第1問
$\small\sf{\sf f(x)=2\log (1+ｅ^x)-x-\log 2}$
を考える。ただし、対数は自然対数であり、ｅは自然対数の底とする。
(1) f(x)の第2次導関数をf”(x)とする。等式
$\small\sf{\sf \log f''(x)=-f(x)}$
が成り立つことを示せ。
(2) 定積分
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\log2}\ (x-\log2)\ e^{-f(x)}\ dx\end{align*}}$
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{2e^x}{1+e^x}-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=\frac{2e^x(1+e^x)-2e^x\cdot e^x}{(1+e^x)^2}=\frac{2e^x}{(1+e^x)^2}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log f\ ''(x)=\log\frac{2e^x}{(1+e^x)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log2+\log e^x-\log(1+e^x)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log2+x-2\log(1+e^x)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-f(x)\end{align*}}$
以上より示された。
(1)はそのまま計算するだけですね。
(2)
(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=e^{-f(x)}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\log2}\ (x-\log2)\ e^{-f(x)}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\log2}\ (x-\log2)\ f\ ''(x)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[ (x-\log2)\ f\ '(x)\right]_0^{\log2} -\int_0^{\log2}\ f\ '(x)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[ (x-\log2)\left( \frac{2e^x}{1+e^x}-1\right)\right]_0^{\log2} -\left[ f(x)\right]_0^{\ \log2\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-f(\log2)+f(0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 3\log2-2\log3\ \ }\end{align*}}$
(1)の結論を使ってそのまま計算するだけですね。
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- 2011/10/07(金) 23:57:00|
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第2問
$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt \theta\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ とする。2つの曲線
$\small\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ x^2+3y^2=3\ \ ,\ \ C_2:\ \frac{x^2}{\cos^2\theta}-\frac{y^2}{\sin^2\theta}=2\end{align*}}$
の交点のうち、x座標とy座標がともに正であるものをPとする。Pにおける
C1、C2の接線をL1、L2とし、y軸とL1、L2の交点をそれぞれQ、Rとする。
$\small\sf{\theta}$ が$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt \theta\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲を動くとき、線分QRの長さの最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ x^2+3y^2=3\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=3-3y^2\end{align*}}$ ････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_2:\ \frac{x^2}{\cos^2\theta}-\frac{y^2}{\sin^2\theta}=2\ \ \Leftrightarrow\ \ (\sin^2\theta)x^2-(\cos^2\theta)y^2=2\sin^2\theta\cos^2\theta\end{align*}}$ ････②
①を②に代入すると、
$\scriptsize\sf{\sf 3\sin^2\theta-(3\sin^2\theta)y^2-(\cos^2\theta)y^2=2\sin^2\theta\cos^2\theta}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (3\sin^2\theta+\cos^2\theta)y^2=\sin^2\theta(3-2\cos^2\theta)}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (2\sin^2\theta+1)y^2=\sin^2\theta(2\sin^2\theta+1)\ \ \ (\because\ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1）}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y^2=\sin^2\theta\ \ \ (\because\ 2\sin^2\theta+1\ne 0)}$
ここで、$\scriptsize\sf{\sf \sin\theta\gt 0}$ より、
$\scriptsize\sf{\sf y=\sin\theta}$ ．
これと①より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\sqrt3\cos\theta\ (\gt 0)\end{align*}}$
よって、点Pの座標は、$\scriptsize\sf{\sf P(\sqrt3\ \cos\theta\ ,\ \sin\theta)}$ となる。
点PにおけるC1の接線L1
$\scriptsize\sf{\sf L_1:\ (\sqrt3\ \cos\theta)x+(3\sin\theta)=3}$
x=0のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{\sin\theta}\end{align*}}$
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q\left(0\ ,\ \frac{1}{\sin\theta}\right)\end{align*}}$
一方、点PにおけるC2の接線L2
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_2:\ \frac{\sqrt3\cos\theta}{\cos^2\theta}x-\frac{\sin\theta}{\sin^2\theta}y=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\sf \sin\theta\ne 0\ ,\ \ \cos\theta\ne 0}$ なので、x=0のとき、$\scriptsize\sf{\sf y=-2\sin\theta}$
よって、$\scriptsize\sf{\sf R(0,\ -2\theta)}$
ここで、$\scriptsize\sf{\sf \sin\theta\gt 0}$ より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sin\theta}>-2\sin\theta\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf QR=\frac{1}{\sin\theta}-(-2\sin\theta)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sin\theta}+2\sin\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \geqq 2\sqrt{\frac{1}{\sin\theta}\cdot2\sin\theta}\end{align*}}$ （相加･相乗平均）
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = 2\sqrt{2}\end{align*}}$
以上より、QRの最小値は、$\scriptsize\sf{\sf \underline{2\sqrt{2}\ \ }}$
最小値をとる$\scriptsize\sf{\theta}$ の値も求めておくと････
相加・相乗平均の等号が成立するのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} {\color {blue} \sf \frac{1}{\sin\theta}=2\sin\theta\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\theta=\frac{1}{\sqrt2}\ \ (>0) }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} {\color {blue} \sf \Leftrightarrow\ \ \theta=\frac{\pi}{4}\ \ \ \left(\ \because\ \ 0<\theta<\frac{\pi}{2}\ \right) }\end{align*}}$
とまぁ、こんな感じでしょうか。
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- 2011/10/08(土) 23:57:00|
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第3問
L、m、nを3以上の整数とする。等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left( \frac{n}{m}-\frac{n}{2}+1\right)\ L=2\end{align*}}$ ････(※)
を満たす L、m、nの組をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(※)式の両辺に2mをかけると、
(2n－mn+2m)L=4m
⇔ (mn－2m－2n)L=－4m
⇔ {(m－2)(n－2)－4}L=－4m
右辺＜0より、(m－2)(n－2)＜4
ここで、m、nは3以上の整数なので、
(m－2)(n－2)≧1
よって、
1≦(m－2)(n－2)≦3
となり、これを満たすm－2、n－2の組は、
(m－2，n－2)=(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(3，1)
⇔ (m，n)=(3，3)、(3，4)、(3，5)、(4，3)、(5，3)
これらを(※)式に代入してLの値を求めると、
それぞれ4，6，12，8，20になるので、
求めるL、m、nの組は、
(L，m，n)=(4，3，3)、(6，3，4)、(12，3，5)、(8，4，3)、(20，5，3)
二次式 mn－2m－2n を (m－2)(n－2)－4 のように変形するのは、
整数方程式ではよくあるパターンですね。
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第4問
半径3の球T1と半径1の球T2が、内接した状態で空間に固定されている。
半径1の球Sが次の条件(A)、(B)を同時に満たしながら動く。
(A) SはT1の内部にあるかT1に内接している。
(B) SはT2の外部にあるかT2に外接している。
Sの中心が存在しうる範囲をDとするとき、立体Dの体積を求めよ。
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第5問
nを0以上の整数とする。立方体ABCD－EFGHの頂点を、以下のように移動
する2つの動点P、Qを考える。時刻0にはPは頂点Aに位置し、Qは頂点Cに位置
している。時刻nにおいて、PとQが異なる頂点に位置していれば、時刻n+1には、
Pは時刻nに位置していた頂点から、それに隣接する3頂点のいずれかに等しい確
率で移る。一方、時刻nにおいて、PとQが同じ頂点に位置していれば、時刻n+1
にはPもQも時刻nの位置からは移動しない。
(1) 時刻1において、PとQが異なる頂点に位置するとき、PとQはどの頂点に
あるか。可能な組み合わせをすべて挙げよ。
(2) 時刻nにおいて、PとQが異なる頂点に位置する確率rnを求めよ。
(3) 時刻nにおいて、PとQがともに上面ABCDの異なる頂点に位置するか、
またはともに下面EFGHの異なる頂点に位置するかのいずれかである確率
をpnとする。また、時刻nにおいて、PとQのいずれか一方が上面BACD、
他方が下面EFGHにある確率をqnとする。Pn+1を、pnとqnを用いて表せ。
(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{q_n}{p_n}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
時刻nにおけるPとQの位置を
Tn=(Pの位置する頂点，Qの位置する頂点)
のように書くことにする。
例えば、時刻0の状態は、T0=(A，C) と表せる。
(1)
時刻1にPはB、D、Eのいずれかに移り、QはB、D、Gのいずれかに移る。
よって、PとQの位置の組み合わせは32=9通りあるが、
T1=(B，B)、(D，D)の場合は条件を満たさない。
よって、以下の7通りの組み合わせがある。
T1=(B，D)、(B，G)、(D，B)、(D，G)、(E，B)、(E，D)、(E，G)
(2)
まず(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_1=\frac{7}{9}\end{align*}}$
図の対称性より、T1の位置関係はいずれも、T0における2点の位置関係と
同じである（PとQが、いずれかの面の対角線の両端に位置している）。
時刻1にP、Qが異なる頂点に位置している状態から、時刻2にP、Qが異なる
頂点に位置する確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{9}\end{align*}}$ である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_2=\frac{7}{9}\ r_1=\left(\frac{7}{9} \right) ^2\end{align*}}$.
同様に考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_n=\frac{7}{9}\ r_{n-1}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_n=\underline{\left(\frac{7}{9} \right) ^n\ \ }\end{align*}}$
「対称性」という言葉は非常に便利です。
(3)
ア、Tn=(上面の点，上面の点)または、Tn=(下面の点，下面の点)のとき
例えば、Tn=(A，C)とすると、
Tn+1=(B，D)、(B，G)、(D，B)、(D，G)、(E，B)、(E，D)、(E，G)
であるが、このうち、
Tn+1=(上面，上面)、(下面，下面)となっているものは、3通り、
Tn+1=(上面，下面)、(下面，上面)となっているものは、4通りある。
図の対称性より、他の点で考えても同じ結果になる。
イ、Tn=(上面の点，下面の点)または、Tn=(下面の点，上面の点)のとき
例えば、Tn=(A，F)とすると、
Tn+1=(B，E)、(B，G)、(D，B)、(D，E)、(D，G)、(E，B)、(E，G)
であるが、このうち、
Tn+1=(上面，上面)、(下面，下面)となっているものは、2通り、
Tn+1=(上面，下面)、(下面，上面)となっているものは、5通りある。
図の対称性より、他の点で考えても同じ結果になる。
ア、イより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}=\frac{1}{3}p_n+\frac{2}{9}q_n\end{align*}}$ ････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{n+1}=\frac{4}{3}p_n+\frac{5}{9}q_n\end{align*}}$ ････②
状況をうまく整理しなければいけません。
(4)
まず、(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_1=\frac{1}{3}\ \ ,\ \ q_1=\frac{4}{9}\end{align*}}$
①×2－②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2p_{n+1}-q_{n+1}=\frac{1}{9}\left(2p_n-q_n \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{1}{9}\right)^n\left(2p_1-q_1 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ 2p_{n}-q_{n}=\frac{2}{9}\left(\frac{1}{9} \right)^{n-1}=2\left(\frac{1}{9}\right)^n\end{align*}}$ ････③
また、(2)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n}+q_{n}=r_n=\left(\frac{7}{9} \right)^{n}\end{align*}}$ ････④
(③+④)÷3をすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{9} \right)^{n}+\frac{1}{3}\left(\frac{7}{9}\right)^n\end{align*}}$
(④×2－③)÷3をすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_n=-\frac{2}{3}\left(\frac{1}{9} \right)^{n}+\frac{2}{3}\left(\frac{7}{9}\right)^n\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{q_n}{p_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{-\frac{2}{3}\left(\frac{1}{9} \right)^{n}+\frac{2}{3}\left(\frac{7}{9}\right)^n}{\frac{2}{3}\left(\frac{1}{9} \right)^{n}+\frac{1}{3}\left(\frac{7}{9}\right)^n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{-2\left(\frac{1}{7} \right)^{n}+2}{2\left(\frac{1}{7} \right)^{n}+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \ 2\ \ }\end{align*}}$
(3)の漸化式さえできていれば、あとは解くだけです。
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- 2011/10/11(火) 23:57:00|
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