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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013旭川医科大 数学1



第1問

  x、y、z、pは自然数で
       xy+yz+zx=pxyz、 x≦y≦z ・・・・①
  を満たしている。次の問いに答えよ。
 
 (1) p≦3を示せ。

 (2) ①を満たす自然数の組(p,x,y,z)を全て求めよ。




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  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .旭川医科大  2013
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2013旭川医科大 数学2



第2問

  aを正の実数とする。双曲線C:x2-a2y2+a2=0上の4点A1(0,1)、
  A2(0,-1)、A3(a,橿原 学習塾 青木ゼミ )、A4(-2a,-橿原 学習塾 青木ゼミ )が与えられている。A1
  おけるCの接線をL1、A3におけるCの接線をL3とする。次の問いに答え
  よ。

 (1) L1とL3の交点Sの座標を求めよ。

 (2) 直線A1A2と直線A3A4の交点Uの座標、および直線A1A4と直線A2A3
    の交点Vの座標を求めよ。

 (3) 3点S、U、Vが同一直線上にあることを示せ。



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2013旭川医科大 数学4



第4問

  次の問いに答えよ。

 (1) 関数y=xlogx-x (x>0)の増減を調べ、そのグラフをかけ。

 (2) aを正の実数とする。曲線C:y=log(x+1)上の点(t,log(t+1))
    における接線Ltが、曲線Ca:y=alogx上の点(s,alogs)における
    接線にもなっているとき、tとsの関係をaを含まない式で表せ。

 (3) 任意に与えられたt>-1に対して、直線Ltが曲線Caの接線にも
    なっているようなaが唯一つ存在すること、およびa>1であることを
    示せ。

 (4) 直線Ltが曲線Caの接線になっているとき、その接点のx座標をs(t)
    とかくことにする。s(t)をtの関数とみて増減を調べ、さらに
          $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\ \left(s(t)-t\right)\end{align*}}$
    を求めよ。


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