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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013滋賀医科大 数学1



第1問

  正の整数n、p、qについて、等式
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \left(\sqrt{p}+\sqrt{q}\right)^{2n-1}=a_n\sqrt{p}+b_n\sqrt{q}\end{align*}}$
  を考える。

 (1) ある正の整数an、bnが上の等式を満たすことを示せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{pq}\end{align*}}$ が整数でないとき、(1)のan、bnはただ一通りに
    定まることを示せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{pq}\end{align*}}$ が整数でないとき、(1)のan、bnに対して
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{a_n}{b_n}\end{align*}}$
    を求めよ。


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  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .滋賀医科大 2013
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2013滋賀医科大 数学2



第2問

  平面上で2つの円S、S’が点Pで内接している。ただしS’がSより
  小さいとする。円S、S’の中心をそれぞれO、O’とおく。円S’上に
  あって直線PO’上にはない点Qをとる。直線PQと円SとのPとは
  異なる交点をA、直線AOと円SとのAとは異なる交点をB、直線BO’
  と円SとのBとは異なる交点をC、直線CQと円SとのCとは異なる
  交点をDとする。

 (1) AO//QO’を示せ。

 (2) DB=BPを示せ。




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2013滋賀医科大 数学3



第3問

  実数aに対し、行列X(a)を
        $\small\sf{\begin{align*}\sf X(a)=\frac{1}{a^2+1}\begin{pmatrix} \sf 2a^2+1&\sf -a \\ \sf -a & \sf a^2+2 \end{pmatrix}\end{align*}}$
  と定める。

 (1) ベクトル $\small\sf{\begin{align*}\sf \binom{x_0}{y_0}\end{align*}}$ を考える。ベクトル $\small\sf{\begin{align*}\sf \binom{x_0}{y_0}\ \ ,\ \ X(a)\binom{x_0}{y_0}\end{align*}}$ の大きさを
    それぞれL0、L1とおく。このとき
        L0≦L1
    を示せ。ただし、ベクトル $\small\sf{\begin{align*}\sf \binom{x}{y}\end{align*}}$ の大きさとは $\small\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{x^2+y^2}\end{align*}}$ のことで
    ある。

 (2) (1)でL0=L1となるとき、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf X(a)\binom{x_0}{y_0}=\binom{x_0}{y_0}\end{align*}}$
    を示せ。

 (3) a、bが異なる実数のとき、X(a)m=X(b)nとなるような正の整数
    m、nは存在しないことを示せ。


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2013滋賀医科大 数学4



第4問

  xy平面において、連立不等式
       x2+y2≦1、 x≧0、 y≧0
  で定まる図形をSとする。tを0<t<1となる定数とし、Sを
  直線y=tで2つの部分に切断する。S1をSと領域y≧tの
  共通部分、S2をSと領域y≦tの共通部分とする。

 (1) 図形S1、S2を描け。

 (2) S1、S2をy軸の周りに1回転させてできる立体をそれぞれ
    V1、V2とする。不等式
         図01
    を示せ。


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