第1問
一辺の長さが1の正十角形Dが平面上にある。Dの外接円をCとおき、
Cの中心をO、Cの半径をRとおく。Dの頂点P1、P2、・・・、P10はC
上でこの順に反時計回りに並んでいるとする。点P2、P3から直線OP1
へ下ろした垂線をそれぞれP2H2、P3H3とする。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf R=\frac{1}{2\sin\theta_1}\end{align*}}$ を満たす$\small\sf{\theta}$ 1（0°＜$\small\sf{\theta}$ 1＜90°）を求めよ。
(2) P1H2=sin$\small\sf{\theta}$ 2、H2H3=cos$\small\sf{\theta}$ 3を満たす$\small\sf{\theta}$ 2、$\small\sf{\theta}$ 3
（ 0°＜$\small\sf{\theta}$ 2＜90 °、0°＜$\small\sf{\theta}$ 3＜90°）を求めよ。
(3) 等式 P1H2+H2H3+H3O=Rを用いて、sin18°の値を求めよ。
(4) Dの面積をSとするとき、S2の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
まず、Dは正十角形なので、
∠P1OP2=∠P2OP3=･･･=∠P10OP1=36°
であり、1つの内角の大きさは、
180－36=144°．
P1P10の中点をMとおくと、
P1P10⊥OMより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\angle P_1OM=\frac{P_1M}{OP_1}=\frac{1}{2R}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ R=\frac{1}{2\sin\angle P_1OM}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta_1=\angle P_1OM=\frac{1}{2}\angle P_1OP_{10}=\underline{\ 18^{\circ}\ }\end{align*}}$ ．
(2)
△P1P2H2において、P1P2=1より、
P1H2=sin∠P1P2H2
となり、
∠P2P1H2=72°
∠P1P2H2=18°
なので、
$\scriptsize\sf{\theta}$ 2=18° ．
一方、P3H3に垂線P2Nを下ろすと、
△P2P3Nにおいて、P2P3=1より、
H2H3=P2N=cos∠P3P2N
となり、
∠P3P2N=144－∠P1P2H2－∠H2P2N=36°
なので、
$\scriptsize\sf{\theta}$ 3=36° ．
(3)
△OP3H3において、
OP3=R、 ∠P3OH3=72°、∠OP3H3=18°
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OH=OP_3\ \sin\angle OP_3H_3=\frac{1}{2\sin 18^{\circ}}\cdot\sin 18^{\circ}=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
これと(1)、(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_1H_2+H_2H_3+H_3O=R\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin 18^{\circ}+\cos 36^{\circ}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2\sin 18^{\circ}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin 18^{\circ}+\left(1-2\sin^2 18^{\circ}\right)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2\sin 18^{\circ}}\end{align*}}$ ←倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\sin^3 18^{\circ}-2\sin^2 18^{\circ}-3\sin 18^{\circ}+1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\sin 18^{\circ}-1\right)\left(4\sin^2 18^{\circ}+2\sin 18^{\circ}-1\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin 18^{\circ}=\underline{\ \frac{-1+\sqrt5}{4}\ }\ \ \ (\because 0<\sin18^{\circ}<1)\end{align*}}$ ．
(4)
△OP1P1の面積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OM=OP_1\ \cos 18^{\circ}=\frac{\cos 18^{\circ}}{2\sin 18^{\circ}}\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OP_1P_{10}=\frac{1}{2}\cdot P_1P_{10}\cdot OM=\frac{\cos 18^{\circ}}{4\sin 18^{\circ}}\end{align*}}$
となる。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S^2=\left(10\triangle OP_1P_{10}\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{25\cos^218^{\circ}}{4\sin^218^{\circ}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{25(1-\sin^218^{\circ})}{4\sin^218^{\circ}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{25}{4}\cdot\frac{1-\frac{-1+\sqrt5}{4}}{\frac{-1+\sqrt5}{4}}\end{align*}}$ ←(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{25}{4}\left(5+2\sqrt5\right)\ }\end{align*}}$
うまく誘導に乗っていけるでしょうか？
図をきちんと描きましょう。
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- 2013/07/18(木) 23:57:00|
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第2問
関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=-\frac{5}{2}x(x-1)\end{align*}}$
を考える。aを実数とし、実数b、cをb=f(a)、c=f(b)により定める。
(1) 不等式a＜bを満たすようなaの値の範囲を求めよ。
(2) 連立不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf (*)\ \left\{ \begin{array}{ll}\sf a\lt b \\ \sf b>c \\\end{array} \right.\end{align*}}$
を満たすようなaの値の範囲を求めよ。
(3) (2)の連立不等式(*)が成り立つとき、cとf(c)の大小を判定せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
b=f(a)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a\lt b=-\frac{5}{2}a(a-1)\ \ \Leftrightarrow \ \ 5a^2-3a<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow \ \ \underline{\ 0\lt a<\frac{3}{5}\ }\end{align*}}$
(2)
c=f(b)なので、(1)と同様にすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b\lt c=-\frac{5}{2}b(b-1)\ \ \Leftrightarrow \ \ b<0\ ,\ \frac{3}{5}\lt b\end{align*}}$
(ⅰ) b＜0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=-\frac{5}{2}a(a-1)<0\ \ \Leftrightarrow \ \ a<0\ ,\ 1\lt a\end{align*}}$
(ⅱ) b＞$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{5}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=-\frac{5}{2}a(a-1)>\frac{3}{5}\ \ \Leftrightarrow \ \ 25a^2-25a+6<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{2}{5}\lt a<\frac{3}{5}\end{align*}}$
これらと(1)より、連立不等式(*)を満たすaの値の範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{2}{5}\lt a<\frac{3}{5}\ }\end{align*}}$
(3)
(2)のとき、(2)(ⅱ)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{3}\lt b\end{align*}}$
であり、f(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=-\frac{5}{2}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{8}\leqq \frac{5}{8}\end{align*}}$
と変形できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{3}\lt b=f\ (a)\leqq \frac{5}{8}\end{align*}}$ ････①
f(x)は区間 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{5}\lt x\leqq \frac{5}{8}\end{align*}}$ において、単調に減少するので、
①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ \left(\frac{3}{5}\right)>f\ (b)\geqq f\ \left(\frac{5}{8}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ 0<\frac{75}{128}\leqq c< \frac{3}{5}\end{align*}}$
(1)と同様に考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt c<\frac{3}{5}\ \ \Leftrightarrow\ \ 5x^2-3c\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ c<-\frac{5}{2}c(c-1)\end{align*}}$
となるので、c＜f(c)である。
下図のように、y=f(x)とy=xのグラフにおいて、
赤い矢印のように
(a，0)→(a，b)→(b，b)→(b，c)→(c，c)→(c，f(c))
と点をたどっていくと、c＜f(c)となることが分かると思います。
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- 2013/07/19(金) 23:57:00|
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第3問
aを正の定数とし、mを自然数とする。xy平面上の2曲線
$\small\sf{\sf C_1:\ y=ax^2\ \ (x\geqq 0)}$
$\small\sf{\sf C_2:\ y=(\log x)^m\ \ (x\geqq 1)}$
および点Pは次の条件を満たしている。
C1とC2はPを通り、PにおけるC1の接線とPにおける
C2の接線は一致する。
(1) aの値およびPのx座標をmを用いて表せ。
(2) 関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{(\log x)^m}{x^2}\ \ (x\geqq 1)\end{align*}}$ の最大値を求め、x≧1において
不等式 $\small\sf{\sf ax^2\geqq (\log x)^m}$ が成り立つことを示せ。
(3) 自然数nに対して、不定積分$\small\sf{\sf \int(\log x)^n\ dx}$ をInとおく。n≧2
のとき、部分積分法により、InをIn-1を用いて表せ。
(4) m=2のとき、C1、C2およびx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
関数g(x)、h(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=ax^2\ \ (x\geqq 0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ (x)=(\log x)^m\ \ (x\geqq 1)\end{align*}}$
とおくと、それぞれ導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(x)=2ax\ \ ,\ \ h\ '(x)=\frac{m\left(\log x\right)^{m-1}}{x}\end{align*}}$ .
点Pのx座標をpとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (p)=h\ (p)\ \ \Leftrightarrow\ \ ap^2=(\log p)^m\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(p)=h\ '(p)\ \ \Leftrightarrow\ \ 2ap=\frac{m(\log p)^{m-1}}{p}\end{align*}}$ .
これら2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{(\log p)^m}{p^2}=\frac{m(\log p)^{m-1}}{2p^2}\end{align*}}$
となり、a＞0より、logp≠0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log p=\frac{m}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ p=e^{\frac{m}{2}}\end{align*}}$ .
よって、Pの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P\left(e^{\frac{m}{2}}\ ,\ \left(\frac{m}{2}\right)^m\right)\ }\end{align*}}$
であり、aの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{\left(\frac{m}{2}\right)^m}{e^m}=\underline{\ \left(\frac{m}{2e}\right)^m\ }\end{align*}}$
(2)
f(x)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{m(\log x)^{m-1}\cdot\frac{1}{x}\cdot x^2-(\log x)^m\cdot 2x}{x^4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{(\log x)^{m-1}(2\log x-m)}{x^3}\end{align*}}$
となるので、f(x)の増減は次のようになる。
よって、x≧1におけるf(x)の最大値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ \left(e^{\frac{m}{2}}\right)=\frac{\left(\frac{m}{2}\right)^m}{\left(e^{\frac{m}{2}}\right)^2}=\underline{\ \left(\frac{m}{2e}\right)^m\ }\end{align*}}$ .
このとき、(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)\leqq \left(\frac{m}{2e}\right)^m\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{(\log x)^m}{x^2}\leqq a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ ax^2\geqq (\log x)^m\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(3)
n≧2のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf n}\sf =\int(x)'(\log x)^n\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x(\log x)^n-\int x\cdot n(\log x)^{n-1}\cdot\frac{1}{x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x(\log x)^n-n\int (\log x)^{n-1}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ x(\log x)^n-n\ \rm I_{\sf n-1}\ }\end{align*}}$
(4)
m=2のとき、C1、C2は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ y=\left(\frac{2}{2e}\right)^2x^2=\frac{x^2}{e^2}\ \ (x\geqq 0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_2:\ y=(\log x)^2\ \ (x\geqq 1)\end{align*}}$
であり、交点Pの座標はP(e，1)となる。
よって、C1、C2、x軸の位置関係は
右図のようになるので、これらで囲まれる
部分の面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^e\frac{x^2}{e^2}\ dx-\int_1^e(\log x)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{x^3}{3e^2}\right]_0^e-\bigg[x(\log x)^2\bigg]_1^e+2\int_1^e\log x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{e^3}{3e^2}-0\right)-\left(e\cdot1^2-0\right)+2\bigg[x\log x-x\bigg]_1^e\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{e}{3}-e+2\left(e-e\right)-2\left(0-1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2-\frac{2e}{3}\ }\end{align*}}$
うまく誘導に乗っていきましょう。
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- 2013/07/20(土) 23:57:00|
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第4問
xy平面上の曲線
$\small\sf{\begin{align*} \sf C:\ y=\frac{1}{x}\ \ \ (x>0)\end{align*}}$
を考える。0＜p＜q のとき、C上の2点
$\small\sf{\begin{align*} \sf P\left(p\ ,\ \frac{1}{p}\right)\ \ ,\ \ Q\left(p\ ,\ \frac{1}{q}\right)\end{align*}}$
を通る直線とCで囲まれる図形の面積をSとし、その図形をx軸の
まわりに1回転してできる回転体の体積をVとする。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{q}{p}\end{align*}}$ とおくとき、SおよびVの値をp、rを用いて表せ。
(2) 自然数nに対して、p=3n-1、q=3nのときのVの値をVnとおく。
無限級数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}V_n\end{align*}}$ の和を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
直線PQの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\frac{1}{p}=\frac{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}{q-p}\left(x-p\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{1}{pq}\left(x-p-q\right)\end{align*}}$
となり、曲線Cとの位置関係は右図のようになるので、
囲まれる部分の面積Sは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_p^q\left\{-\frac{1}{pq}\left(x-p-q\right)-\frac{1}{x}\right\}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-\frac{1}{2pq}\left(x-p-q\right)^2-\log x\right]_p^q\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2pq}\left(p^2-q^2\right)-\left(\log q-\log p\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(\frac{q}{p}-\frac{p}{q}\right)-\log\frac{q}{p}\end{align*}}$ ．
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{q}{p}\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\underline{\ \frac{1}{2}\left(r-\frac{1}{r}\right)-\log r\ }\end{align*}}$ ．
また、囲まれた部分をx軸の回りに回転してできる立体の体積Vは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\int_p^q\pi\left\{\frac{1}{p^2q^2}\left(x-p-q\right)^2-\frac{1}{x^2}\right\}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left[\frac{1}{3p^2q^2}\left(x-p-q\right)^3+\frac{1}{x}\right]_p^q\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{3p^2q^2}\left(-p^3+q^3\right)+\pi\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{p}\right)\end{align*}}$
となり、q=prを代入すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{\pi}{3p^4r^2}\left(-p^3+p^3r^3\right)+\pi\left(\frac{1}{pr}-\frac{1}{p}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{3pr^2}\left(r^3-3r^2+3r-1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi}{3pr^2}\left(r-1\right)^3\ }\end{align*}}$ ．
(2)
(1)で求めたVに
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=3^{n-1}\ \ ,\ \ r=\frac{3^n}{3^{n-1}}=3\end{align*}}$
を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_n=\frac{\pi}{3\cdot3^{n-1}\cdot 3^2}\left(3-1\right)^3=\frac{8\pi}{27}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\end{align*}}$
となり、{Vn}は等比数列をなす。
0＜公比＜1なので、求める無限級数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}V_n=\frac{8\pi}{27}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{3}}"\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ =\frac{4\pi}{9}\ }\end{align*}}$ ．
Vは思っていた以上にきれいな形になりましたね。
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- 2013/07/21(日) 23:57:00|
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