第１問
一辺の長さが1の正方形OABCを底面とし、OP＝AP＝BP＝CPを
みたす点Pを頂点とする四角錐POABCがある。辺APを1:3に内分
する点をD、辺CPの中点をE、辺 BCをt:(1－t)に内分する点をQ
とする。このとき、以下の問いに答えよ。
(１) ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}\end{align*}}$ を、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}\ ,\ \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(２) ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$ を、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}\ ,\ \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ とtを用いて表せ。
(２) 内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ の値を求めよ。
(４) 直線PQが平面ODEに垂直であるとき、tの値および線分OPの
長さを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
DはAPを1：3に内分する点なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=\underline{\ \frac{1}{4}\overrightarrow{\sf OP}+\frac{3}{4}\overrightarrow{\sf OA}\ }\end{align*}}$
EはCPを1：1に内分する点なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}=\underline{\ \frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OC}\ }\end{align*}}$
(２)
QはBCをt：(1－t)に内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=\overrightarrow{\sf OC}+(1-t)\overrightarrow{\sf CB}=\overrightarrow{\sf OC}+(1-t)\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}=\overrightarrow{\sf OQ}-\overrightarrow{\sf OP}=\underline{\ -\overrightarrow{\sf OP}+(1-t)\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OC}\ }\end{align*}}$
(３)
OP＝AP＝BP＝CP＝x とおくと、
△OPAにおいて余弦定理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle POA=\frac{-x^2+x^2+1^2}{2\cdot 1\cdot x}=\frac{1}{2x}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}=1\cdot x\cdot\frac{1}{2x}=\underline{\ \frac{1}{2}\ }\end{align*}}$
(４)
(３)と同様に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OP}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
であり、四角形OABCは正方形なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|=|\overrightarrow{\sf OC}|=1\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=0\end{align*}}$
PQ⊥平面ODE ⇔ PQ⊥OD かつ PQ⊥OE なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\cdot\overrightarrow{\sf OD}=\left\{-\overrightarrow{\sf OP}+(1-t)\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OC}\right\}\cdot\left(\frac{1}{4}\overrightarrow{\sf OP}+\frac{3}{4}\overrightarrow{\sf OA}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\left\{-|\overrightarrow{\sf OP}|^2+3(1-t)|\overrightarrow{\sf OA}|^2-(t+2)\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}+3\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OP}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\left\{-x^2+3(1-t)-\frac{1}{2}(t+2)+\frac{1}{2}\right\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -2x^2-7t+5=0\end{align*}}$ ････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\cdot\overrightarrow{\sf OE}=\left\{-\overrightarrow{\sf OP}+(1-t)\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OC}\right\}\cdot\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OC}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left\{-|\overrightarrow{\sf OP}|^2+|\overrightarrow{\sf OC}|^2+(1-t)\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}+(1-t)\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left\{-x^2+1+\frac{1}{2}(1-t)\right\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -2x^2-t+3=0\end{align*}}$ ････②
①、②を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\underline{\ \frac{1}{3}\ }\ \ ,\ \ OP=x=\underline{\ \frac{2}{\sqrt3}\ \ (>0)\ }\end{align*}}$ ．
面倒がらずに計算しましょう。
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第２問
座標平面上で、次の連立不等式の表す領域をDとする。
x＋2y≦5 、 3x＋y≦8 、 －2x－y≦4 、－x－4y≦7
点P(x，y)が領域D内を動くとき、x＋yの値が最大となる点をQとし、
最小となる点をRとする。以下の問いに答えよ。
(１) 点Qおよび点Rの座標を求めよ。
(２) a＞0かつb＞0とする。点P(x，y)が領域D内を動くとき、ax＋by
が点Qでのみ最大値をとり、点Rでのみ最小値をとるとする。
このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{b}\end{align*}}$ の値の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
与えられた不等式はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x+2y\leqq 5\ \ \Leftrightarrow\ \ y\leqq -\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3x+y\leqq 8\ \ \Leftrightarrow\ \ y\leqq -3x+8\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2x-y\leqq 4\ \ \Leftrightarrow\ \ y\geqq -2x-4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -x-4y\leqq 7\ \ \Leftrightarrow\ \ y\geqq -\frac{1}{4}x-\frac{7}{4}\end{align*}}$
と変形できるので、Dは4直線
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_1:\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_2:\ y= -3x+8\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_3:\ y= -2x-4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_4:\ y= -\frac{1}{4}x-\frac{7}{4}\end{align*}}$
で囲まれた領域である（境界も含む）。
(１)
kを定数として、x＋y＝kとおくと、
y＝－x＋k
と変形できるので、この式は傾き－1、切片kの直線を表す。
この直線をmとする。
LとDが共有点をもつようにkの値を変化させるとき、
L2の傾き＜mの傾き＜L1
なので、L1とL2の交点を通るとき、
kは最大となる。また、
L3の傾き＜mの傾き＜L4
なので、L3とL4の交点を通るとき、
kは最小となる。
よって、求めるQ、Rの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ Q\left(\frac{11}{5}\ ,\ \frac{7}{5}\right)\ \ ,\ \ R\left(-\frac{9}{7}\ ,\ -\frac{10}{7}\right)\ }\end{align*}}$
である。
(２)
kを定数として、ax＋by＝Kとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{a}{b}x+\frac{K}{b}\end{align*}}$
と変形できるので、この式は傾き$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{a}{b}\ \ (<0)\end{align*}}$ 、
切片Kの直線を表す。この直線をMとする。
MとDが共有点をもつようにkの値を変化させるとき、
KがQのみで最大値をとるのは、(１)と同様に考えると
L2の傾き＜Mの傾き＜L1
すなわち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -3<-\frac{a}{b}<-\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}<\frac{a}{b}<3\end{align*}}$ ････①
のときである。
また、KがRのみで最小値をとるのは、(１)と同様に考えると
L3の傾き＜Mの傾き＜L4
すなわち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2<-\frac{a}{b}<-\frac{1}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{4}<\frac{a}{b}<2\end{align*}}$ ････②
のときである。
これより、①、②を同時に満たす範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{2}<\frac{a}{b}<2\ }\end{align*}}$
である。
いわゆる線形計画法ってヤツです。図を正確に描きましょう。
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第３問
横一列に並んだ6枚の硬貨に対して、以下の操作Lと操作Rを考える。
L：さいころを投げて、出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の
表と裏を反転する。
R：さいころを投げて、出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の
表と裏を反転する。
たとえば、表表裏表裏表と並んだ状態で操作Lを行うときに、3の目が
出た場合は、裏裏表表裏表となる。
以下、「最初の状態」とは硬貨が6枚とも表であることとする。
(１) 最初の状態から操作Lを2回続けて行うとき、表が1枚となる確率を求めよ。
(２) 最初の状態からL、Rの順に操作を行うとき、表の枚数の期待値を求めよ。
(３) 最初の状態からL、R、Lの順に操作を行うとき、すべての硬貨が表となる
確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
1、2、3回目のサイコロの目をそれぞれx、y、zとする。
(１)
1回目、2回目の操作をそれぞれL1、L2とする。
まず、L1では左からx枚が裏になり、
この時点で表は6－x枚残っている。
(ア) x≧yのとき
L2で左からy枚が表に戻るので、表の総数は、6－x＋y枚。
これが1になるのは、
6－x＋y＝1 ⇔ x－y＝5
となり、これを満たす目の組は、(x，y)＝(6，1)のみ。
(イ) x＜yのとき
L2によって、左から1枚目～x枚目は表に戻り、
x＋1枚目～y枚目は裏になる。
y＋1枚目～6枚目は表のままなので、
表の総数は、x＋(6－y)枚。これが1になるのは、
x＋(6－y)＝1 ⇔ y－x＝5
となり、これを満たす目の組は、(x，y)＝(1，6)のみ。
以上より、表が1枚になる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{36}=\underline{\ \frac{1}{18}\ }\end{align*}}$
(２)
(ウ) x＋y≦6のとき
操作Lで左からx枚、その後の操作Rで右からy枚、
合計x＋y枚が裏になるので、表の枚数は
6－(x＋y)枚
(エ) x＋y＞6のとき
まずLで左からx枚が裏返り、残りの6－x枚が表。
Rによって、右から１～6－x枚目が裏になり、
裏になっていたy－(6－x)枚が表に戻るので、
表の枚数は、y－(6－x)＝(x＋y)－6枚
これらより、表の枚数を整理すると、次のようになる。
よって、表の枚数の期待値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{0\cdot6+1\cdot10+2\cdot8+3\cdot6+4\cdot4+5\cdot2+6\cdot1}{36}=\underline{\ \frac{19}{9}\ }\end{align*}}$
(３)
3回の操作をL1、R、L2とする。
どの硬貨も少なくとも1回は表裏が反転するので、3回の操作で
すべての硬貨が表になるためには、2回ずつ反転すればよい。
1番右の硬貨はRで必ず反転するので、L1、L2のいずれか
一方だけで反転すればよい。
(オ) z＝6のとき
L1とRの後、すべてが裏になっていればよい。
すなわち、(２)で表の枚数が0枚のときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{36}\times\frac{1}{6}=\frac{5}{216}\end{align*}}$
(カ) x＝6のとき
L1ですべてが裏になるので、RとL2で6枚すべてが表に
戻ればよい。
これは、y＋z＝6のときなので、y、zの組は
(y，z)＝(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)
の5通りある。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\times\frac{5}{36}=\frac{5}{216}\end{align*}}$
(カ)、(キ)より、すべての硬貨が表になる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{216}\times 2=\underline{\ \frac{5}{108}\ }\end{align*}}$
全部書き出した方が確実だと思います。
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