第1問
関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x-\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\end{align*}}$
を考える。
(1) 関数f(x)の増減と、曲線y=f(x)の凹凸を調べよ。また、極限
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +\infty}\ f\ '(x)\ \ ,\ \ \lim_{x\rightarrow -\infty}\ f\ '(x)\end{align*}}$
求めよ。
(2) 実数a、bに対して、定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_a^b\ f\ (x)\ dx\end{align*}}$ の値を求めよ。
(3) 0≦a≦bのとき、不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{e^b+e^{-b}}{e^a+e^{-a}}\leqq e^{\frac{1}{2}(b^2-a^2)}\end{align*}}$
が成り立つことを証明せよ。ただし、等号成立条件は調べなくてよい。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x-\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\end{align*}}$
(1)
第1次および第2次導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=1-\frac{\left(e^x+e^{-x}\right)^2-\left(e^x-e^{-x}\right)^2}{\left(e^x+e^{-x}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(e^x+e^{-x}\right)^2-\left(e^x+e^{-x}\right)^2+\left(e^x-e^{-x}\right)^2}{\left(e^x+e^{-x}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=2\left(\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\right)\cdot\frac{\left(e^x+e^{-x}\right)^2-\left(e^x-e^{-x}\right)^2}{\left(e^x+e^{-x}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{8\left(e^x-e^{-x}\right)}{\left(e^x+e^{-x}\right)^3}\end{align*}}$
となるので、f(x)の増減および凹凸は次のようになる。
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\ f\ '(x)=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 1\ }\end{align*}}$ ．
t=－xとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow -\infty}\ f\ '(x)=\lim_{t\rightarrow\infty}\left(\frac{e^{-t}-e^{t}}{e^{-t}+e^{t}}\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{t\rightarrow\infty}\left(\frac{e^{-2t}-1}{e^{-2t}+1}\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 1\ }\end{align*}}$ ．
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_a^b\ f\ (x)\ dx=\int_a^b\left(x-\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{2}x^2\right]_a^b-\int_a^b\frac{\left(e^x+e^{-x}\right)'}{e^x+e^{-x}}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(b^2-a^2\right)-\bigg[\log\left(e^x+e^{-x}\right)\bigg]_a^b\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\left(b^2-a^2\right)-\log\frac{e^b+e^{-b}}{e^a+e^{-a}}\ }\end{align*}}$
(3)
(1)より（0≦）a≦x≦bの範囲でつねにf(x)≧0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_a^b\ f\ (x)\ dx\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}\left(b^2-a^2\right)-\log\frac{e^b+e^{-b}}{e^a+e^{-a}}\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log\frac{e^b+e^{-b}}{e^a+e^{-a}}\leqq \frac{1}{2}\left(b^2-a^2\right)=\log e^{\frac{1}{2}\left(b^2-a^2\right)}\end{align*}}$
底e＞1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{e^b+e^{-b}}{e^a+e^{-a}}\leqq e^{\frac{1}{2}\left(b^2-a^2\right)}\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(2)で
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\int_a^b\ \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\ dx=\int_a^b\frac{\left(e^x+e^{-x}\right)'}{e^x+e^{-x}}\ dx}\end{align*}}$
と変形するのがミソです。
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- 2013/07/22(月) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 後期 2013
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第2問
次の問いに答えよ。
(1) nを自然数とする。
(ⅰ) 4nを3で割った余りは1であることを示せ。
(ⅱ) 2nを3で割った余りを求めよ。
(2) mを自然数とし、Nをm以上の自然数とする。
(ⅰ) mの倍数のうちN以下の最大のものをkm（kは自然数）と
表すとき、不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{N}{m}-1\lt k\leqq \frac{N}{m}\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(ⅱ) mの倍数のうち1以上N以下のものすべての和をS(N)で表す。
極限
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{N\rightarrow\infty}\ \frac{S\ (N)}{N^2}\end{align*}}$
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
(ⅰ)
二項定理を用いると、
4n=(3+1)n
=nCn･3n+nCn-1･3n-1+･･･+nC1･31+nC0･30
=3(nCn･3n-1+nCn-1･3n-2+･･･+nC1)+1
となる。
この式の( )内は整数であり、これをMとおくと、
4n=3M+1
と表されるので、4nは3で割って1余る数である。
(ⅱ)
・nが偶数のとき
mを自然数として、n=2mとおくと、
2n=22m=4m
となるので、(ⅰ)と同様、3で割って1余る
・nが奇数のとき
n=1のとき
21を3で割ると2余る。
n≧3のとき
mを自然数として、n=2m+1とおくと、
2n=22m+1=2･4m
(ⅰ)と同様、
4m=3M+1 （M：整数）
と表されるので、
2n=2(3M+1)=3･2M+2
となり、これを3で割ると2余ることになる。
以上より、2nを3で割った余りは、
nが偶数のときは1
nが奇数のときは2
である。
(2)
(ⅰ)
kmはmの倍数のうちN以下の最大のものなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf km\leqq N<(k+1)m\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ N-m\lt km\leqq N\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{N}{m}-1\lt k\leqq \frac{N}{m}\ \ \ (\because m>0)\end{align*}}$
(ⅱ)
まず、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(N)=m+2m+\ldots +km=\frac{1}{2}k(k+1)m\end{align*}}$
であり、二次関数
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{1}{2}x(x+1)\end{align*}}$
を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\end{align*}}$
と変形できるので、f(x)はx≧0で単調に増加する。
よって、(2)(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ \left(\frac{N}{m}-1\right)\lt f\ (k)\leqq f\ \left(\frac{N}{m}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}\left(\frac{N}{m}-1\right)\left(\frac{N}{m}-1+1\right)<\frac{1}{2}k(k+1)\leqq \frac{1}{2}\cdot\frac{N}{m}\left(\frac{N}{m}+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{N}{2}\left(\frac{N}{m}-1\right)\lt S\ (N)\leqq \frac{N}{2}\left(\frac{N}{m}+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{m}-\frac{1}{N}\right)<\frac{S\ (N)}{N^2}\leqq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{N}\right)\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{N\rightarrow\infty}\ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{m}-\frac{1}{N}\right)=\lim_{N\rightarrow\infty}\ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{N}\right)=\frac{1}{2m}\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \lim_{N\rightarrow\infty}\ \frac{S\ (N)}{N^2}=\frac{1}{2m}\ }\end{align*}}$
(1)は、類推して帰納法で示すといった答案でもOKです。
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- 2013/07/23(火) 23:57:00|
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第3問
Nを3以上の自然数とする。X0=2とおき、N個の数Xn
（n=1，2，･･･，N ）を次の規則で順に定める。
X0、X1、････、Xn-1が定まったとき、コインを1回投げて、
(ⅰ) 表が出た場合、
Xn=Xn-1+2 （X0、X1、････、Xn-1がすべて正のとき）
Xn=Xn-1+1 （X0、X1、････、Xn-1のうちの少なくとも1つが
0以下のとき）
とおく．
(ⅱ) 裏が出た場合、
Xn=Xn-1－1
とおく。
(1) X3=1となる確率を求めよ。
(2) XN=2N+2となる確率を求めよ。
(3) 上で行なったN回のコイン投げで裏が2回以上出た場合は、
XN≦2N－4となることを示せ。
(4) XN=2N－1となる確率を求めよ。
(5) XN=2N－4となる確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
X0～X3の値は、次のようになる。
よって、X3=1となる確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{8}\ }\end{align*}}$ である。
(2)
Xn（n=1、2、･･･、N）の定め方には
（A) Xn=Xn-1+2
（B) Xn=Xn-1+1
（C) Xn=Xn-1－1
の3通りあり、N回のうち（A)、(B)、(C)がそれぞれ
a回、b回、c回起こったとすると、
XN=2+2a+b－c ････①
であり、
a+b+c=N ････②
これらと、b≧0より
XN=2+2a+b－c
≦2+2(a+b)－c
=2+2(N－c)－c
=2N+2－3c ････③
よって、XN=2N+2のとき
2N+2≦2N+2－3c ⇔ c≦0
となるので、c=0 ．
このとき、②よりa+b=Nとなるので、題意を満たすためには
N回すべて表が出ればよい。
よって、求める確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{2^N}\ }\end{align*}}$ である。
(3)
③より
XN≦2N+2－3c
≦2N+2－3･2 ←c≧2より
=2N－4
(4)
XN=2N－1と③より
2N－1≦2N+2－3c ⇔ c≦1
となり、
c=0のときは(2)と同様にXN=2N+2となるので、c=1．
このとき、②よりa+b=N－1となるので、題意を満たすためには
表がN－1回、裏が1回出ればよい。
よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\right)^{N-1}\cdot\frac{1}{2}\cdot _NC_1=\underline{\ \frac{N}{2^N}\ }\end{align*}}$
である。
(5)
XN=2N－4となる、すなわち、(3)で等号が成立するのは、
b=0 かつ c=2
のときである。
表N－2回、裏2回の出方は、全部でNC2通りあり、
そのうちで、途中でXn≦0となるのは、
1、2回目に裏が出てX3=0になるときのみなので、
求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\right)^{N-2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot\left(_NC_2-1\right)=\underline{\ \frac{N^2-N-2}{2^{N+1}}\ }\end{align*}}$
である。
少し堅苦しい答案になってしまいましたが（笑）
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- 2013/07/24(水) 23:57:00|
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