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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013京都工芸繊維大 前期 数学1



第1問

  一辺の長さが1の正十角形Dが平面上にある。Dの外接円をCとおき、
  Cの中心をO、Cの半径をRとおく。Dの頂点P1、P2、・・・、P10はC
  上でこの順に反時計回りに並んでいるとする。点P2、P3から直線OP1
  へ下ろした垂線をそれぞれP2H2、P3H3とする。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf R=\frac{1}{2\sin\theta_1}\end{align*}}$ を満たす$\small\sf{\theta}$ 1(0°<$\small\sf{\theta}$ 1<90°)を求めよ。

 (2) P1H2=sin$\small\sf{\theta}$ 2、H2H3=cos$\small\sf{\theta}$ 3を満たす$\small\sf{\theta}$ 2、$\small\sf{\theta}$ 3
    ( 0°<$\small\sf{\theta}$ 2<90 °、0°<$\small\sf{\theta}$ 3<90°)を求めよ。

 (3) 等式 P1H2+H2H3+H3O=Rを用いて、sin18°の値を求めよ。

 (4) Dの面積をSとするとき、S2の値を求めよ。



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  1. 2013/07/18(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 前期 2013
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2013京都工芸繊維大 前期 数学2



第2問

  関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=-\frac{5}{2}x(x-1)\end{align*}}$
  を考える。aを実数とし、実数b、cをb=f(a)、c=f(b)により定める。

 (1) 不等式a<bを満たすようなaの値の範囲を求めよ。

 (2) 連立不等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf (*)\ \left\{ \begin{array}{ll}\sf a\lt b \\ \sf b>c \\\end{array} \right.\end{align*}}$
    を満たすようなaの値の範囲を求めよ。

 (3) (2)の連立不等式(*)が成り立つとき、cとf(c)の大小を判定せよ。



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  1. 2013/07/19(金) 23:57:00|
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2013京都工芸繊維大 前期 数学3



第3問

  aを正の定数とし、mを自然数とする。xy平面上の2曲線
        $\small\sf{\sf C_1:\ y=ax^2\ \ (x\geqq 0)}$
        $\small\sf{\sf C_2:\ y=(\log x)^m\ \ (x\geqq 1)}$
  および点Pは次の条件を満たしている。
     C1とC2はPを通り、PにおけるC1の接線とPにおける
     C2の接線は一致する。

 (1) aの値およびPのx座標をmを用いて表せ。

 (2) 関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{(\log x)^m}{x^2}\ \ (x\geqq 1)\end{align*}}$ の最大値を求め、x≧1において
    不等式 $\small\sf{\sf ax^2\geqq (\log x)^m}$ が成り立つことを示せ。

 (3) 自然数nに対して、不定積分$\small\sf{\sf \int(\log x)^n\ dx}$ をInとおく。n≧2
    のとき、部分積分法により、InをIn-1を用いて表せ。

 (4) m=2のとき、C1、C2およびx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。



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  1. 2013/07/20(土) 23:57:00|
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2013京都工芸繊維大 前期 数学4



第4問

  xy平面上の曲線
        $\small\sf{\begin{align*} \sf C:\ y=\frac{1}{x}\ \ \ (x>0)\end{align*}}$
  を考える。0<p<q のとき、C上の2点
        $\small\sf{\begin{align*} \sf P\left(p\ ,\ \frac{1}{p}\right)\ \ ,\ \ Q\left(p\ ,\ \frac{1}{q}\right)\end{align*}}$
  を通る直線とCで囲まれる図形の面積をSとし、その図形をx軸の
  まわりに1回転してできる回転体の体積をVとする。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{q}{p}\end{align*}}$ とおくとき、SおよびVの値をp、rを用いて表せ。

 (2) 自然数nに対して、p=3n-1、q=3nのときのVの値をVnとおく。
    無限級数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}V_n\end{align*}}$ の和を求めよ。




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  1. 2013/07/21(日) 23:57:00|
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