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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013京都工芸繊維大 後期 数学1



第1問

  関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x-\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\end{align*}}$
  を考える。

 (1) 関数f(x)の増減と、曲線y=f(x)の凹凸を調べよ。また、極限
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +\infty}\ f\ '(x)\ \ ,\ \ \lim_{x\rightarrow -\infty}\ f\ '(x)\end{align*}}$
    求めよ。

 (2) 実数a、bに対して、定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_a^b\ f\ (x)\ dx\end{align*}}$ の値を求めよ。

 (3) 0≦a≦bのとき、不等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{e^b+e^{-b}}{e^a+e^{-a}}\leqq e^{\frac{1}{2}(b^2-a^2)}\end{align*}}$
    が成り立つことを証明せよ。ただし、等号成立条件は調べなくてよい。




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  1. 2013/07/22(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 後期 2013
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2013京都工芸繊維大 後期 数学2



第2問

  次の問いに答えよ。

 (1) nを自然数とする。
  (ⅰ) 4nを3で割った余りは1であることを示せ。
  (ⅱ) 2nを3で割った余りを求めよ。

 (2) mを自然数とし、Nをm以上の自然数とする。
  (ⅰ) mの倍数のうちN以下の最大のものをk⁢m(kは自然数)と
     表すとき、不等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{N}{m}-1\lt k\leqq \frac{N}{m}\end{align*}}$
     が成り立つことを示せ。

  (ⅱ) mの倍数のうち1以上N以下のものすべての和をS(N)で表す。
     極限
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{N\rightarrow\infty}\ \frac{S\ (N)}{N^2}\end{align*}}$
     を求めよ。


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  1. 2013/07/23(火) 23:57:00|
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2013京都工芸繊維大 後期 数学3



第3問

  Nを3以上の自然数とする。X0=2とおき、N個の数Xn
  (n=1,2,・・・,N )を次の規則で順に定める。
    X0、X1、・・・・、Xn-1が定まったとき、コインを1回投げて、
  (ⅰ) 表が出た場合、
      Xn=Xn-1+2 (X0、X1、・・・・、Xn-1がすべて正のとき)
      Xn=Xn-1+1 (X0、X1、・・・・、Xn-1のうちの少なくとも1つが
                                  0以下のとき)
     とおく.
  (ⅱ) 裏が出た場合、
      Xn=Xn-1-1
     とおく。

 (1) X3=1となる確率を求めよ。

 (2) XN=2N+2となる確率を求めよ。

 (3) 上で行なったN回のコイン投げで裏が2回以上出た場合は、
    XN≦2N-4となることを示せ。

 (4) XN=2N-1となる確率を求めよ。

 (5) XN=2N-4となる確率を求めよ。



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  1. 2013/07/24(水) 23:57:00|
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2013京都工芸繊維大 後期 数学4



第4問

  aを正の実数とする。Oを原点とするxy平面内に、3次関数 y=⁢ax3-1
  のグラフC1と、Oを中心とし点P(0,-1)を通る円C2がある。C1とC2
  P以外の共有点をただ1つもつとし、その点をQで表す。aの値およびQの
  座標を求めよ。



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  1. 2013/07/25(木) 23:57:00|
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