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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013九州大 文系数学1



第1問

  一辺の長さが1の正方形OABCを底面とし、OP=AP=BP=CPを
  みたす点Pを頂点とする四角錐POABCがある。辺APを1:3に内分
  する点をD、辺CPの中点をE、辺 BCをt:(1-t)に内分する点をQ
  とする。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}\end{align*}}$ を、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}\ ,\ \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (2) ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$ を、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}\ ,\ \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ とtを用いて表せ。

 (2) 内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ の値を求めよ。

 (4) 直線PQが平面ODEに垂直であるとき、tの値および線分OPの
    長さを求めよ。



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  1. 2018/10/16(火) 01:05:00|
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2013九州大 文系数学2



第2問

  座標平面上で、次の連立不等式の表す領域をDとする。
     x+2y≦5 、 3x+y≦8 、 -2x-y≦4 、-x-4y≦7
  点P(x,y)が領域D内を動くとき、x+yの値が最大となる点をQとし、
  最小となる点をRとする。以下の問いに答えよ。

 (1) 点Qおよび点Rの座標を求めよ。

 (2) a>0かつb>0とする。点P(x,y)が領域D内を動くとき、ax+by
    が点Qでのみ最大値をとり、点Rでのみ最小値をとるとする。
    このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{b}\end{align*}}$ の値の範囲を求めよ。




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2013九州大 文系数学3



第3問

  横一列に並んだ6枚の硬貨に対して、以下の操作Lと操作Rを考える。
   L:さいころを投げて、出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の
     表と裏を反転する。
   R:さいころを投げて、出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の
     表と裏を反転する。
  たとえば、表表裏表裏表と並んだ状態で操作Lを行うときに、3の目が
  出た場合は、裏裏表表裏表となる。
  以下、「最初の状態」とは硬貨が6枚とも表であることとする。

 (1) 最初の状態から操作Lを2回続けて行うとき、表が1枚となる確率を求めよ。

 (2) 最初の状態からL、Rの順に操作を行うとき、表の枚数の期待値を求めよ。

 (3) 最初の状態からL、R、Lの順に操作を行うとき、すべての硬貨が表となる
    確率を求めよ。



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2013九州大 文系数学4



第4問

  座標平面上の円(x-1)2+(y-1)2=2をCとする。
  以下の問いに答えよ。

 (1) 直線y=x-2は円Cに接することを示せ。また、接点の座標も求めよ。

 (2) 円Cと放物線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{4}x^2-1\end{align*}}$ の共有点の座標をすべて求めよ。

 (3) 不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf y\geqq\frac{1}{4}x^2-1\end{align*}}$ の表す領域をDとする。また、不等式 |x|+|y|≦2
    の表す領域をAとし、不等式 (|x|-1)2+(y-1)2≦2の表す領域をB
    とする。そして、和集合A∪B、すなわち領域Aと領域Bをあわせた領域
    をEとする。このとき、領域Dと領域Eの共通部分D∩Eを図示し、さらに、
    その面積を求めよ。



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