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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012三重大 医学部 数学1



第1問

  実数xに対し、[x]をx以下の最大の整数とする。すなわち、[x]は
  整数であり、[x]≦x<[x]+1を満たすとする。たとえば、[2]=2、
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \left[\frac{5}{3}\right]\end{align*}}$ =1である。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) すべての実数aと全ての整数mに対し、[a+m]=[a]+mが
    成り立つことを示せ。

 (2) 数列{an}を
         $\small\sf{\begin{align*} \sf a_k=\left[\frac{2k}{3}\right]\ \ \ (k=1\ ,\ 2\ ,\ \ldots)\end{align*}}$
    と定める。自然数nに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^na_k\end{align*}}$ を求めよ。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2013/09/03(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .三重大 2012(医)
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2012三重大 医学部 数学2



第2問

  ∠AOBが直角、OA:OB=2:1である三角形OABがある。sは
  0<s<1とし、辺ABをs:(1-s)に内分する点をP、OPをs:(1-s)
  に内分する点をQとする。また、線分AQの延長とOBの交点をRとする。
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BQ}\end{align*}}$ が直交するとき、以下の問いに答えよ。

 (1) sの値を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AR}=t\ \overrightarrow{\sf AQ}\end{align*}}$ とおくとき、tの値を求めよ。

 (3) 三角形OQRの面積と三角形BPQの面積の比を、最も簡単な整数の
    比で表せ。




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  1. 2013/09/04(水) 23:57:00|
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2012三重大 医学部 数学3



第3問

  表の出る確率がp(0<p<1)のコインを投げ、表が出れば5点を得、
  裏が出れば1点を得るものとする。コインを投げ続けるとき以下の問
  いに答えよ。

 (1) n回投げたときの得点の取ちうる値をすべて求めよ。また、得点が
    それぞれの値となる確率を求めよ。

 (2) 10回コインを投げて、得点が14点以下になる確率を求めよ。




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  1. 2013/09/05(木) 23:57:00|
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2012三重大 医学部 数学4



第4問

  以下の問いに答えよ。

 (1) 関数y=|x|-e-xの増減を調べよ。

 (2) 実数$\small\sf{\alpha}$ で|$\small\sf{\alpha}$ |-e-$\small\sf{\alpha}$ =0を満たすものがただひとつだけ存在する
    ことを示せ。さらに、この$\small\sf{\alpha}$ は、0<$\small\sf{\alpha}$ <1を満たすことを示せ。

 (3) (2)の$\small\sf{\alpha}$ と正の整数nに対して、
        $\small\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf n}\sf =\int_0^{\alpha}\left(xe^{-nx}+\alpha x^{n-1}\right)dx\end{align*}}$
    とおく。Inを$\small\sf{\alpha}$ の多項式として表せ。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ n^2\rm I_{\sf n}\end{align*}}$ を求めよ。



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  1. 2013/09/06(金) 23:57:00|
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