第１問
実数全体で定義された微分可能な関数f(x)で、関係式
$\small\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=\cos x+\int_{-\pi}^{\pi}t\ f\ (t)\ dt\end{align*}}$
を満たし、かつf(0)＝0となるものを求めよ。
（ただし、f’(x)はf(x)の導関数を表す。）
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
実数kを
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k=\int_{-\pi}^{\pi}t\ f\ (t)\ dt\end{align*}}$ ････①
とおくと、与式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=\cos x+k\end{align*}}$
となり、両辺をxで積分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=\sin x+kx+C\end{align*}}$ （C：積分定数）････②
ここでf(0)＝より、C＝0となるので、
②を①に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k=\int_{-\pi}^{\pi}t\left(\sin t+kt\right)dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int_{-\pi}^{\pi}\left(t\sin t+kt^2\right)dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\bigg[-t\cos t\bigg]_{-\pi}^{\pi}+\int_{-\pi}^{\pi}\cos tdt+\bigg[\frac{k}{3}t^3\bigg]_{-\pi}^{\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\pi+\bigg[\sin t\bigg]_{-\pi}^{\pi}+\frac{2k}{3}\pi^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\pi+\frac{2k}{3}\pi^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(1-\frac{2}{3}\pi^3\right)k=2\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k=\frac{6\pi}{3-2\pi^3}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=\underline{\ \sin x+\frac{6\pi}{3-2\pi^3}x\ }\end{align*}}$
となる。
①と置くのがすべてです。
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第３問
pを0でない実数とする。xy平面において、曲線y＝x3＋px＋pの
接線で点(1，1)を通るものが、ちょうど2本存在すると仮定する。
このとき、実数pの値、および2本の接線の方程式を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
曲線C：y＝x3＋px＋p の導関数は、y’＝3x2＋pとなるので、
この曲線上の点(t，t3+pt＋p)における接線の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y-(t^3+pt+p)=(3t^2+p)(x-t)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=(3t^2+p)x-2t^2+p\end{align*}}$ ･･････①
となり、これが点(1，1)を通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1=3t^2+p-2t^2+p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t^3-\frac{3}{2}t^2+\frac{1}{2}=p\end{align*}}$ ･･････②
②の左辺をf(t)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(t)=3t^2-3t=3t(t-1)\end{align*}}$
となるので、f(t)の増減は次のようになる。
曲線Cの接線で(1，1)を通るものが2本
⇔ tについての方程式②が異なる2つの実数解をもつ
⇔ 曲線y＝f(t)と直線y＝pが共有点をただ2つもつ
と考えることができ、題意よりp≠0なので、pの値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ p=\frac{1}{2}\ }\end{align*}}$
となる。
このとき②は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t^3-\frac{3}{2}t^2=t^2\left(t-\frac{3}{2}\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ t=0\ ,\ \frac{3}{2}\end{align*}}$
となり、これと①より、求める接線の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\ \ ,\ \ y=\frac{29}{4}x-\frac{25}{4}\ }\end{align*}}$
これも問１と同様、典型的な問題ですね。外しちゃダメです。
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第４問
(１) 1より大きい正整数pが素数ならば、p－1以下の任意の正整数i
に対して、二項係数pCiはpの倍数であることを証明せよ。
(２) 1より大きい正整数pが素数ならば、任意の正整数nに対して、
npCp－nはpの倍数であることを証明せよ。
(３) 1より大きい相異なる正整数p、qがともに素数とし、kを正整数とする。
このとき、整数kpqCq－pがqの倍数であり、かつ整数npqCp－qが
pの倍数であるための必要十分条件は、整数k－1がpqの倍数である
ことを証明せよ。
(４) 1より大きい正整数pが素数ならば、p以上の任意の正整数mに対して、
整数mCp－[mp-1]はpの倍数であることを証明せよ。
（ただし、実数xに対してxを越えない最大の整数を[x]で表す。）
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf _pC_i=\frac{p!}{i!\ (p-i)!}\ \ \Leftrightarrow\ \ _pC_i\cdot i!\ (p-i)!=p!\end{align*}}$
まず、右辺はpの倍数なので左辺もpの倍数である。
pは素数なので、pより小さい自然数1、2、･･･、p－1は
すべてpと互いに素である。
よって、左辺にある i！、(p－i)！ともにpの倍数にならないので、
pCiはpの倍数である。
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf _{np}C_p-n=\frac{(np)!}{p!\ (np-p)!}-n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{(np)(np-1)\ldots (np-p+1)}{p!}-n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{n(np-1)\ldots (np-p+1)}{(p-1)!}-n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(_{np}C_p-n\right)(p-1)!=n\left\{\underline{ (np-1)\ldots (np-p+1)}-(p-1)!\right\}\end{align*}}$ ･･････①
ここで、A＝np－pとおくと、①の下線部は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (np-1)(np-2)\ldots (np-p+2)(np-p+1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =(A+p-1)(A+p-2)\ldots(A+2)(A+1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =AF_A+(p-1)(p-2)\ldots 2\cdot 1\end{align*}}$ ←FAは整式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =AF_A+(p-1)!\end{align*}}$
このとき、①の右辺は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n\left\{AF_A+(p-1)!-(p-1)!\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =nAF_A\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =n(n-1)pF_A\end{align*}}$
になるので、これはpの倍数である。
一方、(１)と同様、①の左辺にある(p－1)！はpの倍数では
ないので、npCp－nはpの倍数である。
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf _{kpq}C_q-p=\frac{(kpq)!}{q!\ (kpq-q)!}-p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{(kpq)(kpq-1)\ldots (kpq-q+1)}{q!}-p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{kp(npq-1)\ldots (kpq-p+1)}{(q-1)!}-p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(_{kpq}C_q-p\right)(q-1)!=kp\underline{ (kpq-1)\ldots (kpq-q+1)}-p(q-1)!\end{align*}}$
･･････②
ここで、B＝kpq－qとおくと、②の下線部は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (kpq-1)(kpq-2)\ldots (kpq-p+2)(kpq-p+1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =(B+q-1)(B+q-2)\ldots(B+2)(B+1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =BG_B+(q-1)(q-2)\ldots 2\cdot 1\end{align*}}$ ←GBは整式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =BG_B+(q-1)!\end{align*}}$
となるので、②の右辺は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf kp\left\{BG_B+(q-1)!-\right\}-p(q-1)!\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =kpBG_B+(kp-p)(q-1)!\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =k(kp-1)qpG_B+(k-1)p(q-1)!\end{align*}}$ ．
これより、②は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (k-1)p(q-1)!=k(kp-1)qpG_B+\left(_{kpq}C_q-p\right)(q-1)!\end{align*}}$
･･････②’
と変形できる。
②’の右辺の第1項はqの倍数なので、kpqCq－pがqの倍数
であるとき、左辺はqの倍数になる。
このとき、p、qは素数なので、p、(q－1)！はともにqの倍数
ではないので、k－1がqの倍数である。
同様に考えると、kpqCq－pがpの倍数であるとき、
k－1はpの倍数になるので、k－1はpqの倍数である。
(４)
mは、自然数nと0≦r≦p－1である整数rを用いて、
m＝pn＋r
と表すことができるので、[mp-1]＝nである。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf _mC_p-[mp^{-1}]\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =_{pn+r}C_p-n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{(np+r)!}{p!(np-p+r)!}-n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{(np+r)\ldots(np+2)(np+1)\cdot (np)!}{p!(np-p+r)\ldots (np-p+2)(np-p+1)\cdot(np-p)!}-n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{(np)!}{p!(np-p)!}\cdot\frac{(np+r)\ldots(np+2)(np+1)}{(np-p+r)\ldots (np-p+2)(np-p+1)}-n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =_{np}C_p\cdot\frac{(np+r)\ldots(np+2)(np+1)}{(np-p+r)\ldots (np-p+2)(np-p+1)}-n\end{align*}}$ ･･････③
ここで、(２)よりnpCp－nはpの倍数なので、
整数Nを用いて
npCp－n＝pM ⇔ －n＝pM－npCp
と表すことができる。
また、
ak＝np－p＋k （k＝1，2，･･･，r）
とおくと、③は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf _{np}C_p\cdot\frac{(p+a_r)\ldots(p+a_2)(p+a_1)}{a_r\cdot \ldots\cdot a_2\cdot a_1}+pM-_{np}C_p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =pM+_{np}C_p\cdot\frac{(p+a_r)\ldots(p+a_2)(p+a_1)-a_r\cdot \ldots\cdot a_2\cdot a_1}{a_r\cdot \ldots\cdot a_2\cdot a_1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =pM+_{np}C_p\cdot\frac{pH_p+a_r\cdot \ldots\cdot a_2\cdot a_1-a_r\cdot \ldots\cdot a_2\cdot a_1}{a_r\cdot \ldots\cdot a_2\cdot a_1}\end{align*}}$ ←Hpは整式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =pM+_{np}C_p\cdot\frac{pH_p}{a_r\cdot \ldots\cdot a_2\cdot a_1}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf mC_p-[mp^{-1}]=pM+_{np}C_p\cdot\frac{pH_p}{a_r\cdot \ldots\cdot a_2\cdot a_1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(mC_p-[mp^{-1}]\right)\cdot a_r\cdot \ldots\cdot a_2\cdot a_1=p\left\{Ma_r\cdot \ldots\cdot a_2\cdot a_1+{np}C_pH_p\right\}\end{align*}}$
この式において、左辺はpの倍数であり、pが素数であることと
0≦r≦p－1より、a1、･･･、apはすべてpの倍数ではないので、
mCp－[mp-1]はpの倍数である。
これは難しいでしょうね。
以下のように合同式を使えばキレイに書けますが。
例えば(２)は、mod pとすると、①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left(_{np}C_p-n\right)(p-1)!\equiv n\left\{(np-1)\ldots (np-p+1)-(p-1)!\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\equiv n\left\{(p-1)(p-2)\ldots 2\cdot 1-(p-1)!\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \equiv n\left\{(p-1)!-(p-1)!\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \equiv 0\end{align*}}$
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