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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013奈良県立医科大 後期数学1



第1問

  実数全体で定義された微分可能な関数f(x)で、関係式
        $\small\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=\cos x+\int_{-\pi}^{\pi}t\ f\ (t)\ dt\end{align*}}$
  を満たし、かつf(0)=0となるものを求めよ。
  (ただし、f’(x)はf(x)の導関数を表す。)




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2013奈良県立医科大 後期数学2



第2問

  a、bを整数とし、2行2列の行列Aを
        $\small\sf{\begin{align*}\sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf 1 \\ \sf -b & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$
  とおく。xy平面上のベクトルの列
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \left\{\overrightarrow{\sf v_n}=\binom{x_n}{y_n}\right\}_{n=1,2,\ldots}\end{align*}}$
  を次の漸化式により定義する。
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf v_{1}}=\binom{1}{-1}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf v_{n+1}}=A\overrightarrow{\sf v_{n}}+\overrightarrow{\sf v_{1}}\ \ \ (n\geq 1)\end{align*}}$
  さらに1より大きいある整数kに対して
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf v_{k}}=\binom{0}{0}\end{align*}}$
  が成り立つと仮定する。

 (1) b=1、または-1であることを証明せよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ |x_n|=+\infty\end{align*}}$ となることは起こりえないことを証明せよ。

 (3) もしb=-1ならばa=0であることを証明せよ。

 (4) |a|<2を証明せよ。




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2013奈良県立医科大 後期数学3



第3問

  pを0でない実数とする。xy平面において、曲線y=x3+px+pの
  接線で点(1,1)を通るものが、ちょうど2本存在すると仮定する。
  このとき、実数pの値、および2本の接線の方程式を求めよ。




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2013奈良県立医科大 後期数学4



第4問

 (1) 1より大きい正整数pが素数ならば、p-1以下の任意の正整数i
    に対して、二項係数pCiはpの倍数であることを証明せよ。

 (2) 1より大きい正整数pが素数ならば、任意の正整数nに対して、
    npCp-nはpの倍数であることを証明せよ。

 (3) 1より大きい相異なる正整数p、qがともに素数とし、kを正整数とする。
    このとき、整数kpqCq-pがqの倍数であり、かつ整数npqCp-qが
    pの倍数であるための必要十分条件は、整数k-1がpqの倍数である
    ことを証明せよ。

 (4) 1より大きい正整数pが素数ならば、p以上の任意の正整数mに対して、
    整数mCp-[mp-1]はpの倍数であることを証明せよ。
   (ただし、実数xに対してxを越えない最大の整数を[x]で表す。)



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