第１問
関数f(x)を
$\small\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf 2x+1 & (\sf 0\leqq x\lt \frac{\pi}{2}) \\ \sf 2x+\sin x & (\sf x\geqq\frac{\pi}{2}) \\\end{array} \right.\end{align*}}$
と定め、関数g(x)を
g(x)＝f(2x)－2f(x) (0≦x≦2$\small\sf{\pi}$ )
と定める。
(１) 関数g(x)の最大値と最小値、およびそれらをとるxの値を求めよ。
(２) 曲線C：y＝g(x)の概形を描け。ただし、変曲点に留意しなくてよい。
(３) 区間[0，2$\scriptsize\sf{\pi}$ ]で、曲線Cとx軸の間にある部分をx軸のまわりに
1回転させてできる立体の体積Vを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (2x)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf 4x+1 & (\sf 0\leqq x<\frac{\pi}{4}) \\ \sf 4x+\sin 2x & (\sf x\geqq\frac{\pi}{4}) \\\end{array} \right.\end{align*}}$
なので、
(ⅰ) $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq x<\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ のとき
g(x)＝(4x＋1)－2(2x＋1)＝－1
(ⅱ) $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{4}\leqq x<\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき
g(x)＝(4x＋sin2x)－2(2x＋1)
＝sin2x－2
g’(x)＝2cos2x＜0
(ⅲ) $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{2}\leqq x\leqq2\pi\end{align*}}$ のとき
g(x)＝(4x＋sin2x)－2(2x＋sinx)
＝sin2x－2sinx
g’(x)＝2cos2x－2cosx
＝2(2cos2x－1－cosx)
＝2(2cosx＋1)(cosx－1)
これらより、g(x)の増減は次のようになる。
これと、g($\scriptsize\sf{\pi}$ )＝0より、曲線C：y＝g(x)の概形は下図のようになる。
また、g(x)の最大値・最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ (x)_{max}=g\left(\frac{4\pi}{3}\right)=\underline{\ \frac{3\sqrt3}{2}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ (x)_{min}=g\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\underline{\ -\frac{3\sqrt3}{2}\ }\end{align*}}$
である。
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V=\pi\int_0^{2\pi}\left\{g\ (x)\right\}^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\pi\int_0^{\pi/4}(-1)^2\ dx+\pi\int_{\pi/4}^{\pi/2}(\sin 2x-2)^2dx+\pi\int_{\pi/2}^{2\pi}(\sin 2x-2\sin x)^2dx\end{align*}}$
項別に定積分を計算すると、
第１項
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{\pi/4}(-1)^2\ dx=\bigg[\ x\ \bigg]_0^{\pi/4}=\frac{\pi}{4}\end{align*}}$
第２項
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_{\pi/4}^{\pi/2}(\sin 2x-2)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int_{\pi/4}^{\pi/2}(\sin^2 2x-4\sin 2x+4)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int_{\pi/4}^{\pi/2}\left(\frac{1-\cos 4x}{2}-4\sin 2x+4\right)\ dx\end{align*}}$ ←倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left[-\frac{1}{8}\sin 4x+2\cos2x+\frac{9}{2}x\right]_{\pi/4}^{\pi/2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{9\pi}{8}-2\end{align*}}$
第３項
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_{\pi/2}^{2\pi}(\sin 2x-2\sin x)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int_{\pi/2}^{2\pi}\left(\sin^22x-4\sin 2x\sin x+4\sin^2x\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int_{\pi/2}^{2\pi}\left\{\frac{1-\cos 4x}{2}+2(\cos 3x-\cos x)+2(1-\cos 2x)\right\}\ dx\end{align*}}$ ←倍角、積・和
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left[-\frac{1}{8}\sin 4x+\frac{2}{3}\sin 3x-2\sin x-\sin 2x+\frac{5}{2}x\right]_{\pi/2}^{2\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{15\pi}{4}+\frac{8}{3}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V=\pi\left\{\frac{\pi}{4}+\left(\frac{9\pi}{8}-2\right)+\left(\frac{15\pi}{4}+\frac{8}{3}\right)\right\}=\underline{\ \frac{41\pi^2}{8}+\frac{2\pi}{3}\ }\end{align*}}$
最後の計算が少し面倒ですが頑張りましょう！
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第２問
実数x、yに対して、x∨yはxとyの小さくない方を表し、x∧yは
xとyの大きくない方を表すとする。
(１) (1∨2)∧(3∨4)および(1∧3)∨(2∧4)を求めよ。
(２) 実数a、b、c、dに対して、
(a∨b)∧(c∨d)≧(a∧c)∨(b∧d)
が成り立つことを示せ。
(３) 実数a、b、c、dに対して、
(a∨b)∧(c∨d)＝(a∧c)∨(b∧d)
が成り立つか。成り立つ場合は証明し、成り立たない場合は
反例をあげよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
(1∨2)∧(3∨4)＝2∧4＝2
(1∧3)∨(2∧4)＝1∨2＝2
(２)
まず、a∨b≧a かつ c∨d≧c より
(a∨b)∧(c∨d)≧a∧c ････①
また、a∨b≧b かつ c∨d≧d より
(a∨b)∧(c∨d)≧b∧d ････②
①、②より
(a∨b)∧(c∨d)≧(a∧c)∨(b∧d)
となり、題意は示された。
(３)
a＝1、b＝2、c＝3、d＝1とすると、
(a∨b)∧(c∨d)＝(1∨2)∧(3∨1)＝2∧3＝2
(a∧c)∨(b∧d)＝(1∧3)∨(2∧1)＝1∨1＝1
となるので、
(a∨b)∧(c∨d)＝(a∧c)∨(b∧d)
は成り立たない。
(２)は、定義をうまく使いましょう。
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第３問
隣り合う辺の長さがa、bの長方形がある。その各辺の中点を結んで
四角形をつくる。さらにその四角形の各辺の中点を順に結んで四角形
をつくる。このような操作を無限に続ける。
(１) 最初の長方形も含めたこれらの四角形の周の長さの総和Sを求めよ。
(２) 関係a＋b＝1を満たしながらa、bが動くときのSの最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
最初の長方形をA0とし、各辺の中点を順に結んでつくられる
四角形を順にA1、A2、A3、A4、････とする。
A0の周の長さは、2(a＋b)
A1はひし形であり、その周の長さは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 4\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2}=2\sqrt{a^2+b^2}\end{align*}}$
以下、A2、A4、･･･は、
A0を順に2分の1倍に縮小していった長方形であり、
A3、A5、･･･は、
A1を順に2分の1倍に縮小していったひし形である。
よって、四角形の長さの周の総和Sは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\sum_{n=1}^{\infty}2(a+b)\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}+\sum_{n=1}^{\infty}2\sqrt{a^2+b^2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\right)\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ 4\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\right)\ }\end{align*}}$
(２)
a＋b＝1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=4\left\{1+\sqrt{a^2+(1-a)^2}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =4\left\{1+\sqrt{2a^2-2a+1}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =4\left\{1+\sqrt{2\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}}\right\}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=b=\frac{1}{2}\end{align*}}$
のとき、Sは最小値
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_{min}=4\left(1+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)=\underline{\ 4+2\sqrt2\ }\end{align*}}$
をとる。
これは難しくないと思います。
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第４問
2次の正方行列について、以下の問いに答えよ。ただし、
$\small\sf{\begin{align*}\sf E=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0& \sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$
とする。
(１) 行列
$\small\sf{\begin{align*}\sf S=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf 0 & \sf d \end{pmatrix}\ \ ,\ \ T=\begin{pmatrix} \sf e&\sf f \\ \sf g & \sf h \end{pmatrix}\end{align*}}$
がTS＝Eを満たすならば、ST＝Eとなることを示せ。
(２) 行列
$\small\sf{\begin{align*}\sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$ （ただし、a≠0)
に対して、行列BはBA＝Eを満たすとする。さらに
$\small\sf{\begin{align*}\sf P=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf -\frac{c}{a} & \sf 1 \end{pmatrix}\ \ ,\ \ Q=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf \frac{c}{a} & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
を考えて、M＝PA、N＝BQとおく。
(ⅰ) NM＝Eを示せ。
(ⅱ) MN＝Eを示し、AB＝Eとなることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
条件より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf TS=\begin{pmatrix} \sf e&\sf f \\ \sf g & \sf h \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf 0 & \sf d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf ae&\sf be+df \\ \sf ag& \sf bg+dh\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0& \sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$
となるので、成分を比較すると、
ae＝1 ････①
be＋df＝0 ････②
ag＝0 ････③
bg＋dh＝1 ････④
①、③より、g＝0 ････⑤
④、⑤より、dh＝1 ････⑥
一方、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf ST=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf 0 & \sf d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf e&\sf f \\ \sf g & \sf h \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf ae+bg&\sf af+bh \\ \sf dg& \sf dh\end{pmatrix}\end{align*}}$
①、⑤より、ae＋bg＝1
⑥よりd≠0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf af+bh=a\cdot\left(-\frac{be}{d}\right)+b\cdot\frac{1}{d}\end{align*}}$ ←②、⑥より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{b(-ae+1)}{d}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =0\end{align*}}$ ←①より
⑤より、dg＝0
⑥より、dh＝1
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf ST=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}=E\end{align*}}$
となり、題意は示された。
(２)(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf QP=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf \frac{c}{a} & \sf 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf -\frac{c}{a} & \sf 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$ ････(＊)
なので、
NM＝BQPA
＝BA ←(＊)より
＝E ←仮定より
(２)(ⅱ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf M=PA=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf -\frac{c}{a} & \sf 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf 0 & \sf -\frac{bc}{a}+d \end{pmatrix}\end{align*}}$
となり、Mの(2，1)成分は0である。
(ⅰ)よりNM＝Eなので、(１)の結論を用いると、
MN＝Eとなる。
また、P、Qのデターミナントは
detP＝1≠0
detQ＝1≠0
となるので、ともに逆行列をもつ。
MN＝PABQ＝E
の両辺に左からP-1を、右からQ-1をかけると、
AB＝P-1Q-1
＝(QP)-1
＝E-1 ←(＊)より
＝E
(２)(ⅱ)で
P-1Q-1＝(QP)-1
という変形をしていますが、大丈夫ですかね？
まぁ、これに気づかなくても、そのまま成分計算すればOKですが。
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