第1問
実数xに対し、[x]をx以下の最大の整数とする。すなわち、[x]は
整数であり、[x]≦x＜[x]+1を満たすとする。たとえば、[2]=2、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left[\frac{5}{3}\right]\end{align*}}$ =1である。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) すべての実数aと全ての整数mに対し、[a+m]=[a]+mが
成り立つことを示せ。
(2) 数列{an}を
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_k=\left[\frac{2k}{3}\right]\ \ \ (k=1\ ,\ 2\ ,\ \ldots)\end{align*}}$
と定める。自然数nに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^na_k\end{align*}}$ を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
任意の実数xに対して
[x]≦x＜[x]+1 ⇔ x－1＜[x]≦x
と表せ、このような[x]はただ1つ存在する。
よって、
a－1＜[a]≦a ⇔ a+m－1＜[a]+m≦a+m
であり、
a+m－1＜[a+m]≦a+m
でもあるので、
[a+m]=[a]+m
が成り立つ。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=\left[\frac{2}{3}\right]=0\ \ ,\ \ a_2=\left[\frac{4}{3}\right]=1\ \ ,\ \ a_3=\left[\frac{6}{3}\right]=2\end{align*}}$
であり、自然数mに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{3m-2}=\left[\frac{2}{3}(3m-2)\right]\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{2}{3}+2(m-1)\right]\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{2}{3}\right]+2(m-1)\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2m-2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{3m-1}=\left[\frac{2}{3}(3m-1)\right]\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{4}{3}+2(m-1)\right]\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{4}{3}\right]+2(m-1)\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2m-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{3m}=\left[\frac{2}{3}\cdot 3m)\right]\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[2m\right]\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2m\end{align*}}$
求める和をSnとし、mを整数とすると、
(ⅰ) n=3m のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=1}^m\left(a_{3k-2}+a_{3k-1}+a_{3k}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^m\left(6k-3\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3m(m+1)-3m\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3m^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3\left(\frac{n}{3}\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{3}n^2\ }\end{align*}}$
(ⅱ) n=3m－1 のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=1}^m\left(a_{3k-2}+a_{3k-1}+a_{3k}\right)-2m\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3m^2-2m\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3\left(\frac{n+1}{3}\right)^2-2\cdot\frac{n+1}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{3}\left(n^2-1\right)\ }\end{align*}}$
(ⅲ) n=3m－2 のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=1}^m\left(a_{3k-2}+a_{3k-1}+a_{3k}\right)-2m-(2m-1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3m^2-4m+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3\left(\frac{n+2}{3}\right)^2-4\cdot\frac{n+2}{3}+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{3}\left(n^2-1\right)\ }\end{align*}}$
(2)は場合分けが必要です。
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- 2013/09/03(火) 23:57:00|
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第2問
∠AOBが直角、OA：OB=2：1である三角形OABがある。sは
0＜s＜1とし、辺ABをs：(1－s)に内分する点をP、OPをs：(1－s)
に内分する点をQとする。また、線分AQの延長とOBの交点をRとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BQ}\end{align*}}$ が直交するとき、以下の問いに答えよ。
(1) sの値を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AR}=t\ \overrightarrow{\sf AQ}\end{align*}}$ とおくとき、tの値を求めよ。
(3) 三角形OQRの面積と三角形BPQの面積の比を、最も簡単な整数の
比で表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=(1-s)\overrightarrow{\sf a}+s\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BQ}=s\overrightarrow{\sf OP}-\overrightarrow{\sf b}=s(1-s)\overrightarrow{\sf a}-(1-s^2)\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ ．
となり、OP⊥BQなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf BQ}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left\{(1-s)\overrightarrow{\sf a}+s\overrightarrow{\sf b}\right\}\cdot\left\{s(1-s)\overrightarrow{\sf a}-(1-s^2)\overrightarrow{\sf b}\right\}=0\end{align*}}$
この式を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|:|\overrightarrow{\sf b}|=2:1\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=0\end{align*}}$
を用いて展開すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s(1-s)^2|\overrightarrow{\sf a}|^2-s(1-s^2)|\overrightarrow{\sf b}|^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4s(1-s)^2|\overrightarrow{\sf b}|^2-s(1-s)(1+s)|\overrightarrow{\sf b}|^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4(1-s)-(1+s)=0\ \ \ \left(\because |\overrightarrow{\sf b}|\ne 0\ ,\ 0\lt s<1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ s=\frac{3}{5}\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\frac{1}{5}\left(2\overrightarrow{\sf a}+3\overrightarrow{\sf b}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=\frac{1}{25}\left(6\overrightarrow{\sf a}+9\overrightarrow{\sf b}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AQ}=\overrightarrow{\sf OQ}-\overrightarrow{\sf OA}=\frac{1}{25}\left(-19\overrightarrow{\sf a}+9\overrightarrow{\sf b}\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AR}=t\overrightarrow{\sf AQ}=\frac{t}{25}\left(-19\overrightarrow{\sf a}+9\overrightarrow{\sf b}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OR}=\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf AR}=\left(1-\frac{19t }{25}\right)\overrightarrow{\sf a}+\frac{9t}{25}\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ ．
また、RはOB上にあるので、実数kを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}=k\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
と表せ、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ は一次独立なので、係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{19t}{25}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ t=\frac{25}{19}\ }\end{align*}}$
となる。
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{9t}{25}=\frac{9}{19}\end{align*}}$
となるので、OR：RB=9：10．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OQR=\frac{9}{19}\triangle OBQ=\frac{9}{19}\cdot\frac{3}{5}\triangle OBP\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle BPQ=\frac{2}{5}\triangle OBP\end{align*}}$ ．
以上より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OQR : \triangle BPQ=\frac{9}{19}\cdot\frac{3}{5} : \frac{2}{5}=\underline{\ 27:38\ }\end{align*}}$
標準的な問題ですね。
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- 2013/09/04(水) 23:57:00|
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第3問
表の出る確率がp（0＜p＜1）のコインを投げ、表が出れば5点を得、
裏が出れば1点を得るものとする。コインを投げ続けるとき以下の問
いに答えよ。
(1) n回投げたときの得点の取ちうる値をすべて求めよ。また、得点が
それぞれの値となる確率を求めよ。
(2) 10回コインを投げて、得点が14点以下になる確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
n回のうち表がk回（k=0，1，･･･，n）出たとすると、
得点は、
5k+1･(n－k)=4k+n 点
となり、それぞれの確率は
nCkpk(1－p)n-k
である。
(2)
n=10のとき、得点が14点以下になるのは、
4k+10≦14 ⇔ k=0，1
のときなので、求める確率は、
10C0p0(1－p)10+10C1p1(1－p)9
=(1－p)10+10p(1－p)9
=(9p+1)(1－p)9
これも標準的です。
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- 2013/09/05(木) 23:57:00|
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第4問
以下の問いに答えよ。
(1) 関数y=|x|－e-xの増減を調べよ。
(2) 実数$\small\sf{\alpha}$ で|$\small\sf{\alpha}$ |－e-$\small\sf{\alpha}$ =0を満たすものがただひとつだけ存在する
ことを示せ。さらに、この$\small\sf{\alpha}$ は、0＜$\small\sf{\alpha}$ ＜1を満たすことを示せ。
(3) (2)の$\small\sf{\alpha}$ と正の整数nに対して、
$\small\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf n}\sf =\int_0^{\alpha}\left(xe^{-nx}+\alpha x^{n-1}\right)dx\end{align*}}$
とおく。Inを$\small\sf{\alpha}$ の多項式として表せ。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ n^2\rm I_{\sf n}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
f(x)=|x|－e－x とおく。
(1)
(ⅰ)x＞0の範囲において
f(x)=x－e－x より
f’(x)=1+e－x＞0
(ⅱ)x＜0の範囲において
f(x)=－x－e－x より
f’(x)=－1+e－x＞0
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}\ f\ (x)=\lim_{x\rightarrow -0}\ f\ (x)=f\ (0)=-1\end{align*}}$
となるので、f(x)はx=0において連続である。
以上より、f(x)は単調に増加する関数である。
(2)
(1)より、f(x)は単調に増加し、
$\scriptsize\sf{\sf f(0)=-1\lt 0}$
$\scriptsize\sf{\sf f(1)=1-e^{-1}\gt 0\ \ (\because\ e\gt 1)}$
なので、中間値の定理より、
$\scriptsize\sf{\sf f(\alpha)=|\alpha|-e^{-\alpha}=0}$
となる$\scriptsize\sf{\alpha}$ が$\scriptsize\sf{\sf 0\lt \alpha\lt 1}$ の範囲にただ1つ存在する。
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\sf |\alpha|-e^{-\alpha}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ e^{-\alpha}=\alpha\ (\gt 0}$ ････①
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf n}\sf =\int_0^{\alpha}\left(xe^{-nx}+\alpha\ x^{n-1}\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-\frac{1}{n}xe^{-nx}\right]_0^{\alpha}+\frac{1}{n}\int_0^{\alpha}e^{-nx}dx+\left[\frac{1}{n}\alpha\ x^n\right]_0^{\alpha}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{n}\alpha\ e^{-n\alpha}+\frac{1}{n}\left[-\frac{1}{n}e^{-nx}\right]_0^{\alpha}+\frac{1}{n}\alpha\cdot\alpha^n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{n}\alpha^{n+1}-\frac{1}{n^2}\left(\alpha^n-1\right)+\frac{1}{n}\alpha^{n+1}\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{n^2}\left(1-\alpha^n\right)\ }\end{align*}}$ ．
また、$\scriptsize\sf{\sf 0 \lt \alpha \lt 1}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \alpha^n=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ n^2\rm I_{\sf n}\sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\ \left(1-\alpha^n\right)=\underline{\ 1\ }\end{align*}}$
(1)は、x=0での連続性も示しておく必要があります。
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