第４問
次の問いに答えよ。
(１) 定積分
$\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{\pi/2}x\sin x\ dx\end{align*}}$
の値を求めよ。
(２) 線分L、曲線Cを
$\small\sf{\begin{align*}\sf L:\ y=\frac{2}{\pi}x\ \ \ \left(0\leqq x\leqq\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*}\sf C:\ y=\sin x\ \ \ \left(0\leqq x\leqq\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
とする。線分Lと曲線Cで囲まれた図形をx軸を中心に1回転して
できる立体の体積をV、y軸を中心に1回転してできる立体の体積
をWとする。このとき、VとWの値を求め、VとWの大小関係を判定
せよ。
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{\pi/2}x\sin x\ dx=\bigg[-x\cos x\bigg]_0^{\pi/2}+\int_0^{\pi/2}\cos x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =0+\bigg[\sin x\bigg]_0^{\pi/2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ 1\ }\end{align*}}$
(２)
LとCの位置関係は右図のようになるので、
V1：赤線部分をx軸回転してできる円錐の体積
V2：水色部分のx軸回転体の体積
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V_1=1^2\ \pi\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{\pi^2}{6}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V_2=\pi\int_0^{\pi}\sin^2x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\pi\int_0^{\pi}\frac{1-\cos 2x}{2}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\pi\left[\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin 2x\right]_0^{\pi/2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{\pi^2}{4}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V=V_2-V_1=\underline{\ \frac{\pi^2}{12}\ }\end{align*}}$ ．
一方、
W1：ピンク色部分をy軸回転してできる円錐の体積
W2：青線部分のy軸回転体の体積
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf W_1=\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\pi\cdot 1\cdot \frac{1}{3}=\frac{\pi^3}{12}\end{align*}}$ ．
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf W_2=\pi\int_0^1x^2\ dy\end{align*}}$
であり、y＝sinxと置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dy}{dx}=\cos x\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf W_2=\pi\int_0^{\pi/2}x^2\cos x \ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\pi\bigg[x^2\sin x\bigg]_0^{\pi/2}-\pi\int_0^{\pi/2}2x\sin x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{\pi^3}{4}-2\pi\end{align*}}$ ←(１)より
これらより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf W=W_1-W_2=\frac{\pi^3}{12}-\left(\frac{\pi^3}{4}-2\pi\right)=\underline{\ 2\pi-\frac{\pi^3}{6}\ }\end{align*}}$
となる。
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V-W=\frac{\pi^2}{12}-\left(2\pi-\frac{\pi^3}{6}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{\pi}{12}\left(2\pi^2+\pi-24\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf <\frac{\pi}{12}\left(2\cdot 3.2^2+3.2-24\right)\ \ \ \ (\because \pi <3.2)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{\pi}{12}\cdot (-0.32)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf <0\end{align*}}$
となるので、V＜Wとなる。
y軸回転の回転体の体積は、「バウムクーヘン積分」と呼ばれる
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf {\color{blue}W=2\pi\int_0^{\pi/2}\left(\sin x-\frac{2}{\pi}x\right)\ dx}\end{align*}}$
で求めることもできますが、原理も分からないまま使うのは
少し危険な公式でもあります。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/01(月) 05:04:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .奈良県立医大 2007
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