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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010大阪大 理系数学1





第1問

  $\small\sf{\sf f(x)=2\log (1+e^x)-x-\log 2}$
  を考える。ただし、対数は自然対数であり、eは自然対数の底とする。

 (1) f(x)の第2次導関数をf”(x)とする。等式
       $\small\sf{\sf \log f''(x)=-f(x)}$
    が成り立つことを示せ。

 (2) 定積分
      $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\log2}\ (x-\log2)\ e^{-f(x)}\ dx\end{align*}}$
    を求めよ。


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  1. 2011/10/07(金) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2010
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2010大阪大 理系数学2





第2問

  $\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt \theta\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ とする。2つの曲線
    $\small\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ x^2+3y^2=3\ \ ,\ \ C_2:\ \frac{x^2}{\cos^2\theta}-\frac{y^2}{\sin^2\theta}=2\end{align*}}$
  の交点のうち、x座標とy座標がともに正であるものをPとする。Pにおける
  C1、C2の接線をL1、L2とし、y軸とL1、L2の交点をそれぞれQ、Rとする。
  $\small\sf{\theta}$ が$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt \theta\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲を動くとき、線分QRの長さの最小値を求めよ。

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  1. 2011/10/08(土) 23:57:00|
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2010大阪大 理系数学3




第3問

  L、m、nを3以上の整数とする。等式
      $\small\sf{\begin{align*} \sf \left( \frac{n}{m}-\frac{n}{2}+1\right)\ L=2\end{align*}}$ ・・・・(※)
  を満たす L、m、nの組をすべて求めよ。


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  1. 2011/10/09(日) 23:57:00|
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2010大阪大 理系数学4




第4問

  半径3の球T1と半径1の球T2が、内接した状態で空間に固定されている。
  半径1の球Sが次の条件(A)、(B)を同時に満たしながら動く。
    (A) SはT1の内部にあるかT1に内接している。
    (B) SはT2の外部にあるかT2に外接している。
  Sの中心が存在しうる範囲をDとするとき、立体Dの体積を求めよ。
    

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  1. 2011/10/10(月) 23:57:00|
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2010大阪大 理系数学5



第5問

   nを0以上の整数とする。立方体ABCD-EFGHの頂点を、以下のように移動
  する2つの動点P、Qを考える。時刻0にはPは頂点Aに位置し、Qは頂点Cに位置
  している。時刻nにおいて、PとQが異なる頂点に位置していれば、時刻n+1には、
  Pは時刻nに位置していた頂点から、それに隣接する3頂点のいずれかに等しい確
  率で移る。一方、時刻nにおいて、PとQが同じ頂点に位置していれば、時刻n+1
  にはPもQも時刻nの位置からは移動しない。

 (1) 時刻1において、PとQが異なる頂点に位置するとき、PとQはどの頂点に
    あるか。可能な組み合わせをすべて挙げよ。

 (2) 時刻nにおいて、PとQが異なる頂点に位置する確率rnを求めよ。

 (3) 時刻nにおいて、PとQがともに上面ABCDの異なる頂点に位置するか、
    またはともに下面EFGHの異なる頂点に位置するかのいずれかである確率
    をpnとする。また、時刻nにおいて、PとQのいずれか一方が上面BACD、
    他方が下面EFGHにある確率をqnとする。Pn+1を、pnとqnを用いて表せ。

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{q_n}{p_n}\end{align*}}$ を求めよ。

図04









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  1. 2011/10/11(火) 23:57:00|
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