第１問
等式
$\small\sf{\begin{align*}\sf |x-2y|=y+\sqrt{1-x}+1\end{align*}}$
を満たす整数の組(x，y)をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
与式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{1-x}=|x-2y|-y-1\end{align*}}$
と変形でき、x、yは整数なので、左辺は整数であり、
その値をkとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{1-x}=k\ (\geqq 0)\ \ \Leftrightarrow\ \ x=1-k^2\end{align*}}$ ････①
よって、与式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k=|1-k^2-2y|-y-1\end{align*}}$
と表せる。
(ⅰ) 1－k2－2y≧0 ････② のとき
与式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k=(1-k^2-2y)-y-1\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{1}{3}(k^2+k)\end{align*}}$ ････③
と変形できる。このとき②より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-k^2+\frac{2}{3}(k^2+k)\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ k^2-2k-3=(k+1)(k-3)\leqq 0\end{align*}}$
となり、kは0以上の整数なので、k＝0，1，2，3 ．
k＝0のとき、①、③より、x＝1、y＝0
k＝1のとき、③より、yは整数にならず不適
k＝2のとき、①、③より、x＝－3、y＝－2
k＝3のとき、①、③より、x＝－8、y＝－4
(ⅱ) 1－k2－2y＜0 ････④ のとき
与式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k=-(1-k^2-2y)-y-1\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-k^2+k+2\end{align*}}$ ････⑤
と変形できる。このとき④より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-k^2-2(-k^2+k+2)<0\ \ \Leftrightarrow\ \ k^2-2k-3=(k+1)(k-3)< 0\end{align*}}$
となり、kは0以上の整数なので、k＝0，1，2 ．
k＝0のとき、①、⑤より、x＝1、y＝2
k＝1のとき、①、⑤より、x＝0、y＝2
k＝2のとき、①、⑤より、x＝－3、y＝0
以上より、題意を満たす(x，y)の組は、
(1，0)、(1，2)、(0，2)、(-3，-2)、(-3，0)、(-8，-4)
である。
0以上の整数kを用いて $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{1-x}=k\end{align*}}$ とおく。これがすべてです。
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第２問
袋の中に0，1，2，3，4，5，6，7，8，9の数字を1つずつ書いた
カードが10枚入っている。袋からカード1枚を無作為に取り出して
数字を確認したのち、袋に戻す試行を考える。
(１) この試行を2回くり返すとする。確認した数字を順にX1、X2と
おくとき、等式X1＋X2＝X1X2が成り立つ確率を求めよ。
(２) この試行を3回くり返すとする。確認した数字を順にX1、X2、X3
とおくとき、等式X1＋X2＋X3＝X1X2X3が成り立つ確率を求めよ。
(２) この試行を4回くり返すとする。確認した数字を順にX1、X2、X3、X4
とおくとき、等式X1＋X2＋X3＋X4＝X1X2X3X4が成り立つ確率を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
X1≦X2とすると、
2X2≧X1＋X2＝X1X2 ⇔ 2≧X1
となるので、X1の値は、0、1、2のいずれかである。
・X1＝0のとき
X2＝0
・X1＝1のとき
1＋X2＝X2 となり、これを満たすX2は存在しない。
・X1＝2のとき
2＋X2＝2X2 ⇔ X2＝2
X1≧X2のときも同様に考えると、題意を満たすような
X1、X2の組は、
(X1，X2)＝(0，0)、(2，2)
の2組なので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{10^2}=\underline{\ \frac{1}{50}\ }\end{align*}}$
(２)
X1≦X2≦X3とすると、
3X3≧X1＋X2＋X3＝X1X2X3 ⇔ 3≧X1X2
となるので、X1X2の値は、0、1、2、3のいずれかである。
・X1X2＝0のとき
X1＝0 であり、このとき
X2＋X3＝0 ⇔ X2＝X3＝0
・X1X2＝1のとき
X1＝X2＝1 であり、このとき
1＋1＋X3＝X3 となるので、
これを満たすX3は存在しない。
・X1X2＝2のとき
X1＝1、X2＝2 であり、
1＋2＋X3＝2X3 ⇔ X3＝3
・X1X2＝3のとき
X1＝1、X2＝3 であり、
1＋3＋X3＝3X3 ⇔ X3＝2＜X2 となり不適。
よって、X1≦X2≦X3のとき、
題意を満たすようなX1、X2、X3の組は、
(X1，X2，X3)＝(0，0，0)、(1，2，3)
の2組あり、X1≦X2≦X3以外の場合を考えると、
(1，2，3)の順序の入れ換え方は、3!＝6通りあるので、
求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1+6}{10^3}=\underline{\ \frac{7}{1000}\ }\end{align*}}$
(３)
X1≦X2≦X3≦X4とすると、
4X4≧X1＋X2＋X3＋X4＝X1X2X3X4
⇔ 4≧X1X2X3
となるので、X1X2X3の値は、0、1、2、3、4のいずれかである。
・X1X2X3＝0のとき
X1＝0 であり、このとき
X2＋X3＋X4＝0 ⇔ X2＝X3＝X4＝0
・X1X2X3＝1のとき
X1＝X2＝X3＝1 であり、このとき
1＋1＋1＋X4＝X4 となるので、
これを満たすX4は存在しない。
・X1X2X3＝2のとき
X1＝X2＝1、X3＝2 であり、
1＋1＋2＋X4＝2X4 ⇔ X4＝4
・X1X2X3＝3のとき
X1＝X2＝1、X3＝3 であり、
1＋1＋3＋X4＝3X4 となるので
これを満たす整数X4は存在しない。
・X1X2X3＝4のとき
次の2つの場合が考えられる。
X1＝X2＝1、X3＝4 のとき、
1＋1＋4＋X4＝4X4 ⇔ X4＝2＜X3 となり不適
X1＝1、X2＝X3＝2 のとき、
1＋2＋2＋X4＝4X4 となるので
これを満たす整数X4は存在しない。
よって、X1≦X2≦X3≦X4のとき、
題意を満たすようなX1、X2、X3、X4の組は、
(X1，X2，X3，X4)＝(0，0，0，0)、(1，1，2，4)
の2組あり、X1≦X2≦X3≦X4以外の場合を考えると、
(1，1，2，4)の順序の入れ換え方は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{4\ !}{2\ !}=12\end{align*}}$ 通りあるので、
求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1+12}{10^4}=\underline{\ \frac{13}{10000}\ }\end{align*}}$
(１)に関しては、与式を
（X1－1)(X2－1)＝1
と変形して、X1、X2が整数であることを利用して、
(X1－1，X2－1)＝(－1，－1)、(1，1)
⇔ (X1，X2)＝(0，0)、(2，2)
のように持っていくことができますが、この方法では(２)、(３)が
行き詰まってしまいます。
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第３問
座標平面において原点を中心とする半径1の円をC1とし、点(1，0)を
中心とする半径3の円をC2とする。動点PはC1上を反時計回りに1秒間
に2回転の速さで等速円運動をし、動点QはC2上を反時計回りに1秒間
に1回転の速さで等速円運動をしている。時刻t＝0のとき、Pは点(0，1)
にあり、Qは点(4，0)にあるものとする。2点P，Q間の距離の2乗の最大
値と最小値、およびそれらをとるP、Qの座標を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
Qが進んだ角度を$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと、Pは同じ時間で2$\scriptsize\sf{\theta}$ 進むので、
P、Qの座標はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\left(\cos\left(2\theta+\frac{\pi}{2}\right)\ ,\ \sin\left(2\theta+\frac{\pi}{2}\right)\right)=\left(-\sin2\theta\ ,\ \cos2\theta\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q\left(3\cos\theta+1 \ ,\ 3\sin\theta\right)\end{align*}}$
と表せる。
2点P、Q間の距離の2乗をLとすると、、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L=\left(3\cos\theta+\sin2\theta+1\right)^2+\left(3\sin\theta-\cos2\theta\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =9cos^2\theta+\sin^22\theta+1+6\cos\theta\sin 2\theta+2\sin2\theta+6\cos\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf +9\sin^2\theta-6\cos2\theta\sin\theta+\cos^22\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\sin 2\theta+6(\sin2\theta\cos\theta-\cos2\theta\sin\theta)+6\cos\theta+11\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\sin 2\theta+6\sin(2\theta-\theta)+6\cos\theta+11\end{align*}}$ ←加法定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =4\sin\theta\cos\theta+6(\sin\theta+\cos\theta)+11\end{align*}}$ ←倍角公式
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf X=\sin\theta+\cos\theta\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf X^2=\sin^2\theta+\cos^2\theta+2\sin\theta\cos\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\sin\theta\cos\theta=X^2-1\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf X=\sqrt2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$
と変形できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\sqrt2\leqq X\leqq \sqrt2\end{align*}}$
これらより
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L=2(X^2-1)+6X+11\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2X^2+6X+9\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\left(X+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{2}\end{align*}}$ ．
Lが最大になるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf X=\sqrt2\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2n\pi\ \ \Leftrightarrow\ \theta=\frac{\pi}{4}+2n\pi\end{align*}}$
のときであり（n：整数）、このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L_{max}=2\cdot\left(\sqrt2\right)^2+6\cdot\sqrt2+9=\underline{\ 13+6\sqrt2\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\left(-\sin\frac{\pi}{2}\ ,\ \cos\frac{\pi}{2}\right)=\underline{\ \left(-1\ ,\ 0\right)\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q\left(3\cos\frac{\pi}{4}+1\ ,\ 3\sin\frac{\pi}{4}\right)=\underline{\ \left(\frac{3}{\sqrt2}+1\ ,\ \frac{3}{\sqrt2}\right)\ }\end{align*}}$
Lが最小になるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf X=-\sqrt2\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{2}+2n\pi\ \ \Leftrightarrow\ \theta=\frac{5\pi}{4}+2n\pi\end{align*}}$
のときであり（n：整数）、このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L_{min}=2\cdot\left(-\sqrt2\right)^2+6\cdot\left(-\sqrt2\right)+9=\underline{\ 13-6\sqrt2\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\left(-\sin\frac{5\pi}{2}\ ,\ \cos\frac{5\pi}{2}\right)=\underline{\ \left(-1\ ,\ 0\right)\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q\left(3\cos\frac{5\pi}{4}+1\ ,\ 3\sin\frac{5\pi}{4}\right)=\underline{\ \left(-\frac{3}{\sqrt2}+1\ ,\ -\frac{3}{\sqrt2}\right)\ }\end{align*}}$
加法定理に気づくかがポイントです。
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第４問
次の問いに答えよ。
(１) 関数
$\small\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{\sin^2x}{x}\end{align*}}$
の導関数を求めよ。
(２) n＝1，2，3に対して、
$\small\sf{\begin{align*}\sf a_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{|\sin x|}{x}\ dx\end{align*}}$
とおく。連立不等式
$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{2}\leqq x\leqq 2\pi\ \ ,\ \ 0\leqq y\leqq\left|\frac{\sin x}{x}\right|\end{align*}}$
によって表される領域の部分をx軸のまわりに1回転させてできる
立体の体積をa1、a2、a3を用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y\ '=\frac{2\sin x\cos x\cdot x-\sin^2x\cdot 1}{x^2}=\underline{\ \frac{\sin 2x}{x}-\frac{\sin^2x}{x^2}\ }\end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{\sin^2x}{x}\right)'= \frac{\sin 2x}{x}-\frac{\sin^2x}{x^2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\sin^2x}{x^2}=\frac{\sin 2x}{x}-\left(\frac{\sin^2x}{x}\right)'\end{align*}}$ ････①
また、$\scriptsize\sf{\pi}$ ≦x≦2$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲では、sinx≦0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_1=-\int_{\pi}^{2\pi}\frac{\sin x}{x}\ dx\end{align*}}$
2$\scriptsize\sf{\pi}$ ≦x≦3$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲では、sinx≧0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_2=\int_{2\pi}^{3\pi}\frac{\sin x}{x}\ dx\end{align*}}$
3$\scriptsize\sf{\pi}$ ≦x≦4$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲では、sinx≦0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_3=-\int_{3\pi}^{4\pi}\frac{\sin x}{x}\ dx\end{align*}}$
求める体積をVとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V=\pi\int_{\pi/2}^{2\pi}\left|\frac{\sin x}{x}\right|^2\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\pi\int_{\pi/2}^{2\pi}\left\{\frac{\sin 2x}{x}-\left(\frac{\sin^2x}{x}\right)'\right\}\ dx\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\pi\int_{\pi/2}^{2\pi}\frac{\sin 2x}{x}\ dx-\pi\bigg[\frac{\sin^2x}{x}\bigg]_{\pi/2}^{2\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\pi\int_{\pi}^{4\pi}\frac{\sin t}{\frac{t}{2}}\cdot\frac{dt}{2}-\pi\left(0-\frac{1}{\frac{\pi}{2}}\right)\end{align*}}$ ←t＝2xと置換
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\pi\int_{\pi}^{4\pi}\frac{\sin t}{t}\ dt+2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\pi\int_{\pi}^{2\pi}\frac{\sin t}{t}\ dt+\pi\int_{2\pi}^{3\pi}\frac{\sin t}{t}\ dt+\pi\int_{3\pi}^{4\pi}\frac{\sin t}{t}\ dt+2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \left(-a_1+a_2-a_3\right)\ \pi+2\ }\end{align*}}$
(１)の使い方に気づけば、それほど難しくないと思います。
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