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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013和歌山県立医科大 数学1



第1問

  関数f(x)を
        $\small\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf 2x+1 & (\sf 0\leqq x\lt \frac{\pi}{2}) \\ \sf 2x+\sin x & (\sf x\geqq\frac{\pi}{2}) \\\end{array} \right.\end{align*}}$
  と定め、関数g(x)を
        g(x)=f(2x)-2f(x)  (0≦x≦2$\small\sf{\pi}$ )
  と定める。

 (1) 関数g(x)の最大値と最小値、およびそれらをとるxの値を求めよ。

 (2) 曲線C:y=g(x)の概形を描け。ただし、変曲点に留意しなくてよい。

 (3) 区間[0,2$\scriptsize\sf{\pi}$ ]で、曲線Cとx軸の間にある部分をx軸のまわりに
    1回転させてできる立体の体積Vを求めよ。


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  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .和歌山県立医大 2013
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2013和歌山県立医科大 数学2



第2問

  実数x、yに対して、x∨yはxとyの小さくない方を表し、x∧yは
  xとyの大きくない方を表すとする。

 (1) (1∨2)∧(3∨4)および(1∧3)∨(2∧4)を求めよ。

 (2) 実数a、b、c、dに対して、
       (a∨b)∧(c∨d)≧(a∧c)∨(b∧d)
    が成り立つことを示せ。

 (3) 実数a、b、c、dに対して、
       (a∨b)∧(c∨d)=(a∧c)∨(b∧d)
    が成り立つか。成り立つ場合は証明し、成り立たない場合は
    反例をあげよ。


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2013和歌山県立医科大 数学3



第3問

  隣り合う辺の長さがa、bの長方形がある。その各辺の中点を結んで
  四角形をつくる。さらにその四角形の各辺の中点を順に結んで四角形
  をつくる。このような操作を無限に続ける。

 (1) 最初の長方形も含めたこれらの四角形の周の長さの総和Sを求めよ。

 (2) 関係a+b=1を満たしながらa、bが動くときのSの最小値を求めよ。





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2013和歌山県立医科大 数学4



第4問

  2次の正方行列について、以下の問いに答えよ。ただし、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf E=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0& \sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$
  とする。

 (1) 行列
        $\small\sf{\begin{align*}\sf S=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf 0 & \sf d \end{pmatrix}\ \ ,\ \ T=\begin{pmatrix} \sf e&\sf f \\ \sf g & \sf h \end{pmatrix}\end{align*}}$
    がTS=Eを満たすならば、ST=Eとなることを示せ。

 (2) 行列
        $\small\sf{\begin{align*}\sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$   (ただし、a≠0)
    に対して、行列BはBA=Eを満たすとする。さらに
        $\small\sf{\begin{align*}\sf P=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf -\frac{c}{a} & \sf 1 \end{pmatrix}\ \ ,\ \ Q=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf \frac{c}{a} & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
    を考えて、M=PA、N=BQとおく。

  (ⅰ) NM=Eを示せ。

  (ⅱ) MN=Eを示し、AB=Eとなることを示せ。



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