第2問
次の式で定められる数列{an}について、以下の問いに答えよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=5\ \ ,\ \ a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{8}{a_n}\ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
(1) すべての自然数nに対して an＞4 が成り立つことを示せ。
(2) すべての自然数nに対して an+1＜an が成り立つことを示せ。
(3) すべての自然数nに対して $\small\sf{\begin{align*} \sf a_n-4\leqq \frac{1}{2^{n-1}}\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{8}{a_n}\ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$ ････(※)
(1)
数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1のときは自明
(ⅱ) n=kのとき、ak＞4となると仮定すると
(※)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{k+1}=\frac{a_k}{2}+\frac{8}{a_k}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \geqq 2\sqrt{\frac{a_k}{2}\cdot\frac{8}{a_k}}\end{align*}}$ ←ak＞0より相加･相乗平均
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\end{align*}}$
等号は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_k}{2}=\frac{8}{a_k}\ \ \Leftrightarrow\ \ a_k=\pm 4\end{align*}}$
のときに成立するが、ak＞4なので、成立せず
ak+1＞4
以上より、任意の自然数nに対して、an＞4が成り立つ。
(2)
(※)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}-a_n=\left(\frac{a_n}{2}+\frac{8}{a_n}\right)-a_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{a_n}{2}+\frac{8}{a_n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{16-(a_n)^2}{2a_n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(4+a_n)(4-a_n)}{2a_n}<0\ \ \ (\because a_n>4)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_{n+1}\lt a_n\end{align*}}$
(3)
数学的帰納法で示す。
(ⅰ)n=1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1-4=5\ \ ,\ \ \ \frac{1}{2^{1-1}}=1\end{align*}}$ よりOK
(ⅱ)n=kのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_k-4\leqq \frac{1}{2^{k-1}}\end{align*}}$ ････①
が成り立つと仮定。
n=k+1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2^k}-(a_{k+1}-4)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^{k-1}}-\frac{a_k}{2}-\frac{8}{a_k}+4\end{align*}}$ ←(※)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \geqq \frac{1}{2}\left(a_k-4\right)-\frac{a_k}{2}-\frac{8}{a_k}+4\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2-\frac{8}{a_k}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{a_n}\left(a_k-4\right)>0\ \ \ (\because a_k>4)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_{k+1}-4\leqq \frac{1}{2^{k}}\end{align*}}$
となり、n=k+1のときも成立する。
以上より、任意の自然数nに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n-4\leqq \frac{1}{2^{n-1}}\end{align*}}$
が成り立つ。
相加･相乗は見え見えですよね。
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- 2013/06/21(金) 23:48:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2013（文系）
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第3問
座標平面上の点P(0，－1)を中心とする半径2の円をCとする。C上に
点Q(0，1)をとる。点RをC上の点で∠QPR=120°をみたし、Rのx座
標は負であるようにとる。QとRを両端として、中心角が120°であるC
の弧をAとする。さらに、aを実数の定数として、直線
$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{\sqrt3}x+a\end{align*}}$
をLとするとき、以下の問いに答えよ。
(1) 点Rの座標を求めよ。
(2) AとLの共有点の個数を求めよ。
(3) AとLが相異なる2つの共有点をもつとき、AとLで囲まれた部分の面積
をS(a)とする。S(a)が最大になるときのaの値と、そのときのS(a)の値
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
Rからy軸に下ろした垂線の足をHとすると、
PR=2より 
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf RH=PR\sin 60^{\circ}=\sqrt3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PH=PR\cos 60^{\circ}=1\end{align*}}$
となるので、点Rの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ R\left(-\sqrt3\ ,\ -2\right)\ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L: x-\sqrt3y+\sqrt3a=0\end{align*}}$ とAが接するとき、
中心PとLの距離 = Cの半径
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{|0+\sqrt3+\sqrt3a|}{\sqrt{1^2+(-\sqrt3)^2}}=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt3\ |a+1|=4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=-1\pm\frac{4}{\sqrt3}\end{align*}}$
図より、Lは中心Pより上部にあるので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=-1+\frac{4}{\sqrt3}\end{align*}}$
また、LがQを通るときa=1であり、
PRとLは平行なので、LがRを通るときa=－1．
以上より、AとLの共有点の個数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a<-1\ ,\ -1+\frac{4}{\sqrt3}\lt a\end{align*}}$ のとき0個
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1\leqq a<1\ ,\ a=-1+\frac{4}{\sqrt3}\end{align*}}$ のとき1個
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\leqq a<-1+\frac{4}{\sqrt3}\end{align*}}$ のとき2個
(3)
S(a)が最大になるのは、LがQを通るときなのでa=1 ．
このとき、LとAの共有点のうちQと異なる点をSとおくと、
∠PQS=60°、PQ=PSより、△PQSは正三角形となる。
よって、このときのS(a)は
扇形PQS － 正三角形PQS
で求めることができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(a)_{max}=s(1)=2^2\pi\cdot\frac{1}{6}-\frac{1}{2}\cdot 2^2\cdot\sin 60^{\circ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2\pi}{3}-\sqrt3\ }\end{align*}}$
図を丁寧に描きましょう。
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- 2013/06/21(金) 23:57:00|
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第4問
以下の問いに答えよ。
(1) a、cを実数の定数とする。a＞0のとき、方程式2x3－3ax2=c
の相異なる実数解の個数を求めよ。
(2) 3次関数y=x3－3xのグラフをGとする。x座標が正である座標
平面上の点P(a，b)を通るGの接線が3本存在するための、a、b
の条件を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)=2x3－3ax2とおくと、f(x)の導関数は
f’(x)=6x2－6ax=6x(x－a) ．
a＞0なので、f(x)の増減表およびy=f(x)のグラフは
次のようになる。
方程式f(x)=cの相異なる実数解の個数は、
曲線y=f(x)と直線y=cの共有点の個数に等しいので、
c＜－a3、0＜c のとき1個
c=0、－a3 のとき2個
－a3＜c＜0 のとき3個
(2)
y=x3－3xの導関数は
y’=3x2－3
接点の座標を(t，t3－3t)とおくと、接線の方程式は、
y－(t3－3t)=(3t2－3)(x－t)
となり、これが点P(a，b)を通るので、
b－(t3－3t)=(3t2－3)(a－t)
⇔ 2t3－3at2=－3a－b ････①
Pを通るGの接線が3本になるためには、①が3個の相異なる実数解を
もてばよく、a＞0なので、(1)より
－a3＜-3a－b＜0
となればよい。
よって、求める条件は、
－a3＜-3a－b＜0
である。
(2)はうまく(1)の結論に持ちこみましょう！
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- 2013/06/22(土) 23:57:00|
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