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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013九州大 理系数学1



第1問

  a>1とし、2つの曲線
         $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\sqrt{x}\ \ \ (x\geqq 0)\end{align*}}$
         $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{a^3}{x}\ \ \ (x>0)\end{align*}}$
  を順にC1、C2とする。また、C1とC2の交点PにおけるC1の接線を
  L1とする。以下の問いに答えよ。

 (1) 曲線C1とy軸および直線L1で囲まれた部分の面積をaを用いて表せ。

 (2) 点PにおけるC2の接線と直線L1のなす角を$\small\sf{\theta}$ (a)とする
   $\small\sf{(0\lt \theta(a)\lt \pi/2)}$ 。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\ a\sin\theta (a)\end{align*}}$ を求めよ。



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2013九州大 理系数学2



第2問

  一辺の長さが1の正方形OABCを底面とし、点Pを頂点とする四角錐
  POABCがある。ただし、点Pは内積に関する条件 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}=14\end{align*}}$ 、および
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OP}=12\end{align*}}$ をみたす。辺APを2:1に内分する点をMとし、辺CPの中点を
  Nとする。さらに、点Pと直線BC上の点Qを通る直線PQは、平面OMNに
  垂直であるとする。このとき、長さの比BQ:QC、および線分OPの長さを
  求めよ.



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2013九州大 理系数学3



第3問

  横一列に並んだ6枚の硬貨に対して、以下の操作Lと操作Rを考える。
   L:さいころを投げて、出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の
     表と裏を反転する。
   R:さいころを投げて、出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の
     表と裏を反転する。
  たとえば、表表裏表裏表と並んだ状態で操作Lを行うときに、3の目が
  出た場合は、裏裏表表裏表となる。
  以下、「最初の状態」とは硬貨が6枚とも表であることとする。

 (1) 最初の状態から操作Lを2回続けて行うとき、表が1枚となる確率を求めよ。

 (2) 最初の状態からL、Rの順に操作を行うとき、表の枚数の期待値を求めよ。

 (3) 最初の状態からL、R、Lの順に操作を行うとき、すべての硬貨が表となる
    確率を求めよ。



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2013九州大 理系数学4



第4問

  原点Oを中心とし、点A(0,1)を通る円をSとする。点B $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\ ,\ \frac{\sqrt3}{2}\right)\end{align*}}$ で
  円Sに内接する円Tが、点Cでy軸に接しているとき、以下の問いに答えよ。

 (1) 円Tの中心Dの座標と半径を求めよ。

 (2) 点Dを通りx軸に平行な直線をLとする。円Sの短い方の弧 $\small\sf{\begin{align*} \sf \stackrel{ \Large \frown }{ AB }\end{align*}}$ 、円Tの
    短い方の弧 $\small\sf{\begin{align*} \sf \stackrel{ \Large \frown }{ BC }\end{align*}}$ および線分ACで囲まれた図形をLのまわりに1回転して
    できる立体の体積を求めよ。



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2013九州大 理系数学5



第5問

  実数x、y、tに対して、行列
         $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf x&\sf y \\ \sf -t-x & \sf -x\end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix} \sf 5&\sf 4 \\ \sf -6& \sf -5\end{pmatrix}\end{align*}}$
  を考える。(AB)2が対角行列,すなわち $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf \alpha&\sf 0 \\ \sf 0& \sf \beta \end{pmatrix}\end{align*}}$ の形の行列であるとする。

 (1) 命題「3x-3y-2t≠0 ⇒ A=tB 」を証明せよ。

  以下(2)、(3)、(4)では、さらに A2≠E かつ A4=E であるとする。ただし、
  Eは単位行列を表す。

 (2) 3x-3y-2t=0を示せ。

 (3) xとyをそれぞれtの式で表せ。

 (4) x、y、tが整数のとき、行列Aを求めよ。



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