第１問
p、qを互いに素な正整数とする。
(１) 任意の整数xに対して、p個の整数x－q、x－2q、･･･、x－pqを
pで割った余りは全て相異なることを証明せよ。
(２) x＞pqなる任意の整数xは、適当な正整数a、bを用いてx＝pa＋qb
と表されることを証明せよ。
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【解答】
(１)
A(k)＝x－kq （k＝1、2、･･･、p)とおき、A(k)をqで割ったときの
商をB(k)、余りをC(k)とおく。
1≦k1＜k2≦p････① で、C(k1)＝C(k2) ････②となるような
整数k1、k2が存在すると仮定すると、
A(k1)＝x－k1q＝B(k1)q＋C(k1)
A(k2)＝x－k2q＝B(k2)q＋C(k2) ．
これら2式の差をとると、②より
(k2－k1)q＝{B(k1)－B(k2)}q
となり、左辺はqの倍数となる。
ここで、①より
－p＋1≦k2－k1≦p－1 かつ k2－k1≠0
なので、k2－k1はpの倍数とはなりえない。
よって、qがpの倍数となるが、これはpとqが互いに素であることに
矛盾する。
以上より、任意の整数xに対して、p個の整数A(k)＝x－kq
（k＝1、2、･･･、p)をpで割った余りは全て相異なる。
(２)
A(k)＝x－kq （k＝1、2、･･･、p)をpで割った余りC(k)は
0、1、2、･･･、p－1のp個の値をとりうるので、(１)より、
C(k)＝0となるようなk（k＝1、2、･･･、p)がただ1つ存在する。
そのときのkの値をｂとおくと、
A(b)＝x－bp＝B(b)p＋0 ⇔ x＝B(b)p＋ｑｂ ．
ここで、B(b)＝aとおくと、
x＝pa＋qb
となり、題意は示された。
(１)は背理法を使うとキレイです。
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第２問
相異なる正の実数a、bに対して行列Aを
$\small\sf{\begin{align*}\sf A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\end{align*}}$
で定める。
(１) 原点O(0，0)を通る直線Lで、Aによって定まるxy平面上の
一次変換
$\small\sf{\begin{align*}\sf \begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\end{align*}}$
を施したときそれ自身に移されるものの方程式を求めよ。
(２)
xy平面上の点(x，y)と正整数nに対して
$\small\sf{\begin{align*}\sf \begin{pmatrix}\sf p_n(x,y)\\ \sf q_n(x,y)\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix}\sf x\\ \sf y\end{pmatrix}\end{align*}}$
とおく。xy平面上の全ての点(x，y)に対して、2個の極限値
$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ p_n(x\ ,\ y)\ \ ,\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ q_n(x\ ,\ y)\end{align*}}$
が同時に存在するために、定数a、bのみたすべき必要十分条件を
求めよ。また、そのような点(a，b)の存在範囲を図示せよ。
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【解答】
(１)
求める直線をLとする。
(ⅰ)Lがy軸と平行なとき
Lは原点を通るので、x＝0と表され、L上の点を(0，t)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \begin{pmatrix}\sf x'\\ \sf y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b \\ \sf b&\sf a \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 0\\ \sf t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf bt\\ \sf at\end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
点(x’，y’)もL上にあるので、
bt＝0 ．
b＞0なので、この式は任意のtに対して成り立つことはなく、
直線x＝0は条件を満たさない。
(ⅱ)Lがy軸と平行でないとき
傾きをmとすると、L：y＝mxと表され、L上の点を(t，mt)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\begin{pmatrix}\sf x'\\ \sf y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b \\ \sf b&\sf a \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf t\\ \sf mt\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf (a+bm)t\\ \sf (b+am)t\end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
点(x’，y’)もL上にあるので、
(b＋am)t＝m(a＋bm)t
であり、これが任意のtに対して成り立つので、
b＋am＝m(a＋bm)
⇔ bm2＝b
⇔ m＝±1 （∵b≠0）
以上より、求める直線の方程式は、
L: y＝±x
である。
(２)
X0＝x、 Y0＝y、
Xn＝Pn(x，y)、 Yn＝Qn(x，y) とおくと、
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \begin{pmatrix}\sf X_n\\ \sf Y_n\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix}\sf X_0\\ \sf Y_0\end{pmatrix}\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \begin{pmatrix}\sf X_n\\ \sf Y_n\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}\sf X_{n-1}\\ \sf Y_{n-1}\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\begin{pmatrix}\sf a &\sf b \\ \sf b&\sf a \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf X_{n-1}\\ \sf Y_{n-1}\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\begin{pmatrix}\sf aX_{n-1}+bY_{n-1}\\ \sf bX_{n-1}+aY_{n-1}\end{pmatrix}\end{align*}}$
⇔ Xn＝aXn-1＋bYn-1
Yn＝bXn-1＋aYn-1 ．
これら2式の和および差をとると、
Xn＋Yn＝(a＋b)(Xn-1＋Yn-1)
Xn－Yn＝(a－b)(Xn-1－Yn-1)
となり、
数列{Xn＋Yn}、{Xn－Yn}はともに等比数列をなすことになる。
Xn＋Yn＝(a＋b)n(X0＋Y0) ････①
Xn－Yn＝(a－b)n(X0－Y0) ････②
(①＋②)÷2より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf X_n=\frac{1}{2}\left\{(a+b)^n(X_0+Y_0)+(a-b)^n(X_0-Y_0)\right\}\end{align*}}$
(①－②)÷2より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Y_n=\frac{1}{2}\left\{(a+b)^n(X_0+Y_0)-(a-b)^n(X_0-Y_0)\right\})\end{align*}}$ ．
これより、任意のX0、Y0に対して、2つの極限値
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ X_n\ \ ,\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ Y_n\end{align*}}$
が同時に存在するためには、
－1＜a＋b≦1 かつ －1＜a－b≦1
であればよく、題意よりa＞0、b＞0、a≠b なので、
a＞0、b＞0、a≠b、a＋b≦1
である。
逆に、a＞0、b＞0、a≠b、a＋b＜1のときは、
n→∞に対して、(a＋b)n→0、(a－b)n→0
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ X_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\ Y_n=0\end{align*}}$ ．
a＞0、b＞0、a≠b、a＋b＝1のときは、
n→∞に対して、(a＋b)n→1、(a－b)n→0
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ X_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\ Y_n=\frac{1}{2}(X_0+Y_0)\end{align*}}$
より、いずれの場合も2つとも極限値が存在する。
以上より、
題意を満たすような、a、bの満たすべき必要十分条件は、
a＞0、b＞0、a≠b、a＋b≦1
であり、これを図示すると、下図のようになる。
（座標軸上の点および直線b＝a上の点は含まない。）
連立型の漸化式を作ればスッキリ解けます。
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第３問
変数$\small\sf{\theta}$ が$\small\sf{0\leqq\theta\lt\pi}$ の範囲で動くとき、不等式
$\small\sf{\left|a\cos^2\theta+b\sin\theta\cos\theta+1\right|\leqq 2}$
が常に成り立つために、定数a、bの満たすべき必要十分条件を
求めよ。また、そのような点(a，b)の存在範囲を図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
a＝b＝0のときは、1≦2となり、明らかに成り立つので、
以下はそれ以外の場合を考える。
倍角公式を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|a\cos^2\theta+b\sin\theta\cos\theta+1\right|\leq 2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|\frac{a}{2}\left(\cos 2\theta+1\right)+\frac{b}{2}\sin 2\theta+1\right|\leq 2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|b\sin 2\theta+a\cos 2\theta+a+2\right|\leq 4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin A=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\ \ ,\ \ \cos A=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{align*}}$ として合成すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -4\leq \sqrt{a^2+b^2}\sin \left(2\theta+A\right)+a+2\leq 4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -a-6\leq \sqrt{a^2+b^2}\sin \left(2\theta+A\right)\leq -a+2\end{align*}}$ ････①
ここで、
$\scriptsize\sf{0\leqq\theta\leqq\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ A\leqq 2\theta+A\leqq 2\pi+A}$
より、
$\scriptsize\sf{-1\leqq\sin (2\theta+A)\leqq 1}$
となるので、
$\scriptsize\sf{0\leqq\theta\leqq\pi}$ である任意の$\scriptsize\sf{\theta}$ に対して①が成り立つためには、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -a-6\leq -\sqrt{a^2+b^2}\end{align*}}$ ････② かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{a^2+b^2}\leq -a+2\end{align*}}$ ････③
であればよい。
②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{a^2+b^2}\leq a+6\end{align*}}$
であり、両辺を2乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a^2+b^2\leq a^2+12a+36\ \ \Leftrightarrow\ \ a\geq\frac{1}{12}b^2-3\end{align*}}$ かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a+6\geq 0\end{align*}}$ ．
また、③の両辺を2乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a^2+b^2\leq a^2-4a+4\ \ \Leftrightarrow\ \ a\leq -\frac{1}{4}b^2+1\end{align*}}$ かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -a+2\geq 0\end{align*}}$ ．
これらを同時に満たすような条件は、
a＝b＝0の場合も考慮に入れると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ \frac{1}{12}b^2-3\leq a\leq -\frac{1}{4}b^2+1\ }\end{align*}}$
であり、点(a，b)の存在範囲を図示すると、
右図のようになる。
この問題は比較的とっつきやすいんじゃないでしょうか。
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第４問
$\small\sf{\begin{align*}\sf y=f\ (x)=\sqrt{x^2(x+1)}\ \ \ (x\geqq -1)\end{align*}}$
とする。
(１) 関数y＝f(x)は原点x＝0で微分可能であるかどうか答えよ。
(２) 関数y＝f(x)の増減、凹凸、極値を調べ、関数y＝f(x)のグラフの
概形を描け。また、極値が存在すれば極値を全て求めよ。
(３) 関数y＝f(x)のグラフとx軸とで囲まれる部分の面積を求めよ。
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【解答】
(１)
x＞0のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=x\sqrt{x+1}\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow +0}\ \frac{f\ (x)-f\ (0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow +0}\ \frac{x\sqrt{x+1}-0}{x}=\lim_{x\rightarrow +0}\sqrt{x+1}=1\end{align*}}$
一方、x＜0のときは $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=-x\sqrt{x+1}\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow -0}\ \frac{f\ (x)-f\ (0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow -0}\ \frac{-x\sqrt{x+1}-0}{x}=\lim_{x\rightarrow -0}\left(-\sqrt{x+1}\right)=-1\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow +0}\ \frac{f\ (x)-f\ (0)}{x-0}\ne\lim_{x\rightarrow -0}\ \frac{f\ (x)-f\ (0)}{x-0}\end{align*}}$
なので、f(x)はx＝0で微分可能ではない。
(２)
(ⅰ) x＞0の範囲において
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=\sqrt{x+1}+x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+1}}=\frac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}\ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ ''(x)=\frac{3\sqrt{x+1}-(3x+2)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{2(x+1)}=\frac{3x+4}{4(x+1)\sqrt{x+1}}\ (>0)\end{align*}}$
(ⅱ) －1≦x＜0の範囲において
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=-\frac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ ''(x)=-\frac{3x+4}{4(x+1)\sqrt{x+1}}\ (<0)\end{align*}}$
これらより、
－1≦x におけるf(x)の増減・凹凸は次のようになる。
これよりグラフは右図のようになり、
極値は
x＝0で極小0
x＝$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{2}{3}\end{align*}}$ で極大 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{9}\sqrt3\end{align*}}$
(３)
囲まれる部分の面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\int_{-1}^0\left(-x\sqrt{x+1}\right)\ dx\end{align*}}$
となり、t＝x＋1とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dt}{dx}=1\end{align*}}$
であり、x：－1→0に対応するtはt：0→1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\int_0^1(1-t)\sqrt{t}\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int_0^1\left(t^{\frac{1}{2}}-t^{\frac{3}{2}}\right)\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left[\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}t^{\frac{5}{2}}\right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{4}{15}\ }\end{align*}}$
微分可能の定義は大丈夫ですか？
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