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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012滋賀医科大 数学1



第1問

  xyz空間内の $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$ でないベクトル $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}=(x\ ,\ y\ ,\ z)\end{align*}}$ を考え、
          $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p\ '}=\frac{\overrightarrow{\sf p}}{|\overrightarrow{\sf p}|}\end{align*}}$
  とおく。

 (1) $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p\ '}\end{align*}}$ の大きさを求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$ とx軸、y軸、z軸の正の向きとのなす角をそれぞれ$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ 、γ
    とおくとき、 $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p\ '}\end{align*}}$ =(cos$\small\sf{\alpha}$ ,cos$\small\sf{\beta}$ ,cos$\small\sf{\gamma}$ )を示せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$ =(3,4,12)とする。頂点O(0,0,0)、A(a1,a2,a3)、
    B(b1,b2,b3)の△OABについて、 $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ =(a1,a2,a3)、
    $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ =(b1,b2,b3)はともに $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$ と垂直とする。△OABの面積をSと
    おくとき、xy平面上の点O、A’(a1,a2,0)、B’(b1,b2,0)が作る
    △OA’B’の面積をSを用いて表せ。



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2012滋賀医科大 数学2



第2問

  pを定数とする。初項a1=1の数列{an} (n=1,2,3,・・・)を
  次のように定める。
      $\small\sf{\begin{align*}\sf a_{n+1}-\frac{a_n}{2}\end{align*}}$ は整数、かつ $\small\sf{\begin{align*}\sf -\frac{1}{2}\lt a_{n+1}-p\leqq \frac{1}{2}\ \ (n=1\ ,\ 2\ ,\ 3\ ,\ \ldots)\end{align*}}$

 (1) p=0のとき、数列{an}の極限 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ a_n\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) p=1のとき、bn=a2n (n=1,2,3,・・・)で定まる数列{bn}の
    極限 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ b_n\end{align*}}$ を求めよ。

 (3) p=1のとき、数列{an}は収束するかどうか、理由を付けて答えよ。




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2012滋賀医科大 数学3



第3問

  正の整数nに対して、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf f\ _n(x)=\sum_{k=1}^n\left(-1\right)^{k+1}\left(\frac{x^{2k-1}}{2k-1}+\frac{x^{2k}}{2k}\right)\end{align*}}$
  を考える。

 (1) 導関数fn’(x)を求めよ。ただし和の記号Σを用いずに表せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^1\frac{1+x}{1+x^2}\ dx\end{align*}}$ を求めよ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ f _n(1)\end{align*}}$ を求めよ。
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \end{align*}}$


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2012滋賀医科大 数学4



第4問

  赤色、青色、黄色の箱を各一箱、赤色、青色、黄色の球を各一個
  用意して、各球を球と同じ色の箱に入れる。この状態からはじめて、
  次の操作をn回(n≧1)行う。
   【操作】三つの箱から二つの箱を任意に選び、その二つの箱の
       中の球を交換する

 (1) 赤色の球が赤色の箱の中に入っている確率を求めよ。

 (2) 箱とその中の球の色が一致している箱の個数の期待値を求めよ。

 (3) 赤色の球が赤色の箱に入っている事象と、青色の球が青色の箱に
    入っている事象は、互いに独立かどうか、理由を付けて答えよ。



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