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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2008奈良県立医科大 数学1



第1問

  p、qを互いに素な正整数とする。

 (1) 任意の整数xに対して、p個の整数x-q、x-2q、・・・、x-pqを
    pで割った余りは全て相異なることを証明せよ。


 (2) x>pqなる任意の整数xは、適当な正整数a、bを用いてx=pa+qb
    と表されることを証明せよ。



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  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .奈良県立医大 2008
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2008奈良県立医科大 数学2



第2問

  相異なる正の実数a、bに対して行列Aを
        $\small\sf{\begin{align*}\sf A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\end{align*}}$
  で定める。

 (1) 原点O(0,0)を通る直線Lで、Aによって定まるxy平面上の
    一次変換
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\end{align*}}$
    を施したときそれ自身に移されるものの方程式を求めよ。

 (2)
   xy平面上の点(x,y)と正整数nに対して
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \begin{pmatrix}\sf p_n(x,y)\\ \sf q_n(x,y)\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix}\sf x\\ \sf y\end{pmatrix}\end{align*}}$
    とおく。xy平面上の全ての点(x,y)に対して、2個の極限値
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ p_n(x\ ,\ y)\ \ ,\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ q_n(x\ ,\ y)\end{align*}}$
    が同時に存在するために、定数a、bのみたすべき必要十分条件を
    求めよ。また、そのような点(a,b)の存在範囲を図示せよ。



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2008奈良県立医科大 数学3



第3問

  変数$\small\sf{\theta}$ が$\small\sf{0\leqq\theta\lt\pi}$ の範囲で動くとき、不等式
        $\small\sf{\left|a\cos^2\theta+b\sin\theta\cos\theta+1\right|\leqq 2}$
  が常に成り立つために、定数a、bの満たすべき必要十分条件を
  求めよ。また、そのような点(a,b)の存在範囲を図示せよ。




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2008奈良県立医科大 数学4



第4問

    $\small\sf{\begin{align*}\sf y=f\ (x)=\sqrt{x^2(x+1)}\ \ \ (x\geqq -1)\end{align*}}$
  とする。

 (1) 関数y=f(x)は原点x=0で微分可能であるかどうか答えよ。

 (2) 関数y=f(x)の増減、凹凸、極値を調べ、関数y=f(x)のグラフの
    概形を描け。また、極値が存在すれば極値を全て求めよ。

 (3) 関数y=f(x)のグラフとx軸とで囲まれる部分の面積を求めよ。


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