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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013京都府立医科大 数学1



第1問

  a、b、cを定数とし、a≠0,1とする。座標平面上に2つの放物線
     C:y=x2
     C’:y=ax2+bx+c
  がある。C、C’の両方に接する直線をC、C’の共通接線という。
  C、C’の共通接線がちょうど2本存在するという条件を(T)で表す。

 (1) 条件(T)が成り立つための必要十分条件は、C’が下に凸で
    CとC’が異なる2点で交わるか、または、C’が上に凸でCと
    C’が共有点をもたないことのいずれかが成り立つことである
    ことを証明せよ。

 (2) 条件(T)が成り立つとき、2本の共通接線をL、mとおく。LとC、
    C’の接点をそれぞれA、Pとおき、mとC、C’の接点をそれぞれ
    B、Qとおく。ただし、Aのx座標はBのx座標より小さいとする。
    このとき、直線ABとPQは平行であることを証明せよ。

 (3) 条件(T)が成り立つとき、(2)で定めた4点A、B、P、Qを頂点と
    する四角形が平行四辺形となるための放物線C’に関する条件
    を求めよ。





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2013京都府立医科大 数学2



第2問

  数列{an}は、a1=a2=1かつ漸化式
        an+2=an+1+an  (n=1,2,3,・・・)
  をみたすものとする。自然数nに対して、実数$\small\sf{\theta_n}$ を
        $\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt \theta_n\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$  かつ  $\small\sf{\begin{align*}\sf \tan\theta_n=\frac{1}{a_n}\end{align*}}$
  となるように定める。

 (1) an(an+2+an+1)=an+1an+2-(-1)n  (n=1,2,3,・・・)
    が成り立つことを証明せよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\theta_{2k+1}+\theta_{2k+2}=\theta_{2k}\ \ (k=1,2,3,\cdots)\end{align*}}$ が成り立つことを
    証明せよ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^{\infty}\theta_{2k-1}\end{align*}}$ を求めよ。



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2013京都府立医科大 数学3



第3問

  1辺の長さが1の正四面体Tがある。Tに内接する球の半径をa、
  Tに外接する球の半径をbとする。Tに内接する球の中心をOとし、
  Oから正四面体Tの辺の中点までの距離をcとする。Oを中心と
  する半径r (ただしa<r≦c)の球Brを考える。BrからTの内部に
  含まれる部分を除いてできる立体の体積をV(r)とする。

 (1) a、b、cの値を求めよ。

 (2) a<r≦cの範囲で $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{V\ (r)}{r^6}\end{align*}}$ が最大となるrを求めよ。



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2013京都府立医科大 数学4



第4問

  2×2行列A、Bは
     A2=B2=E かつ AB+BA=O
  をみたしているとする。ここでEは単位行列、Oは零行列である。

 (1) (A+B)2m (m=1,2,3,・・・)を求めよ。

 (2) 実数a、bに対して、aE+bAB=Oならばa=b=0であることを
    証明せよ。

  次に行列A、Bのうち一方を無作為に選ぶ試行をn回くり返す。
  ただしnは1以上の整数とする。k回目 (1≦k≦n)の試行で選んだ
  行列をCkと表し、積
     Xn=C1C2・・・Cn
  を考える。Xn=Eとなる確率をpnとする。

 (3) nが奇数のとき、pn=0であることを証明せよ。

 (4) nが偶数のとき、pnを求めよ。




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