第１問
x、y、z、pは自然数で
xy＋yz＋zx＝pxyz、 x≦y≦z ････①
を満たしている。次の問いに答えよ。
(１) p≦3を示せ。
(２) ①を満たす自然数の組(p，x，y，z)を全て求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
x、y、zは自然数なので①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\leqq x\leqq y\leqq z\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{z}\leqq\frac{1}{y}\leqq\frac{1}{x}\leqq 1\end{align*}}$ ････②
①の両辺をxyz（≠0）で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\end{align*}}$ ････③
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \leqq 1+1+1\end{align*}}$ ←②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3\end{align*}}$
となり、題意は示された。
(２)
(ア) p＝3のとき
(１)の等号が成立するのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}=1\end{align*}}$
すなわち、x＝y＝z＝1のときのみ。
(イ) p＝2のとき
②、③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leqq\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{3}{x}\ \ \Leftrightarrow\ \ x\leqq\frac{3}{2}\end{align*}}$
となるので、x＝1である。
このとき、①より
y＋yz＋z＝2yz
⇔ yz－y－z＝0
⇔ (y－1)(z－1)＝1
ここで、0≦y－1≦z－1より
(y－1，z－1)＝(1，1) ⇔ (y，z)＝(2，2)
(ウ) p＝1のとき
②、③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leqq\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{3}{x}\ \ \Leftrightarrow\ \ x\leqq 3\end{align*}}$
となるので、x＝1，2，3である。
・x＝1のとき
①より
y＋yz＋z＝yz ⇔ y＋z＝0
となり不適。
・x＝2のとき
①より
2y＋yz＋2z＝2yz
⇔ (y－2)(z－2)＝4
ここで、0≦x－2≦y－2≦z－2より
(y－2，z－2)＝(1，4)、(2，2)
⇔ (y，z)＝(3，6)、(4，4)
・x＝3のとき
①より
3y＋yz＋3z＝3yz
⇔ 4yz－6y－6z＝0
⇔ (2y－3)(2z－3)＝9
ここで、3≦2y－3≦2y－3≦2z－3より
(2y－3，2z－3)＝(3，3)
⇔ (y，z)＝(3，3)
以上より①を満たす自然数の組(p，x，y，z)は、
(3，1，1，1)、(2，1，2，2)、(1，2，3，6)、
(1，2，4，4)、(1，3，3，3)
の5組となる。
分数の入力が面倒になってきたので(笑)、
整数×整数＝整数 の関係から数を絞っていきましたが、
以下のような不等式のごり押しでも解けます。
(イ) p＝2のとき
②、③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}2=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leqq\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{3}{x}\ \ \Leftrightarrow\ \ x\leqq\frac{3}{2}}\end{align*}}$
となるので、x＝1である。（ここまでは、上と同じ）
このとき、②、③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}1=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leqq\frac{1}{y}+\frac{1}{y}=\frac{2}{y}\ \ \Leftrightarrow\ \ y\leqq 2}\end{align*}}$ ･･･④より
となるので、y＝1、2である。
・y＝1のとき
④より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}1=1+\frac{1}{z}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{z}=0}\end{align*}}$
となり不適
・y＝2のとき
④より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}1=\frac{1}{2}+\frac{1}{z}\ \ \Leftrightarrow\ \ z=2}\end{align*}}$
(ウ) p＝1のときは、場合分けが多いので省略ｗｗ
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- 2018/10/10(水) 01:10:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .旭川医科大 2013
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第４問
次の問いに答えよ。
(１) 関数y＝xlogx－x （x＞0）の増減を調べ、そのグラフをかけ。
(２) aを正の実数とする。曲線C：y＝log(x＋1)上の点(t，log(t＋1))
における接線Ltが、曲線Ca：y＝alogx上の点(s，alogs)における
接線にもなっているとき、tとsの関係をaを含まない式で表せ。
(３) 任意に与えられたt＞－1に対して、直線Ltが曲線Caの接線にも
なっているようなaが唯一つ存在すること、およびa＞1であることを
示せ。
(４) 直線Ltが曲線Caの接線になっているとき、その接点のx座標をs(t)
とかくことにする。s(t)をtの関数とみて増減を調べ、さらに
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\ \left(s(t)-t\right)\end{align*}}$
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x\log x-x\ \ (x>0)\end{align*}}$
とおくと、導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\log x+x\cdot\frac{1}{x}-1=\log x\end{align*}}$
となる。また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 0}\ \left(x\log x-x\right)=0\ \ ,\ \ f\ (e)=0\end{align*}}$
なので、f(x)の増減および、y＝f(x)のグラフは次のようになる。
(２)
Cについて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ '=\frac{1}{x+1}\end{align*}}$
となるので、(t，log(t＋1))における接線Ltの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_t:\ y-\log(t+1)=\frac{1}{t+a}(x-t)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{1}{t+1}x+\log(t+1)-\frac{t}{t+1}\end{align*}}$ ．
一方、Caについて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ '=\frac{a}{x}\end{align*}}$
となるので、(s，alogs)における接線Lsの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_s:\ y-a\log s=\frac{a}{s}(x-s)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{a}{s}x+a\log s-a\end{align*}}$ ．
これら2直線が一致するとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{t+1}=\frac{a}{s}\end{align*}}$ ････① かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log(t+1)-\frac{t}{t+1}=a\log s-a\end{align*}}$ ････②
となる。
①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{s}{t+1}\end{align*}}$
であり、これを②に代入してaを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log(t+1)-\frac{t}{t+1}=\frac{s}{t+1}\log s-\frac{s}{t+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ (t+1)\log (t+1)-t=s\log s-s\ }\end{align*}}$
となり、これがs、tが満たすべき条件である。
(３)
(２)で得られた関係式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s\log s-s=(t+1)\log (t+1)-(t+1)+1\end{align*}}$
と変形できるので、(１)で定義した関数f(x)を用いて、
f(s)＝f(t＋1)＋1 ････③
と表すことができる。
(１)より、－1＜tである任意のtに対して、－1≦f(t＋1)であり、
これと③より、0≦f(s)．
f(x)はe≦xの範囲で単調に増加するので、任意のtに対して
③を満たすようなsがe≦xの範囲にただ１つ存在し、t＋1＜sである。
これと①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{s}{t+1}>\frac{t+1}{t+1}=1\end{align*}}$
となるようなaがただ１つ存在することになる。
よって、題意は示された。
(４)
(２)で求めた関係式の両辺をtで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log(t+1)+\frac{t+1}{t+1}-1=\left(\log s+\frac{s}{s}-1\right)\cdot\frac{ds}{dt}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s\ '(t)=\frac{ds}{dt}=\frac{\log(t+1)}{\log s}\end{align*}}$
ここで、(3)より、s≧eなので、分母＞0．
また、分子＝0 となるのは、t＝0 のときなので、
t＞－1におけるs(t)の増減は次のようになる。
一方、f(x)はx＞0で連続かつ微分可能なので、
平均値の定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{f\ (s)-f\ (t+1)}{s-(t+1)}=f\ '(c)=\log c\end{align*}}$ ････④
となるような、cが t＋1＜c＜s の範囲に存在する。
logxは単調に増加するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log (t+1)\lt log c\lt \log s\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log (t+1)<\frac{f\ (s)-f\ (t+1)}{s-(t+1)}<\log s\end{align*}}$ ←④より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log (t+1)<\frac{1}{s-(t+1)}<\log s\end{align*}}$ ←③より
t→+∞の場合を考えるので、１＜t+1 すなわち 0＜log(t+1)
としてよく、両辺の逆数をとると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\log s}\lt s-t-1\lt \frac{1}{\log (t+1)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{\log s}+1\lt s(t)-t\lt \frac{1}{\log (t+1)}+1\end{align*}}$
t→+∞のときs→+∞なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{\log (t+1)}=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{\log s}=0\end{align*}}$
であり、はさみうちの原理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\ \left(s(t)-t\right)=\underline{\ 1\ }\end{align*}}$
となる。
(１)で、何の説明もなく
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\lim_{x\rightarrow 0}\ \left(x\log x-x\right)=0}\end{align*}}$
としましたが、これを一から証明しようとすると、以下のように
大変なことになります・・・・
(ア) まず、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{e^n}{n}=+\infty}\end{align*}}$ を示す。
ｅ＞１より、正の数ａを用いて
ｅ＝１＋ａ
とおく。両辺をｎ乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}e^n=(1+a)^n=_nC_0+_nC_1\ a+_nC_2\ a^2+\underline{_nC_3\ a^3+\ldots\ldots+_nC_n\ a^n}}\end{align*}}$
ａ＞０より、上式の下線部＞０なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}e^n>_nC_0+_nC_1\ a+_nC_2\ a^2\ \ \Leftrightarrow\ \ e^n>1+n\ a+\frac{n(n-1)}{2}\ a^2}\end{align*}}$ ．
両辺をｎで割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{e^n}{n}\gt\frac{1}{n}+a+\frac{n-1}{2}\ a^2\end{align*}}$ ．
ここで、右辺は＋∞に発散するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{e^n}{n}=+\infty}\end{align*}}$
(イ) 次に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\lim_{N\rightarrow\infty}\ \frac{\log N}{N}=0}\end{align*}}$ を示す。
(ア)の両辺の逆数をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{n}{e^n}=\frac{1}{\infty}=0}\end{align*}}$ ．
この式において
ｎ＝logＮとおくと、ｅn＝N
であり、ｎ→＋∞のとき Ｎ→＋∞なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{n}{e^n}=\lim_{N\rightarrow\infty}\ \frac{\log N}{N}=0}\end{align*}}$ ．
(ウ) 最後に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\lim_{x\rightarrow 0}\ \left(x\log x-x\right)=0}\end{align*}}$ を示す。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}x=\frac{1}{N}}\end{align*}}$
とおくと、x→0のときN→＋∞となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\lim_{x\rightarrow 0}\ x\log x=\lim_{N\rightarrow\infty}\ \frac{1}{N}\ \log\frac{1}{N}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}=-\lim_{N\rightarrow\infty}\ \frac{\log N}{N}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}=0}\end{align*}}$ ←(イ)より
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\lim_{x\rightarrow 0}\ \left(x\log x-x\right)=0}\end{align*}}$
となる。
さて、ここまでの解答が求められているのでしょうかね（笑）？？
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- 2018/10/10(水) 01:13:00|
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