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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013大阪府立大 前期理系 数学1



第1問

  スペードのA、2、3、4、5、6の6枚と、ハートのA、2、3、4、5、6の
  6枚の合計12枚のトランプのカードから6枚を選び、下図の正三角形の
  辺上のア、イ、ウ、エ、オ、カの位置に1枚ずつ置く。正三角形の各辺
  にはそれぞれ3枚の3カードが置かれるが、このとき、スペードのカード
  が3枚並ぶ辺の数をnとする。以下の問いに答えよ。

       図01
解答はこちら↓

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  1. 2013/06/17(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2013(理系)
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2013大阪府立大 前期理系 数学2



第2問

  次の式で定められる数列{an}について、以下の問いに答えよ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=5\ \ ,\ \ a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{8}{a_n}\ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$

 (1) すべての自然数nに対して an>4 が成り立つことを示せ。

 (2) すべての自然数nに対して an+1<an が成り立つことを示せ。

 (3) すべての自然数nに対して $\small\sf{\begin{align*} \sf a_n-4\leqq \frac{1}{2^{n-1}}\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。
         


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  1. 2013/06/18(火) 23:57:00|
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2013大阪府立大 前期理系 数学3



第3問

  a、bは実数の定数で、|a|<|b|を満たすとする。行列Aを
         $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \sf a+2b&\sf -2a+2b \\ \sf -a+b & \sf 2a+b \end{pmatrix}\end{align*}}$
  によって定めるとき、以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf x_0\binom{2}{1}+y_0\binom{-1}{1}=\binom{2}{13}\end{align*}}$ をみたすx0、y0を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf A\binom{2}{1}\ ,\ \ A\binom{-1}{1}\end{align*}}$ を求めよ。

 (3) nを自然数とする。$\small\sf{\begin{align*} \sf x_n\binom{2}{1}+y_n\binom{-1}{1}=A^n\binom{2}{13}\end{align*}}$ をみたすxn、yn
    a、b、nを用いて表せ。

 (4) 数列{pn}、{qn}を $\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{p_n}{q_n}=A^n\binom{2}{13}\end{align*}}$ によって定めるとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{q_n}{p_n}\end{align*}}$
    を求めよ。




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  1. 2013/06/19(水) 23:57:00|
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2013大阪府立大 前期理系 数学4



第4問

  2次関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\sqrt2x^2-\frac{\sqrt2}{4}\end{align*}}$
  のグラフをCとする。以下の問いに答えよ。

 (1) 相異なる実数s、tに対し、C上の点
          $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(s\ ,\ \sqrt2s^2-\frac{\sqrt2}{4}\right)\ ,\ \left(t\ ,\ \sqrt2t^2-\frac{\sqrt2}{4}\right)\end{align*}}$
    におけるCの法線をそれぞれLs、Ltとする。LsとLtの交点の
    座標を求めよ。ただし、曲線C上の点Pにおける法線とは、Pを
    通り、PにおけるCの接線と垂直に交わる直線のことである。

 (2) tを固定してsをtに近づけるとき、(1)で求めた交点のx座標と
    y座標が近づく値をそれぞれf(t)、g(t)で表す。このとき、f(t)、
    g(t)を求めよ。

 (3) (2)で求めたf(t)、g(t)を、実数全体で定義されたtの関数と
    みなして
          x=f(t)、 y=g(t)
    によって媒介変数表示される曲線をDとする。このとき、CとDに
    よって囲まれた部分の面積を求めよ。


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  1. 2013/06/20(木) 23:57:00|
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