第２問
a＞0とする。関数f(x)＝x3＋ax2－1の極値の差が4となるとき、
aの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
f(x)の導関数は、
f’(x)＝3x2＋2ax＝x(3x＋2a)
a＞0より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{2a}{3}\lt0\end{align*}}$ なので、f(x)の増減は次のようになる。
極値の差が4なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(-\frac{2a}{3}\right)-f\ (0)=\left(\frac{4}{27}a^3-1\right)-(-1)=4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^3=27\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=3\ }\end{align*}}$
サクサクいきましょう！！
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第４問
楕円
$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{x^2}{4}+y^2=1\end{align*}}$
の第1象限の点Pに接線を引き、x軸との交点をA、y軸との交点を
Bとする。Pを第1象限で楕円状を動かしたときの線分ABの長さの
最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf C:\frac{x^2}{4}+y^2=1\ \ \ (x\gt 0\ ,\ y\gt 0)\end{align*}}$
とおくと、C上の点Pの座標は、媒介変数$\scriptsize\sf{\theta}$ を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\left(2\cos\theta\ ,\ \sin\theta\right)\ \ \ \ \left(0\lt \theta\lt\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
と表すことができる。
また、PにおけるCの接線Lの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L:\frac{(\cos\theta)x}{2}+(\sin\theta)y=1\end{align*}}$
であり、両軸との交点A、Bの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A\left(\frac{2}{\cos\theta}\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ B\left(0\ ,\ \frac{1}{\sin\theta}\right)\end{align*}}$
となる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AB^2=\left(\frac{2}{\cos\theta}\right)^2+\left(\frac{1}{\sin\theta}\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =4\left(1+\tan^2\theta\right)+\left(1+\frac{1}{\tan^2\theta}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =4\tan^2\theta+\frac{1}{\tan^2\theta}+5\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \geq2\sqrt{4\tan^2\theta\cdot\frac{1}{\tan^2\theta}}+5\end{align*}}$ $\scriptsize\sf{\leftarrow\ \tan^2\theta\gt 0}$ より相加･相乗平均
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =9\end{align*}}$
となるので、ABの最小値は3となる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}\end{align*}}$ という公式は、よく使うので
知らない人はいないと思いますが、ついでに
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1+\frac{1}{\tan^2\theta}=\frac{1}{\sin^2\theta}\end{align*}}$ も覚えておきましょう！
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第５問
次の不等式を解け。
$\small\sf{\begin{align*}\sf \log_2\left(4-x\right)+\log_4\left(x+2\right)\leq\frac{5}{2}\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
真数条件
4－x＞0 かつ x＋2＞0 ⇔ －2＜x＜4
底の変換公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log_2(4-x)+\frac{\log_2(x+2)}{2}\leqq\frac{5}{2}\end{align*}}$
となり、
2log2(4－x)＋log2(x＋2)≦5
⇔ log2(4－x)2(x＋2)≦log225
底＞1なので、
(4－x)2(x＋2)≦32
⇔ x3－6x2＝x2(x－6)≦0
⇔ x≦6
これと真数条件より、求めるxの範囲は、
－2＜x＜4
となる。
解が真数条件と一致してしまって、少し不安ですが（笑）
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第６問
△ABCの内心をIとし、AIの延長が外接円と交わる点をDとする。
ABの長さが3、ACの長さが4、∠BACの大きさは60°である。
このとき、DIの長さを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
Iは△ABCの内心なので、
∠DAC＝∠DAB＝30°
∠ICA＝∠ICB
△ABCにおいて余弦定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf BC=\sqrt{3^3+4^3-2\cdot 3\cdot 4\cdot\cos 60^{\circ}}=\sqrt{13}\end{align*}}$
また、円周角の定理より
∠DBC＝∠DAC＝30°
∠DCB＝∠DAB＝30°
∠BDC＝120°
となるので、△BCDにおいて正弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{CD}{\sin 30^{\circ}}=\frac{\sqrt{13}}{\sin 120^{\circ}}\ \ \Leftrightarrow\ \ CD=\frac{\sqrt{39}}{3}\end{align*}}$
ここで、
∠DIC＝∠IAC＋∠ICA＝30°＋∠ICA
∠DCI＝∠DCB＋∠ICB＝30°＋∠ICB
より、∠DIC＝∠DCIとなるので、△DICは二等辺三角形である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf DI=CD=\underline{\ \frac{\sqrt{39}}{3}\ }\end{align*}}$
こういう問題が一番イヤですね＾＾；；
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第７問
次の等式がxについての恒等式となるようなa、bを求めよ。
$\small\sf{\begin{align*}\sf \cos x+\cos\left(a+x\right)+\cos\left(b+x\right)=0\end{align*}}$
ただし、$\small\sf{0\leqq a\leqq\pi\leqq b\leqq 2\pi}$ とする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
加法定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos x+\left(\cos a\cos x-\sin a\sin x\right)+\left(\cos b\cos x-\sin b\sin x\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(1+\cos a+\cos b\right)\cos x+\left(\sin a+\sin b\right)\sin x=0\end{align*}}$
cosx≠0のとき、両辺をcosxで割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1+\cos a+\cos b\right)+\left(\sin a+\sin b\right)\tan x=0\end{align*}}$
となり、tanxは任意の値をとりうるので、この式が恒等的に
成り立つためには、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1+\cos a+\cos b=\sin a+\sin b=0\end{align*}}$
であればよい。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin^2b+\cos^2b=\left(-\sin a\right)^2+\left(-1-\cos a\right)^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin^2a+\cos^2a+2\cos a+1=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos a=-\frac{1}{2}\ \ \ \ (\because \sin^2a+\cos^2a=1)\end{align*}}$
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos b=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\end{align*}}$
となり、$\scriptsize\sf{0\leqq a\leqq\pi\leqq b\leqq 2\pi}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ a=\frac{2}{3}\pi\ \ ,\ \ b=\frac{4}{3}\pi\ }\end{align*}}$
これは、cosx＝0のときも条件を満たす。
まぁ、答えは簡単に予想できるんですけどね。
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第８問
aは実数とする。xy平面上の円x2－2ax＋y2－4y＋a2－1＝0が
あり、直線3x＋ay＝0と交わり、その交点の間の距離が2である。
このときaの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
C：x2－2ax＋y2－4y＋a2－1＝0
L：3x＋ay＝0
とし、Cの中心をP、CとLの2交点をQ、Rとする。
さらに、QRの中点をMとすると、題意より
QM＝RM＝1．
一方、Cの式は
(x－a)2＋(y－2)2＝5
と変形できるので、
P(a，2) PQ＝PR＝$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt5\end{align*}}$
また、点と直線の距離の公式を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf PM=\frac{\left|3a+2a\right|}{\sqrt{3^2+a^2}}=\frac{\left|5a\right|}{\sqrt{9+a^2}}\end{align*}}$
PM⊥QRとなるので、△PQMで三平方の定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1^2+\left(\frac{\left|5a\right|}{\sqrt{9+a^2}}\right)^2=\left(\sqrt5\right)^2\end{align*}}$
となり、これを解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=\underline{\ \pm\frac{6}{\sqrt{21}}\ }\end{align*}}$
を得る。
弦の長さはもちろん三平方で！
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第９問
大、小の2つのサイコロを同時に投げ、大のサイコロの出た目をa、
小のサイコロの出た目をbとする。このとき、a＋b＜abとなる確率
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(a，b)の組のうち、条件a＋b＜abを満たすのは、
下表の24組なので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{24}{6^2}=\underline{\ \frac{2}{3}\ }\end{align*}}$
サイコロ2個の問題は、表に整理するのが鉄則ですね。
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第10問
曲線
$\small\sf{\begin{align*}\sf y=\log_e\left(x+1\right)-1\end{align*}}$
とx軸およびy軸で囲まれた図形を、y軸のまわりに1回転してできる
立体の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
与えられた曲線のグラフは曲線y＝exのグラフを
x軸方向に－1、y軸方向に－1だけ平行移動した
ものなので、両軸との位置関係は右図のようになる。
また、与式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\log_e\left(x+1\right)-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x+1=e^{y+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=e^{y+1}-1\end{align*}}$
と変形できるので、求める体積をVとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V=\pi\int_{-1}^0x^2\ dy\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\pi\int_{-1}^0\left(e^{y+1}-1\right)^2dy\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\pi\int_{-1}^0\left\{e^{2(y+1)}-2e^{y+1}+1\right\}dy\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\pi\left[\frac{1}{2}e^{2(y+1)}-2e^{y+1}+y\right]_{-1}^0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{\pi}{2}\left(e^2-4e+5\right)\ }\end{align*}}$
確実に！
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