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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010神戸大 理系数学1




第1問

  aを実数とする。関数
     $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=ax+\cos x+\frac{1}{2}\sin2x\end{align*}}$
  が極値をもたないように、aの値の範囲を求めよ。



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  1. 2011/10/12(水) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2010
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2010神戸大 理系数学2



第2問

  pを3以上の素数、a、bを自然数とする。以下の問いに答えよ。ただし、
  自然数m、nに対し、mnがpの倍数ならば、mまたはnはpの倍数であ
  ることを用いてもよい。

 (1) a+bとabがともにpの倍数であるとき、aとbはともにpの倍数である
    ことを示せ。

 (2) a+bとa2+b2がともにpの倍数であるとき、aとbはともにpの倍数で
    あることを示せ。

 (3) a2+b2とa3+b3がともにpの倍数であるとき、aとbはともにpの倍数
    であることを示せ。



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  1. 2011/10/13(木) 23:57:00|
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2010神戸大 理系数学3



第3問

   $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{\log x}{x}\ \ ,\ \ g\ (x)=\frac{2\log x}{x^2}\ \ (x>0)\end{align*}}$
  とする。以下の問いに答えよ。
  ただし、自然数の底eについて、e=2.718・・・であること、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}=\frac{\log x}{x}=0\end{align*}}$
  であることを証明なしで用いてもよい。

 (1) 2曲線y=f(x)、y=g(x)の共有点の座標をすべて求めよ。

 (2) 区間x>0において、関数y=f(x)とy=g(x)の増減、極値を調べ、
    2曲線y=f(x)、y=g(x)のグラフの概形をかけ。ただし、グラフの
    変曲点は求めなくてもよい。

 (3) 区間1≦x≦eにおいて、2曲線y=f(x)、y=g(x)、および直線
    x=eで囲まれた図形の面積を求めよ。


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  1. 2011/10/14(金) 23:57:00|
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2010神戸大 理系数学4



第4問

  Nを自然数とする。赤いカード2枚と白いカードN枚が入っている袋から
  無作為にカードを1枚ずつ取り出して並べていくゲームをする。2枚目の
  赤いカードが取り出された時点でゲームは終了する。赤いカードが最初
  に取り出されるまでに取り出されたカードの枚数をXとし、ゲーム終了時
  までに取り出された白いカードの総数をYとする。このとき、以下の問い
  に答えよ。

 (1) n=0,1,・・・,Nに対して、X=nとなる確率pnを求めよ。

 (2) Xの期待値を求めよ。

 (3) n=0,1,・・・,Nに対して、Y=nとなる確率qnを求めよ。




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  1. 2011/10/15(土) 23:57:00|
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2010神戸大 理系数学5



第5問

  座標平面において、点Pn(an,bn)を
     $\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{a_1}{b_1}=\binom{1}{0}\end{align*}}$
     $\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{a_n}{b_n}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf \cos\theta&\sf -\sin\theta \\ \sf \sin\theta & \sf \cos\theta\end{pmatrix}\binom{a_{n-1}}{b_{n-1}}\ \ \ (n\geqq2)\end{align*}}$

  で定める。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) an、bnをnと$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \theta=\frac{\pi}{3}\end{align*}}$ のとき、自然数nに対して、線分PnPn+1の長さLnを求めよ。

 (3) (2)で求めたLnに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\ L_n\end{align*}}$ を求めよ。



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  1. 2011/10/16(日) 23:57:00|
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