第１問
a＞1とし、2つの曲線
$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\sqrt{x}\ \ \ (x\geqq 0)\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{a^3}{x}\ \ \ (x>0)\end{align*}}$
を順にC1、C2とする。また、C1とC2の交点PにおけるC1の接線を
L1とする。以下の問いに答えよ。
(１) 曲線C1とy軸および直線L1で囲まれた部分の面積をaを用いて表せ。
(２) 点PにおけるC2の接線と直線L1のなす角を$\small\sf{\theta}$ (a)とする
$\small\sf{(0\lt \theta(a)\lt \pi/2）}$ 。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\ a\sin\theta (a)\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
C1とC2の交点Pは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt x=\frac{a^3}{x}\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\sqrt x\right)^3=a^3\ \ \Leftrightarrow\ \ x=a^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{a^3}{a^2}=a\end{align*}}$
より、P(a2，a)である。
C1について、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ '=\frac{1}{2\sqrt{x}}\end{align*}}$
なので、Pにおける接線L1の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_1:\ y-a=\frac{1}{2a}(x-a^2)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{1}{2a}x+\frac{1}{2}a\end{align*}}$ ．
また、a＞1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2a}x+\frac{1}{2}a\right)-\sqrt x=\frac{x-2a\sqrt x+a^2}{2a}=\frac{\left(\sqrt x-a\right)^2}{2a}\geqq 0\end{align*}}$
なので、
0≦x≦a2において、L1は常にC1の上部にある。
よって、C1、L1、y軸で囲まれる部分の面積をSと
すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^{a^2}\left(\frac{1}{2a}x+\frac{1}{2}a-\sqrt x\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{4a}x^2+\frac{1}{2}ax-\frac{2}{3}x\sqrt x\right]_0^{a^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a^4}{4a}+\frac{1}{2}a^3-\frac{2}{3}a^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{a^3}{12}\ }\end{align*}}$
(２)
C2について、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ '=-\frac{a^3}{x^2}\end{align*}}$
なので、Pにおける接線L2の傾きは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{a^3}{(a^2)^2}=-\frac{1}{a}\end{align*}}$ ．
L1、L2がx軸正方向となす角をそれぞれ$\scriptsize\sf{\theta}$ 1、$\scriptsize\sf{\theta}$ 2とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\theta_1=\frac{1}{2a}\ \ ,\ \ \tan\theta_2=-\frac{1}{a}\end{align*}}$ ････①
これより、L1、L2のなす角について、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\theta(a)=\left|\tan (\theta_2-\theta_1)\right|\end{align*}}$ ←$\scriptsize\sf{\theta}$ (a)は鋭角
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\frac{\tan \theta_2-\tan \theta_1}{1+\tan \theta_2\tan \theta_1}\right|\end{align*}}$ ←加法定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\frac{-\frac{1}{a}-\frac{1}{2a}}{1-\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{2a}}\right|\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\frac{-3a}{2a^2-1}\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3a}{2a^2-1}\ \ \ (\because a>1)\end{align*}}$ ････②
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sin^2\theta(a)}=1+\frac{1}{\tan^2\theta(a)}=\frac{\tan^2\theta(a)+1}{\tan^2\theta(a)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\theta(a)=\sqrt{\frac{\tan^2\theta(a)}{\tan^2\theta(a)+1}}\ \ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\frac{\left(\frac{3a}{2a^2-1}\right)^2}{\left(\frac{3a}{2a^2-1}\right)^2+1}}\end{align*}}$ ←②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\frac{9a^2}{9a^2+\left(2a^2-1\right)^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\frac{9a^2}{4a^4+5a^2+1}}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty} a\ \sin\theta(a)=\lim_{a\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{9a^4}{4a^4+5a^2+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{a\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{9}{4+\frac{5}{a^2}+\frac{1}{a^4}}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\frac{9}{4+0+0}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3}{2}\ }\end{align*}}$ ．
tanからsinを導くのに、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\frac{1}{\sin^2 x}=1+\frac{1}{\tan^2 x}\end{align*}}$
という公式を使っていますが、大丈夫でしょうか？
まぁ、sin2x＋cos2x＝1の両辺をsin2xで割っただけですが。
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第２問
一辺の長さが1の正方形OABCを底面とし、点Pを頂点とする四角錐
POABCがある。ただし、点Pは内積に関する条件 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}=14\end{align*}}$ 、および
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OP}=12\end{align*}}$ をみたす。辺APを2:1に内分する点をMとし、辺CPの中点を
Nとする。さらに、点Pと直線BC上の点Qを通る直線PQは、平面OMNに
垂直であるとする。このとき、長さの比BQ:QC、および線分OPの長さを
求めよ．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
MはAPを2：1に、NはCPを1：1に内分する点なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf OP}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf ON}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
また、BC上の点Qについて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CQ}=t\ \overrightarrow{\sf CB}=t\ \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ （tは実数）
と表せるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}=\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf CQ}-\overrightarrow{\sf OP}=-\overrightarrow{\sf OP}+t\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
OP＝xとおく。
四角形OABCは正方形なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|=|\overrightarrow{\sf OC}|=1\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=0\end{align*}}$ ････①
であり、題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}=\frac{1}{4}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OP}=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ････②
平面OMN⊥PQより、PQ⊥OM かつ PQ⊥ON なので、
①、② 内積を計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\cdot\overrightarrow{\sf ON}=\left\{-\overrightarrow{\sf OP}+t\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OC}\right\}\cdot\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf OP}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf OA}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left\{-2|\overrightarrow{\sf OP}|^2+t|\overrightarrow{\sf OA}|^2+(2t-1)\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}+\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}+2\overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OP}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left\{-2x^2+t+\frac{1}{4}(2t-1)+1\right\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -8x^2+6t+3=0\end{align*}}$ ････③
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\cdot\overrightarrow{\sf ON}=\left\{-\overrightarrow{\sf OP}+t\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OC}\right\}\cdot\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OC}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left\{-|\overrightarrow{\sf OP}|^2+|\overrightarrow{\sf OC}|^2+t\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}+t\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(-x^2+1+\frac{1}{4}t\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -4x^2+t+4=0\end{align*}}$ ････④
③－④×2より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4t+5=0\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\frac{5}{4}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CQ}=\frac{5}{4}\ \overrightarrow{\sf CQ}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ BQ:CQ=1:5\ }\end{align*}}$ ．
このとき③より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -8x^2+6\cdot\frac{5}{4}+3=0\ \ \Leftrightarrow\ \ OP=x=\underline{\ \frac{\sqrt {21}}{4}\ \ (>0)}\end{align*}}$
平面OMN⊥PQ ⇔ PQ⊥OM かつ PQ⊥ON ですね。
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第３問
横一列に並んだ6枚の硬貨に対して、以下の操作Lと操作Rを考える。
L：さいころを投げて、出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の
表と裏を反転する。
R：さいころを投げて、出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の
表と裏を反転する。
たとえば、表表裏表裏表と並んだ状態で操作Lを行うときに、3の目が
出た場合は、裏裏表表裏表となる。
以下、「最初の状態」とは硬貨が6枚とも表であることとする。
(１) 最初の状態から操作Lを2回続けて行うとき、表が1枚となる確率を求めよ。
(２) 最初の状態からL、Rの順に操作を行うとき、表の枚数の期待値を求めよ。
(３) 最初の状態からL、R、Lの順に操作を行うとき、すべての硬貨が表となる
確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
1、2、3回目のサイコロの目をそれぞれx、y、zとする。
(１)
1回目、2回目の操作をそれぞれL1、L2とする。
まず、L1では左からx枚が裏になり、
この時点で表は6－x枚残っている。
(ア) x≧yのとき
L2で左からy枚が表に戻るので、表の総数は、6－x＋y枚。
これが1になるのは、
6－x＋y＝1 ⇔ x－y＝5
となり、これを満たす目の組は、(x，y)＝(6，1)のみ。
(イ) x＜yのとき
L2によって、左から1枚目～x枚目は表に戻り、
x＋1枚目～y枚目は裏になる。
y＋1枚目～6枚目は表のままなので、
表の総数は、x＋(6－y)枚。これが1になるのは、
x＋(6－y)＝1 ⇔ y－x＝5
となり、これを満たす目の組は、(x，y)＝(1，6)のみ。
以上より、表が1枚になる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{36}=\underline{\ \frac{1}{18}\ }\end{align*}}$
(２)
(ウ) x＋y≦6のとき
操作Lで左からx枚、その後の操作Rで右からy枚、
合計x＋y枚が裏になるので、表の枚数は
6－(x＋y)枚
(エ) x＋y＞6のとき
まずLで左からx枚が裏返り、残りの6－x枚が表。
Rによって、右から１～6－x枚目が裏になり、
裏になっていたy－(6－x)枚が表に戻るので、
表の枚数は、y－(6－x)＝(x＋y)－6枚
これらより、表の枚数を整理すると、次のようになる。
よって、表の枚数の期待値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{0\cdot6+1\cdot10+2\cdot8+3\cdot6+4\cdot4+5\cdot2+6\cdot1}{36}=\underline{\ \frac{19}{9}\ }\end{align*}}$
(３)
3回の操作をL1、R、L2とする。
どの硬貨も少なくとも1回は表裏が反転するので、3回の操作で
すべての硬貨が表になるためには、2回ずつ反転すればよい。
1番右の硬貨はRで必ず反転するので、L1、L2のいずれか
一方だけで反転すればよい。
(オ) z＝6のとき
L1とRの後、すべてが裏になっていればよい。
すなわち、(２)で表の枚数が0枚のときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{36}\times\frac{1}{6}=\frac{5}{216}\end{align*}}$
(カ) x＝6のとき
L1ですべてが裏になるので、RとL2で6枚すべてが表に
戻ればよい。
これは、y＋z＝6のときなので、y、zの組は
(y，z)＝(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)
の5通りある。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\times\frac{5}{36}=\frac{5}{216}\end{align*}}$
(カ)、(キ)より、すべての硬貨が表になる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{216}\times 2=\underline{\ \frac{5}{108}\ }\end{align*}}$
全部書き出した方が確実だと思います。
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第４問
原点Oを中心とし、点A(0，1)を通る円をSとする。点B $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\ ,\ \frac{\sqrt3}{2}\right)\end{align*}}$ で
円Sに内接する円Tが、点Cでy軸に接しているとき、以下の問いに答えよ。
(１) 円Tの中心Dの座標と半径を求めよ。
(２) 点Dを通りx軸に平行な直線をLとする。円Sの短い方の弧 $\small\sf{\begin{align*} \sf \stackrel{ \Large \frown }{ AB }\end{align*}}$ 、円Tの
短い方の弧 $\small\sf{\begin{align*} \sf \stackrel{ \Large \frown }{ BC }\end{align*}}$ および線分ACで囲まれた図形をLのまわりに1回転して
できる立体の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
円Tは円Sに内接するので、Dは直線OB：y＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ 上にある。
また、Tはy軸に接するので、半径をrとすると、
中心Dの座標は、D(r，$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ r) と表せるので、
BD＝CDより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{\left(r-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\sqrt3r-\frac{\sqrt3}{2}r\right)^2}=r\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3r^2-4r+1=(3r-1)(r-1)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ r=\frac{1}{3}\ \ \ (\because r\ne 1)}\end{align*}}$
よって、Dの座標は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ D\left(\frac{1}{3}\ ,\ \frac{\sqrt3}{3}\right)\ }\end{align*}}$
(２)
2円S、Tを、Lがx軸と一致するように平行移動したものを
S’、T’とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ ':\ x^2+\left(y+\frac{\sqrt3}{3}\right)^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T\ ':\ \left(x-\frac{1}{3}\right)^2+y^2=\frac{1}{9}\end{align*}}$
となる。
また、同じ平行移動によって点A、Bが
移る点をそれぞれA’、B’とすると、
弧A’B’、弧OB’はともにその円の中心より
上部にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \stackrel{ \Large \frown }{ A'B' }:\ y=\sqrt{1-x^2}-\frac{\sqrt3}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \stackrel{ \Large \frown }{ OB' }:\ y=\sqrt{\frac{1}{9}-\left(x-\frac{1}{3}\right)^2}\end{align*}}$
と表される。
y軸および弧A’B’、弧OB’で囲まれた部分をx軸のまわりに
1回転してできる立体の体積をVとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_0^{\frac{1}{2}}\left(\sqrt{1-x^2}-\frac{\sqrt3}{3}\right)^2dx-\pi\int_0^{\frac{1}{2}}\left\{\sqrt{\frac{1}{9}-\left(x-\frac{1}{3}\right)^2}\right\}^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_0^{\frac{1}{2}}\left(\frac{4}{3}-x^2-\frac{2\sqrt3}{3}\sqrt{1-x^2}\right)dx-\pi\int_0^{\frac{1}{2}}\left(-x^2+\frac{2}{3}x\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{3}\pi\int_0^{\frac{1}{2}}\left(-x+2\right)\ dx-\frac{2\sqrt3}{3}\pi\underline{\ \int_0^{\frac{1}{2}}\sqrt{1-x^2}\ dx\ }\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{2}}\left(-x+2\right)\ dx=\left[-\frac{1}{2}x^2+2x\right]_0^{\frac{1}{2}}=\frac{7}{8}\end{align*}}$
であり、下線部の定積分は、右図の扇形と三角形の
面積の和に等しいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{2}}\sqrt{1-x^2}\ dx=1^2\ \pi\cdot \frac{1}{12}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{8}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{2}{3}\pi\cdot\frac{7}{8}-\frac{2\sqrt3}{3}\pi\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{8}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3\ \pi^2}{18}\ }\end{align*}}$
(２)は平行移動してしまえば簡単ですね。
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第５問
実数x、y、tに対して、行列
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf x&\sf y \\ \sf -t-x & \sf -x\end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix} \sf 5&\sf 4 \\ \sf -6& \sf -5\end{pmatrix}\end{align*}}$
を考える。(AB)2が対角行列，すなわち $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf \alpha&\sf 0 \\ \sf 0& \sf \beta \end{pmatrix}\end{align*}}$ の形の行列であるとする。
(１) 命題「3x－3y－2t≠0 ⇒ A＝tB 」を証明せよ。
以下(２)、(３)、(４)では、さらに A2≠E かつ A4＝E であるとする。ただし、
Eは単位行列を表す。
(２) 3x－3y－2t＝0を示せ。
(３) xとyをそれぞれtの式で表せ。
(４) x、y、tが整数のとき、行列Aを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=\begin{pmatrix} \sf x&\sf y \\ \sf -t-x & \sf -x \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 5&\sf 4 \\ \sf -6& \sf -5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 5x-6y&\sf 4x-5y \\ \sf x-5t & \sf x-4t \end{pmatrix}\end{align*}}$
(１)
ハミルトン・ケーリーの定理より
(AB)2＝2(3x－3y－2t)AB－(x2－xy－ty)E
となり、これが対角行列なので、(1，2)および(2，1)成分は
(3x－3y－2t)(4x－5y)＝0 かつ
(3x－3y－2t)(x－5t)＝0
となる。題意より、3x－3y－2t≠0なので、
4x－5y＝x－5t＝0 ⇔ x＝5t、 y＝4t
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf 5t&\sf 4t \\ \sf -6t& \sf -5t\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix} \sf 5&\sf 4 \\ \sf -6& \sf -5\end{pmatrix}=tB\end{align*}}$
となり、題意は示された。
(２)
まず、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B^2=\begin{pmatrix} \sf 5&\sf 4 \\ \sf -6& \sf -5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 5&\sf 4 \\ \sf -6& \sf -5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0& \sf 1\end{pmatrix}=E\end{align*}}$
であり、3x－3y－2t≠0と仮定する。
このとき、(１)より、A＝tBであり、
A2≠E、A4＝E、E≠Oなので、
A2＝t2E≠E ⇔ t2≠1
A4＝t4E＝E ⇔ t4＝1
これらを同時に満たす実数tは存在しないので、矛盾する。
よって、3x－3y－2t＝0 ････① となる。
(３)
ハミルトン・ケーリーの定理より
A2＝(x2－xy－ty)E
ここで、A2≠E、A4＝E、E≠Oなので、
A2＝(x2－xy－ty)E≠E ⇔ x2－xy－ty≠1
A4＝(x2－xy－ty)2E＝E ⇔ (x2－xy－ty)2＝1
となり、これらを同時に満たす条件は、
x2－xy－ty＝－1 ････②
これに①を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-(x+t)\left(x-\frac{2}{3}t\right)=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ tx=2t^2+3\end{align*}}$
この式はt＝0のとき成立しないので、両辺をtで割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\underline{\ 2t+\frac{3}{t}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\left(2t+\frac{3}{t}\right)-\frac{2}{3}t=\underline{\ \frac{4}{3}t+\frac{3}{t}\ }\end{align*}}$
(４)
xは整数なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{t}\end{align*}}$ が整数。よって、tは3の約数である。
また、yは整数なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{t}{3}\end{align*}}$ も整数となる、よって、tは3の倍数である。
これらより、t＝±3である。
(ⅰ) t＝3のとき
x＝7、 y＝5となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\underline{\ \begin{pmatrix} \sf 7&\sf 5 \\ \sf -10 & \sf -7 \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
(ⅱ) t＝－3のとき
x＝－7、 y＝－5となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\underline{\ \begin{pmatrix} \sf -7&\sf -5 \\ \sf 10 & \sf 7 \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
そのまま誘導に乗っていけばよいのですが・・・
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