第１問
xyz空間内の $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$ でないベクトル $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}=(x\ ,\ y\ ,\ z)\end{align*}}$ を考え、
$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p\ '}=\frac{\overrightarrow{\sf p}}{|\overrightarrow{\sf p}|}\end{align*}}$
とおく。
(１) $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p\ '}\end{align*}}$ の大きさを求めよ。
(２) $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$ とx軸、y軸、z軸の正の向きとのなす角をそれぞれ$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ 、γ
とおくとき、 $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p\ '}\end{align*}}$ ＝(cos$\small\sf{\alpha}$ ，cos$\small\sf{\beta}$ ，cos$\small\sf{\gamma}$ )を示せ。
(３) $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$ ＝(3，4，12)とする。頂点O(0，0，0)、A(a1，a2，a3)、
B(b1，b2，b3)の△OABについて、 $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ ＝(a1，a2，a3)、
$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ ＝(b1，b2，b3)はともに $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$ と垂直とする。△OABの面積をSと
おくとき、xy平面上の点O、A’(a1，a2，0)、B’(b1，b2，0)が作る
△OA’B’の面積をSを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf P\ '}\right|=\frac{\left|\overrightarrow{\sf P\ }\right|}{\left|\overrightarrow{\sf P\ }\right|}=\underline{\ 1\ }\end{align*}}$ ．
(２)
x軸正方向の単位ベクトルを
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf e_x}=\left(1\ ,\ 0\ ,\ 0\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf e_x}=|\overrightarrow{\sf p}|\ |\overrightarrow{\sf e_x}|\ \cos\alpha\ \ \Leftrightarrow\ \ x=|\overrightarrow{\sf p}|\ \cos\alpha\end{align*}}$ .
y軸方向、z軸方向についても同様に考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=|\overrightarrow{\sf p}|\ \cos\beta\ \ ,\ \ z=|\overrightarrow{\sf p}|\ \cos\gamma\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p\ '}=\frac{1}{|\overrightarrow{\sf p}|}\left(x\ ,\ y\ ,\ z\right)=\underline{\ \left(\cos\alpha\ ,\ \cos\beta\ ,\ \cos\gamma\right)\ }\end{align*}}$ ．
(３)
xyz空間内に点P(3，4，12)をとり、Pからxy平面に下ろした
垂線の足をP’とすると、
xy平面⊥平面OPP’ ････①
Oから直線ABに下ろした垂線の足をHとし、Hからxy平面に
下ろした垂線の足をH’とすると、
xy平面⊥平面OHH’ ････②
題意より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ はともに $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$ と垂直なので
OP⊥OA かつ OP⊥OB
より、OP⊥平面OABとなる。
よって、OP⊥ABであり、これとOH⊥ABより
AB⊥平面OPH
さらに、AB//A’B’であるから、
A’B’⊥平面OPH
となり、
xy平面⊥平面OPH ････③
①～③より、5点O、P、P’、H、H’は同一平面上にあり、
この平面はxy平面と垂直である。
よって、下図より、
△OPP’∽△OHH’
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OH\ '=\frac{OP\ '}{OP}\cdot OH=\frac{12}{\sqrt{3^2+4^2+12^2}}\ OH=\frac{12}{13}\ OH\end{align*}}$ ････④
これより、△OA’B’の面積をS’とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s'=\frac{1}{2}\ A'B'\cdot OH'\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\ AB\cdot\frac{12}{13}\ OH\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{12}{13}\ S\ }\end{align*}}$
(３)は、以下のような計算ごり押しでもいけますが、けっこう死にますよ（笑）
まず、題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}\perp\overrightarrow{\sf a}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf a}=3a_1+4a_2+12a_3=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ a_3=-\frac{a_1}{4}-\frac{a_2}{3}\end{align*}}$ ･･･(ア)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}\perp\overrightarrow{\sf b}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf b}=3b_1+4b_2+12b_3=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_3=-\frac{b_1}{4}-\frac{b_2}{3}\end{align*}}$ ･･･(イ)
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf {\color{blue}S=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\sf a}|^2\ |\overrightarrow{\sf b}|^2-\left(\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\right)^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf {\color{blue}=\frac{1}{2}\sqrt{(a_1^2+a_2^2+a_3^2)\ (b_1^2+b_2^2+b_3^2)-(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2}}\end{align*}}$
これに(ア)、(イ)を代入して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf {\color{blue}S=\frac{13}{24}\ \left|a_1b_2-a_2b_1\right|=\frac{13}{12}\ S\ '}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf {\color{blue}\ \ \Leftrightarrow\ \ S\ '=\underline{\ \frac{12}{13}\ S\ }}\end{align*}}$
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第２問
pを定数とする。初項a1＝1の数列{an} （n＝1，2，3，･･･）を
次のように定める。
$\small\sf{\begin{align*}\sf a_{n+1}-\frac{a_n}{2}\end{align*}}$ は整数、かつ $\small\sf{\begin{align*}\sf -\frac{1}{2}\lt a_{n+1}-p\leqq \frac{1}{2}\ \ (n=1\ ,\ 2\ ,\ 3\ ,\ \ldots)\end{align*}}$
(１) p＝0のとき、数列{an}の極限 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ a_n\end{align*}}$ を求めよ。
(２) p＝1のとき、bn＝a2n （n＝1，2，3，･･･）で定まる数列{bn}の
極限 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ b_n\end{align*}}$ を求めよ。
(３) p＝1のとき、数列{an}は収束するかどうか、理由を付けて答えよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
n→∞なので、n≧2としてよい。
p＝0のとき、題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{1}{2}\lt a_{n+1}\leqq\frac{1}{2}\end{align*}}$
および、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{1}{2}\lt a_{n}\leqq\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{1}{4}\leqq -\frac{a_n}{2}\lt\frac{1}{4}\end{align*}}$
が成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{3}{4}\lt a_{n+1}-\frac{a_n}{2}\lt\frac{3}{4}\end{align*}}$ ．
この範囲にある整数は0のみなので
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+1}-\frac{a_n}{2}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a_{n+1}=\frac{a_n}{2}\end{align*}}$
となり、数列{an}は、公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ の等比数列をなす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\ 1\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\underline{\ 0\ }\end{align*}}$ ．
(２)
p＝1のとき、任意のnに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{1}{2}\lt a_{n+1}-1\leqq\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}\lt a_{n+1}\leqq\frac{3}{2}\end{align*}}$ ････①
が成り立ち、これとa1＝1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt a_2-\frac{1}{2}\leqq 1\end{align*}}$
となり、この範囲にある整数は1のみなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_2-\frac{1}{2}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ a_2=\frac{3}{2}\end{align*}}$ ．
これと①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{1}{4}\lt a_3-\frac{3}{4}\leqq \frac{3}{4}\end{align*}}$
となり、この範囲にある整数は0のみなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_3-\frac{3}{4}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a_3=\frac{3}{4}\end{align*}}$ ．
これと①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{8}\lt a_4-\frac{3}{8}\leqq \frac{9}{8}\end{align*}}$
となり、この範囲にある整数は1のみなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_4-\frac{3}{8}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ a_4=\frac{11}{8}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{2n}=\frac{a_{2n-1}}{2}+1\ \ ,\ \ 1\lt a_{2n}\lt 2\end{align*}}$ ････(A)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{2n+1}=\frac{a_{2n}}{2}\ \ ,\ \ 0\lt a_{2n+1}\leqq 1\end{align*}}$ ････(B)
が成り立つと類推することができるので、これを数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n＝1のときは自明
(ⅱ) n＝kで成立すると仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{2k}=\frac{a_{2k-1}}{2}+1\ \ ,\ \ 1\lt a_{2k}\lt 2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{2k+1}=\frac{a_{2k}}{2}\ \ ,\ \ 0\lt a_{2k+1}\leqq 1\end{align*}}$ ････②
①、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt a_{2k+2}-\frac{a_{2k+1}}{2}\lt \frac{3}{2}\end{align*}}$
となり、この範囲にある整数は1のみなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{2k+2}-\frac{a_{2k+1}}{2}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ a_{2k+2}=\frac{a_{2k+1}}{2}+1\end{align*}}$
これと②より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1\lt a_{2k+2}\lt \frac{3}{2}\lt 2\end{align*}}$ ････③
となるので、n＝k＋1のときも(A)は成り立つ。
さらに、①、③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{1}{2}\lt a_{2k+3}-\frac{a_{2k+2}}{2}\lt 1\end{align*}}$
となり、この範囲にある整数は0のみなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{2k+3}-\frac{a_{2k+2}}{2}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a_{2k+3}=\frac{a_{2k+2}}{2}\end{align*}}$
これと③より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt \frac{1}{2}\lt a_{2k+3}\lt 1\end{align*}}$
となるので、n＝k＋1のときも(B)は成り立つ。
以上より、任意のnに対して(A)、(B)が成り立つことが示された。
これらより
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{2(n+1)}=\frac{a_{2n+1}}{2}+1=\frac{a_{2n}}{4}+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_{2(n+1)}-\frac{4}{3}=\frac{1}{4}\left(a_{2n}-\frac{4}{3}\right)\end{align*}}$
となるので、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left\{a_{2n}-\frac{4}{3}\right\}\end{align*}}$ は等比数列になる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{2n}-\frac{4}{3}=\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\left(a_{2}-\frac{4}{3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_{2n}=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}+\frac{4}{3}\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ b_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\ a_{2n}=\underline{\ \frac{4}{3}\ }\end{align*}}$ ．
(３)
(A)、(B)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{2n+1}=\frac{a_{2n}}{2}=\frac{1}{2}\left\{\frac{a_{2n-1}}{2}+1\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_{2n+1}-\frac{2}{3}=\frac{1}{4}\left(a_{2n-1}-\frac{2}{3}\right)\end{align*}}$
となるので、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left\{a_{2n-1}-\frac{2}{3}\right\}\end{align*}}$ は等比数列になる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{2n-1}-\frac{2}{3}=\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\left(a_{1}-\frac{2}{3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_{2n-1}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}+\frac{2}{3}\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ a_{2n-1}=\frac{2}{3}\end{align*}}$ ．
これと(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ a_{2n-1}\ne\lim_{n\rightarrow\infty}\ a_{2n}\end{align*}}$
となるので、数列{an}は収束しない。
{an}についての漸化式を作るわけですが、
n＝1，2，3，4，････と具体的に求めていけば、規則性に気づくと思います。
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第３問
正の整数nに対して、
$\small\sf{\begin{align*}\sf f\ _n(x)=\sum_{k=1}^n\left(-1\right)^{k+1}\left(\frac{x^{2k-1}}{2k-1}+\frac{x^{2k}}{2k}\right)\end{align*}}$
を考える。
(１) 導関数fn’(x)を求めよ。ただし和の記号Σを用いずに表せ。
(２) $\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^1\frac{1+x}{1+x^2}\ dx\end{align*}}$ を求めよ。
(３) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ f _n(1)\end{align*}}$ を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*}\sf \end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ _n'(x)=\sum_{k=1}^n\left(-1\right)^{k+1}\left(x^{2k-2}+x^{2k-1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\sum_{k=1}^n\left(-1\right)^{k-1}x^{2(k-1)}\left(1+x\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(1+x\right)\sum_{k=1}^n\left(-x^2\right)^{k-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(1+x\right)\cdot\frac{1-\left(-x^2\right)^n}{1-\left(-x^2\right)}\ \ \ \ \left(\because\ -x^2\ne 1 \right)\end{align*}}$ ←等比数列の和
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{\left(1+x\right)\left\{1-\left(-x^2\right)^n\right\}}{1+x^2}\ }\end{align*}}$
(２)
まず、x＝tan$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dx}{d\theta}=\frac{1}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
であり、x：0→1に対応する$\scriptsize\sf{\theta}$ は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{\pi}{4}<\theta <\frac{\pi}{4}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^1\frac{1}{1+x^2}\ dx=\int_0^{\pi /4}\frac{1}{1+\tan^2\theta}\cdot\frac{d\theta}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int_0^{\pi /4}\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ ．
一方、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^1\frac{x}{1+x^2}\ dx=\frac{1}{2}\int_0^1\frac{\left(1+x^2\right)'}{1+x^2}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\bigg[\log(1+x^2)\bigg]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\log 2\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^1\frac{1+x}{1+x^2}\ dx=\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\ dx+\int_0^1\frac{x}{1+x^2}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\log 2\ }\end{align*}}$
(３)
fn(0)=0より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f_n(1)=f_n(1)-f_n(0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\bigg[ f_n(x)\bigg]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int_0^1f\ _n'(x)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int_0^1\frac{\left(1+x\right)\left\{1-\left(-x^2\right)^n\right\}}{1+x^2}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int_0^1\frac{1+x}{1+x^2}\ dx-\int_0^1\frac{\left(1+x\right)\left(-x^2\right)^n}{1+x^2}\ dx\end{align*}}$ ……(#)
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\int_0^1\frac{\left(1+x\right)\left(-x^2\right)^n}{1+x^2}\ dx \right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left|\left(-1\right)^n\int_0^1\frac{x^{2n}+x^{2n+1}}{1+x^2}\ dx \right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int_0^1\frac{x^{2n}+x^{2n+1}}{1+x^2}\ dx \ \ \ \ \left(\because\ 0\leqq x\leqq 1 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf <\int_0^1\frac{x^{2n}+x^{2n+1}}{2}\ dx \ \ \ \ \left(\because\ 0\leqq x\leqq 1 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\left[\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}\right)\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}\right)=0\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^1\frac{\left(1+x\right)\left(-x^2\right)^n}{1+x^2}\ dx=0\end{align*}}$ ．
よって、(#)と(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ f_n(1)=\int_0^1\frac{1+x}{1+x^2}\ dx=\underline{\ \frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\log 2\ }\end{align*}}$
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第４問
赤色、青色、黄色の箱を各一箱、赤色、青色、黄色の球を各一個
用意して、各球を球と同じ色の箱に入れる。この状態からはじめて、
次の操作をn回（n≧1）行う。
【操作】三つの箱から二つの箱を任意に選び、その二つの箱の
中の球を交換する
(１) 赤色の球が赤色の箱の中に入っている確率を求めよ。
(２) 箱とその中の球の色が一致している箱の個数の期待値を求めよ。
(３) 赤色の球が赤色の箱に入っている事象と、青色の球が青色の箱に
入っている事象は、互いに独立かどうか、理由を付けて答えよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
n（≧0）回目の操作の後に、赤球が赤箱、青箱、黄箱に
入っている確率をそれぞれ、an、bn、cnとおくと、
an＋bn＋cn＝1 ･･･(＃)
・n回目の操作の後、赤球が赤箱に入っている場合
n＋1回目の操作で青箱と黄箱が選ばれれば、
赤球は赤箱に入ったままである。
・n回目の操作の後、赤球が青箱に入っている場合
n＋1回目の操作で青箱と赤箱が選ばれれば、
赤球は赤箱に入ることになる。
・n回目の操作の後、赤球が黄箱に入っている場合
n＋1回目の操作で黄箱と赤箱が選ばれれば、
赤球は赤箱に入ることになる。
よって、
n＋1回目の操作の後、赤球が赤箱に入っている確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+1}=\frac{1}{3}a_n+\frac{1}{3}b_n+\frac{1}{3}c_n=\frac{1}{3}\end{align*}}$ ←(＃)より
となるので、求める確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ となる。
(２)
n（≧0）回目の操作の後、箱とその中の球の色が一致している
箱の個数をMnと表すことにする。
球および箱は3個しかないので、Mn＝2となることはあり得ない。
・Mn＝0のとき
n＋1回目の操作で、どの2箱が選ばれても
Mn+1＝1となる。
・Mn＝1のとき
仮に、赤球が赤箱、黄球が青箱、青球が黄箱に
入っているとする。n＋1回目の操作で、
青箱と黄箱が選ばれれば Mn+1＝3となり、
それ以外の場合は Mn+1＝0となる。
このことは、他の色の場合でも同様である。
・Mn＝3のとき
n＋1回目の操作で、どの2箱が選ばれても
Mn+1＝1となる。
これらより、
Mnの値が0、1、3となる確率をそれぞれpn、qn、rnとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_{n+1}=\frac{2}{3}\ q_n\end{align*}}$ ････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r_{n+1}=\frac{1}{3}\ q_n\end{align*}}$ ････②
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q_{n+1}=p_n+r_n\end{align*}}$ ････③
また、Mnの値は0、1、3のいずれかなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_n+q_n+r_n=1\end{align*}}$
であり、これと③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q_{n+1}=1-q_n\ \ \Leftrightarrow\ \ q_{n+1}-\frac{1}{2}=-\left(q_n-\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
と変形できるので、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left\{q_n-\frac{1}{2}\right\}\end{align*}}$ は等比数列となる。
ここで、M0＝3 よりq0＝0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_n-\frac{1}{2}=(-1)^n\left(q_0-\frac{1}{2}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ q_n=\frac{1}{2}\left\{1-(-1)^n\right\}\end{align*}}$
となり、これと①、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_n=\frac{2}{3}\ q_{n-1}=\frac{1}{3}\left\{1+(-1)^n\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r_n=\frac{1}{3}\ q_{n-1}=\frac{1}{6}\left\{1+(-1)^n\right\}\end{align*}}$ ．
よって、Mnの期待値をEとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf E=0\cdot p_n+1\cdot q_n+3\cdot r_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\left\{1-(-1)^n\right\}+\frac{1}{2}\left\{1+(-1)^n\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ 1\ }\end{align*}}$ ．
(３)
2つの事象X、Yを次のように定める。
X：赤球が赤箱に入っている
Y：青球が青箱に入っている
事象X、Yが起こる確率をそれぞれ、P(X)、P(Y)とおくと、
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(X)=P(Y)=a_n=\frac{1}{3}\end{align*}}$
また、2つの事象X、Yが同時に起こるのは、Mn＝3のときであり、
(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(X\cap Y)=r_n=\frac{1}{6}\left\{1+(-1)^n\right\}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(X)\ P(Y)\ne P(X\cap Y)\end{align*}}$
となるので、2つの事象X、Yは互いに独立ではない。
独立の定義はちゃんと覚えていますか？
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/06(土) 03:04:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .滋賀医科大 2012
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