tan x\ \ \ ,\ \ \ g\ (x)=x\cos (x^2)\end{align*}}$
  について、以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt\alpha\lt \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲にある$\small\sf{\alpha}$ で$\small\sf{\sf f(\alpha)=0}$ となるものがただひとつ存在
    することを示せ。

 (2) 閉区間 $\small\sf{\begin{align*} \sf \left[0\ ,\ \sqrt{\frac{\pi}{2}}\right]\end{align*}}$ における$\small\sf{\sf g(x)} の増減表をかけ。必要ならば(1)の
    $\small\sf{\alpha}$ を用いてよい。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt\beta\lt\sqrt{\frac{\pi}{2}}\end{align*}}$ の範囲にあり$\small\sf{\sf g'(\beta)=0}$ を満たす$\small\sf{\beta}$ を(1)の$\small\sf{\alpha}$ を用いて
    表せ。また$\small\sf{\sf g(x)=x\cos(x^2)}$ の逆関数をh(x)とする。このとき、
    $\small\sf{\sf y=g(x)}$ とy=h(x)のグラフの関係に注意して、定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{g\ (\beta)}h\ (x)\ dx\end{align*}}$
    を$\small\sf{\alpha}$ を用いて表せ。



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  1. 2013/08/31(土) 23:57:00|
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