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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013大阪府立大 工学部 数学1



第1問

  平面上に三角形OABがあり、OA=3、OB=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ 、∠AOB=30°
  であるとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ とするとき、以下の問いに答えよ。

 (1) ∠AOBの二等分線と辺ABとの交点をNとする。ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf ON}\end{align*}}$ を
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ で表せ。

 (2) 点Oから直線ABに下ろした垂線と直線ABとの交点をHとする。
    ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ で表せ。



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  1. 2013/06/23(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 中期 2013(工)
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2013大阪府立大 工学部 数学2



第2問

  行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf -2 &\sf 1 \\ \sf 4 & \sf -2 \end{pmatrix}\end{align*}}$ が表す移動により、座標平面上の点Pは点Qに
  移るとする。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) 点Pが座標平面上を動くとき、点Qは図形F1全体の上を動く
    という。図形F1を表す方程式を求めよ。

 (2) kを実数とする。点Pが直線y=kx+1全体の上を動くとき、
    点Qは図形F2全体の上を動くという。図形F2を求めよ。


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  1. 2013/06/24(月) 23:57:00|
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2013大阪府立大 工学部 数学3



第3問

  2つの曲線C1:y=logx およびC2:y=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{ax}\end{align*}}$ を考える。ただし、aは
  正の定数である。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) 曲線C1上の点(t,logt)における接線L1の方程式、および曲線
    C2上の点(s,$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{as}\end{align*}}$ )における接線L2の方程式を求めよ。ただし、
    t>0、s>0である。

 (2) 曲線C1と曲線C2の両方に接する直線が存在しないためのaの値
    の範囲を求めよ。


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  1. 2013/06/25(火) 23:57:00|
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2013大阪府立大 工学部 数学4



第4問

  関数fn(x) (n=1,2,・・・)を
       $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ _{1}(x)=x\end{align*}}$
       $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ _{n}(x)=x+\frac{e}{2}\int_0^1f\ _{n-1}(t)e^{x-t}dt\ \ \ (n=2\ ,\ 3\ ,\ \ldots)\end{align*}}$
  によって定める。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) f2(x)を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\int_0^1f\ _n(t)e^{-t}dt\end{align*}}$ とおく。n≧2のとき、anをan-1で表せ。

 (3) fn(x)を求めよ。



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  1. 2013/06/26(水) 23:57:00|
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2013大阪府立大 工学部 数学5



第5問

  g(x)=sin3xとおき、0<$\small\sf{\theta}$ <$\small\sf{\pi}$ とする。xの2次関数y=h(x)のグラフは
  原点を頂点とし、h($\small\sf{\theta}$ )=g($\small\sf{\theta}$ )を満たすとする。このとき、曲線y=g(x)
  (0≦x≦$\small\sf{\theta}$ )と直線x=$\small\sf{\theta}$ およびx軸で囲まれた図形の面積をG($\small\sf{\theta}$ )とおく。
  また、曲線y=h(x)と直線x=$\small\sf{\theta}$ およびx軸で囲まれた図形の面積をH($\small\sf{\theta}$ )
  とおく。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) H($\small\sf{\theta}$ )を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf G(\theta)=\frac{1}{3}(1-\cos\theta)^2(2+\cos\theta)\end{align*}}$ を証明せよ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta\rightarrow +0}\ \frac{G(\theta)}{H(\theta)}\end{align*}}$ を求めよ。


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  1. 2013/06/27(木) 23:57:00|
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