第1問
aを実数とする。関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=ax+\cos x+\frac{1}{2}\sin2x\end{align*}}$
が極値をもたないように、aの値の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
ｆ(x)が極値をもたない
⇔ ｆ’(x)の符号が変化しない
⇔ すべてのxに対してｆ’(x)≧0 または すべてのxに対してｆ’(x)≦0 ･･･(※)
$\scriptsize\sf{\sf ｆ'(x)=a-\sin x+\cos 2x}$
$\scriptsize\sf{\sf =a+1-\sin x-2\sin^2x}$ （cosの倍角公式より）
任意の実数ｔに対して、$\scriptsize\sf{\sf ｆ'(ｔ+2\pi)=ｆ'(x)}$ となるので、
ｆ’(x)は周期$\scriptsize\sf{\sf 2\pi}$ の周期関数である。
よって、$\scriptsize\sf{\sf 0\leqq x\leqq 2\pi}$ の範囲で、ｆ’(x)の増減を調べればよい。
$\scriptsize\sf{\sf ｆ''(x)=-\cos x-4\sin x\cos x}$
$\scriptsize\sf{\sf =-\cos x(4\sin x+1)}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin x=-\frac{1}{4}\end{align*}}$
となるときのxの値を$\scriptsize\sf{\alpha\ ,\ \beta\ \ （0\lt\alpha\lt\beta\lt 2\pi)}$ とおくと、
ｆ"(x)=0となるのは、小さい順に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{\pi}{2}\ , \ \alpha\ ,\ \frac{3\pi}{2}\ ,\ \beta\end{align*}}$
のときである。
$\scriptsize\sf{\sf 0\leqq x\leqq 2\pi}$ の範囲で増減表を書く。
| x | 0 | ･･･ | $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ | ･･･ | $\scriptsize\sf{\alpha}$ | ･･･ | $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\pi}{2}\end{align*}}$ | ･･･ | $\scriptsize\sf{\beta}$ | ･･･ | 2$\scriptsize\sf{\pi}$ |
| ｆ”(x) | | － | 0 | + | 0 | － | 0 | + | 0 | － | |
| ｆ’(x) | a+1 | ↘ | a－2 | ↗ | $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a+\frac{9}{8}\end{align*}}$ | ↘ | a | ↗ | $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a+\frac{9}{8}\end{align*}}$ | ↘ | a+1 |
(※)を満たすためには、ｆ’(x)の最大値≦0 またはｆ’(x)の最小値≧0
であればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a+\frac{9}{8}\leqq 0\ \ , \ \ a-2\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \underline{a\leqq \frac{9}{8}\ \ , \ \ 2\leqq a\ \ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\sf ｆ'(x)=a-\sin x+\cos 2x=0 \ \ \Leftrightarrow\ \ a=\sin x-\cos 2x}$
と、aを分離して、関数$\scriptsize\sf{\sf \sin x-\cos 2x}$ の増減を考えても同じことです。
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- 2011/10/12(水) 23:57:00|
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第2問
pを3以上の素数、a、bを自然数とする。以下の問いに答えよ。ただし、
自然数m、nに対し、mnがpの倍数ならば、mまたはnはpの倍数であ
ることを用いてもよい。
(1) a+bとabがともにpの倍数であるとき、aとbはともにpの倍数である
ことを示せ。
(2) a+bとa2+b2がともにpの倍数であるとき、aとbはともにpの倍数で
あることを示せ。
(3) a2+b2とa3+b3がともにpの倍数であるとき、aとbはともにpの倍数
であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(1)
abがpの倍数なので、問題文より、aとbのうち少なくとも一方はpの倍数である。
ここで、aをpの倍数とすると、aは整数mを用いて、
a=pm
と表せる。
一方、仮定よりa+bもpの倍数なので、整数Mを用いて、
a+b=pM
と表せる。
よって、b=(a+b)－a
=p(M－m)
となるので、pも3の倍数である。
以上より題意は示された。
(2)
a2+b2=(a+b)2－2ab
⇔ 2ab=(a+b)2－(a2+b2) ････①
ここで、a+bとa2+b2はともにpの倍数なので、
整数M、Nを用いて、
a+b=pM、 a2+b2=pN
と表せる。
よって①より、
2ab=(pM)2－pN=p(pM2－N)
となるので、2abはpの倍数である。
さらに、pと2は互いに素なので、abはpの倍数となる。
以上より、a+b、abともにpの倍数になるので、(1)より
a、bともにpの倍数となる。
(3)
a3+b3=(a+b)(a2+b2－ab)がpの倍数なので、問題文より
a+bとa2+b2－abのうち少なくとも一方はpの倍数である。
(ⅰ) a+bがpの倍数のとき
a+bとa2+b2がともにpの倍数になるので、
(2)よりaとbはともにpの倍数である。
(ⅱ) a2+b2－abがpの倍数のとき
a2+b2とa2+b2－abはそれぞれ整数M、M’を用いて、
a2+b2=pM、a2+b2－ab=pM’と表せる。
これらより、ab=a2+b2－pM’
=pM－pM’
と変形できる。よって、
(a+b)2=a2+b2+2ab
=pM+2(pM－pM’)
=p(3M－2M’)
と表せるので、(a+b)2はpの倍数であり、
さらにpは素数なので、a+bもpの倍数になる。
よって、a+bとa2+b2がともにpの倍数になるので、
(2)よりaとbはともにpの倍数である。
以上より、a2+b2とa3+b3がともにpの倍数であるとき、
aとbはともにpの倍数である。
(3)だけちょっと煩雑ですかね。
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- 2011/10/13(木) 23:57:00|
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第3問
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{\log x}{x}\ \ ,\ \ g\ (x)=\frac{2\log x}{x^2}\ \ (x>0)\end{align*}}$
とする。以下の問いに答えよ。
ただし、自然数の底ｅについて、ｅ=2.718･･･であること、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}=\frac{\log x}{x}=0\end{align*}}$
であることを証明なしで用いてもよい。
(1) 2曲線y=ｆ(x)、y=ｇ(x)の共有点の座標をすべて求めよ。
(2) 区間x＞0において、関数y=ｆ(x)とy=ｇ(x)の増減、極値を調べ、
2曲線y=ｆ(x)、y=ｇ(x)のグラフの概形をかけ。ただし、グラフの
変曲点は求めなくてもよい。
(3) 区間1≦x≦ｅにおいて、2曲線y=ｆ(x)、y=ｇ(x)、および直線
x=ｅで囲まれた図形の面積を求めよ。
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- 2011/10/14(金) 23:57:00|
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第4問
Nを自然数とする。赤いカード2枚と白いカードN枚が入っている袋から
無作為にカードを1枚ずつ取り出して並べていくゲームをする。2枚目の
赤いカードが取り出された時点でゲームは終了する。赤いカードが最初
に取り出されるまでに取り出されたカードの枚数をXとし、ゲーム終了時
までに取り出された白いカードの総数をYとする。このとき、以下の問い
に答えよ。
(1) n=0，1，･･･，Nに対して、X=nとなる確率pnを求めよ。
(2) Xの期待値を求めよ。
(3) n=0，1，･･･，Nに対して、Y=nとなる確率qnを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(1)
n=0のときは、1枚目に赤のカードを取り出せばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_0=\frac{2}{N+2}\end{align*}}$
n≧1のとき、
1枚目からn枚続けて白を取り出し、n+1枚目に赤を取り出せばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\left(\frac{N}{N+2}\cdot\frac{N-1}{N+1}\cdot\frac{N-2}{N}\cdot\ \ldots \cdot\frac{N-(n-2)}{N+2-(n-2)}\cdot\frac{N-(n-1)}{N+2-(n-1)}\right)\end{align*}}$ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \times\frac{2}{N+2-n} \end{align*}}$
これを約分して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\underline{\frac{2(N+1-n)}{(N+2)(N+1)}\ \ }\end{align*}}$
これは、n=0のときも満たす。
(1)を間違えてしまうと、以下全滅です。
n+2枚目以降は、何でもいいので無視しましょう。
(2)
Xの期待値をE(X)とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E(X)=\sum_{n=0}^{N}\ n\ p_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{n=1}^{N}\ n\ p_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{n=1}^{N}\ \frac{2n(N+1-n)}{(N+2)(N+1)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{2}{(N+2)(N+1)}\sum_{n=1}^{N}\ n^2+\frac{2}{N+2}\sum_{n=1}^{N}\ n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{2}{(N+2)(N+1)}\times \frac{1}{6}N(N+1)(2N+1)+\frac{2}{N+2}\times\frac{1}{2}N(N+1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\frac{N}{3}\ \ }\end{align*}}$
(3)
Y=nとなるためには、
(ア) 初めのn+1枚は、白がn枚、赤が1枚
かつ
(イ)n+2枚目が赤
であればよい。
1枚目の赤は1～n+1枚目のいずれかであるから、
(ア)の確率=(n+1)pn
n+2枚目を取り出すときには、カードN+1－n枚のうちで赤は1枚だけなので、
(イ)の確率= $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{N+1-n}\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_n=(n+1)p_n\times\frac{1}{N+1-n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\frac{2(n+1)}{(N+2)(N+1)}\ \ }\end{align*}}$
いろいろな考え方があると思いますが、(1)の結論をそのまま使えることに気づくと、
楽なんじゃないでしょうか。
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- 2011/10/15(土) 23:57:00|
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第5問
座標平面において、点Pn(an，bn)を
$\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{a_1}{b_1}=\binom{1}{0}\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{a_n}{b_n}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf \cos\theta&\sf -\sin\theta \\ \sf \sin\theta & \sf \cos\theta\end{pmatrix}\binom{a_{n-1}}{b_{n-1}}\ \ \ (n\geqq2)\end{align*}}$
で定める。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) an、bnをnと$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \theta=\frac{\pi}{3}\end{align*}}$ のとき、自然数nに対して、線分PnPn+1の長さLnを求めよ。
(3) (2)で求めたLnに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\ L_n\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(1)
rn＞0として、
$\scriptsize\sf{\sf a_n=r_n\cos\theta_n\ \ ,\ \ b_n=r_n\sin\theta_n\ \ (n=1,2,3,\cdots)}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\sf a_1=1\cdot\cos 0=1\ ,\ \ b_n=1\cdot \sin 0=0}$ より、
$\scriptsize\sf{\sf r_1=1\ ,\ \ \theta_1=0}$
n≧2に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{a_n}{b_n}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf \cos\theta&\sf -\sin\theta \\ \sf \sin\theta & \sf \cos\theta\end{pmatrix}\binom{r_{n-1}\ \cos\theta_{n-1}}{r_{n-1}\ \sin \theta_{n-1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{r_{n-1}}{2}\binom{\ \cos\theta\ \cos \theta_{n-1}-\sin\theta\ \sin\theta_{n-1}}{\sin\theta\ \cos\theta_{n-1}+\cos\theta\ \sin\theta_{n-1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \ \binom{r_n\ \cos\theta}{r_n\ \sin\theta}=\frac{r_{n-1}}{2}\binom{\ \cos(\theta+\theta_{n-1})}{\sin(\theta+\theta_{n-1})}\end{align*}}$ ←加法定理より
なので、
$\scriptsize\sf{\theta_n=\theta_{n-1}+\theta}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_n=\frac{r_{n-1}}{2}.\end{align*}}$
数列$\scriptsize\sf{\left\{\theta_n\right\}}$ は初項0、公差$\scriptsize\sf{\theta}$ の等差数列をなすので、
$\scriptsize\sf{\sf \theta_n=(n－1)\theta}$
一方、数列{rn}は、初項1、公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ の等比数列をなすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\end{align*}}$
これらはn=1のときも成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=r_n\ \cos\theta_n=\underline{\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\ \cos(n-1)\ \theta\ \ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=\ r_n\ \sin \theta_n=\underline{\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\ \sin(n-1)\ \theta\ \ }\end{align*}}$
行列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf \cos\theta &\sf -\sin\theta\\ \sf \sin\theta&\sf \cos\theta\end{pmatrix} \end{align*}}$ が原点中心の回転移動を表すことを知っていれば、
点Pnは、点Pn-1を原点中心に$\scriptsize\sf{\theta}$ だけ回転移動し、さらに原点中心に1/2倍に
縮小移動させた点になります。････(※)
(2)
(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\left(\cos(n-1)\ \theta\ ,\ \sin(n-1)\ \theta\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_{n+1}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\left(\cos n\theta\ ,\ \sin n\theta\right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left| \overrightarrow{\sf OP_n}\right|^2=\left(\frac{1}{2}\right)^{2(n-1)} \begin{Bmatrix}\cos^2(\sf n-1)\ \theta + \sin^2(n-1)\ \theta\end{Bmatrix}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2(n-1)} \end{align*}}$
同様に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left| \overrightarrow{\sf OP_{n+1}}\right|^2= \left(\frac{1}{2}\right)^{2n}\end{align*}}$
また、cosの加法定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_n}\ \cdot\ \overrightarrow{\sf OP_{n+1}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n} \begin{Bmatrix}\cos(\sf n-1)\ \theta\ \cos n\theta+\sin(n-1)\ \theta\ \sin n\theta \end{Bmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{1}{2}\right)^{2n-1}\cos\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{1}{2}\right)^{2n}\ \ \ \left(\because\ \theta=\frac{\pi}{3}\right)\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_{\ n}^2=\left| \overrightarrow{\sf P_n P_{n+1}}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left| \overrightarrow{\sf OP_{n}}-\overrightarrow{\sf OP_{n+1}}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left| \overrightarrow{\sf OP_{n}}\right|^2-2\overrightarrow{\sf OP_n}\ \cdot\ \overrightarrow{\sf OP_{n+1}}+\left| \overrightarrow{\sf OP_{n+1}}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{1}{2}\right)^{2(n-1)}-2\left(\frac{1}{2}\right)^{2n}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3\left(\frac{1}{2}\right)^{2n}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_n=\underline{\sqrt3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\ \ }\end{align*}}$
上記の(※)が分かれば、△OPnPn+1に余弦定理を用いた方が楽でしょう。
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\ L_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \sum_{k=1}^{n}\ \sqrt3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt3}{2}\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1-\left( \frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \left(\frac{1}{2}\right)^n=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\ L_n=\underline{\sqrt3\ \ }\end{align*}}$
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- 2011/10/16(日) 23:57:00|
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