第2問
次の式で定められる数列{an}について、以下の問いに答えよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=5\ \ ,\ \ a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{8}{a_n}\ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
(1) すべての自然数nに対して an＞4 が成り立つことを示せ。
(2) すべての自然数nに対して an+1＜an が成り立つことを示せ。
(3) すべての自然数nに対して $\small\sf{\begin{align*} \sf a_n-4\leqq \frac{1}{2^{n-1}}\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{8}{a_n}\ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$ ････(※)
(1)
数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1のときは自明
(ⅱ) n=kのとき、ak＞4となると仮定すると
(※)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{k+1}=\frac{a_k}{2}+\frac{8}{a_k}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \geqq 2\sqrt{\frac{a_k}{2}\cdot\frac{8}{a_k}}\end{align*}}$ ←ak＞0より相加･相乗平均
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\end{align*}}$
等号は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_k}{2}=\frac{8}{a_k}\ \ \Leftrightarrow\ \ a_k=\pm 4\end{align*}}$
のときに成立するが、ak＞4なので、成立せず
ak+1＞4
以上より、任意の自然数nに対して、an＞4が成り立つ。
(2)
(※)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}-a_n=\left(\frac{a_n}{2}+\frac{8}{a_n}\right)-a_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{a_n}{2}+\frac{8}{a_n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{16-(a_n)^2}{2a_n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(4+a_n)(4-a_n)}{2a_n}<0\ \ \ (\because a_n>4)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_{n+1}\lt a_n\end{align*}}$
(3)
数学的帰納法で示す。
(ⅰ)n=1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1-4=5\ \ ,\ \ \ \frac{1}{2^{1-1}}=1\end{align*}}$ よりOK
(ⅱ)n=kのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_k-4\leqq \frac{1}{2^{k-1}}\end{align*}}$ ････①
が成り立つと仮定。
n=k+1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2^k}-(a_{k+1}-4)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^{k-1}}-\left(\frac{a_k}{2}-\frac{8}{a_k}-4\right)\end{align*}}$ ←(※)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \geqq \frac{1}{2}\left(a_k-4\right)-\frac{a_k}{2}-\frac{8}{a_k}+4\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2-\frac{8}{a_k}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{a_n}\left(a_k-4\right)>0\ \ \ (\because a_k>4)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_{k+1}-4\leqq \frac{1}{2^{k}}\end{align*}}$
となり、n=k+1のときも成立する。
以上より、任意の自然数nに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n-4\leqq \frac{1}{2^{n-1}}\end{align*}}$
が成り立つ。
相加･相乗は見え見えですよね。
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- 2013/06/18(火) 23:57:00|
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第3問
a、bは実数の定数で、|a|＜|b|を満たすとする。行列Aを
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \sf a+2b&\sf -2a+2b \\ \sf -a+b & \sf 2a+b \end{pmatrix}\end{align*}}$
によって定めるとき、以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf x_0\binom{2}{1}+y_0\binom{-1}{1}=\binom{2}{13}\end{align*}}$ をみたすx0、y0を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf A\binom{2}{1}\ ,\ \ A\binom{-1}{1}\end{align*}}$ を求めよ。
(3) nを自然数とする。$\small\sf{\begin{align*} \sf x_n\binom{2}{1}+y_n\binom{-1}{1}=A^n\binom{2}{13}\end{align*}}$ をみたすxn、ynを
a、b、nを用いて表せ。
(4) 数列{pn}、{qn}を $\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{p_n}{q_n}=A^n\binom{2}{13}\end{align*}}$ によって定めるとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{q_n}{p_n}\end{align*}}$
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
左辺を計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{2x_0-y_0}{x_0+y_0}=\binom{2}{13}\ \ \Leftrightarrow\ \ \left\{ \begin{array}{ll}\sf 2x_0-y_0=2 \\ \sf x_0+y_0=13 \\\end{array} \right.\end{align*}}$
となり、これら2式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x_0=5\ \ ,\ \ y_0=8\ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\binom{2}{1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \sf a+2b&\sf -2a+2b \\ \sf -a+b & \sf 2a+b \end{pmatrix}\binom{2}{1}=\frac{1}{3}\binom{6b}{3b}=\underline{\ b\binom{2}{1}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\binom{-1}{1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \sf a+2b&\sf -2a+2b \\ \sf -a+b & \sf 2a+b \end{pmatrix}\binom{-1}{1}=\frac{1}{3}\binom{-3a}{a}=\underline{\ a\binom{-1}{1}\ }\end{align*}}$
(3)
(1)で得られた
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 5\binom{2}{1}+8\binom{-1}{1}=\binom{2}{13}\end{align*}}$
の両辺に左からAnをかけると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 5A^n\binom{2}{1}+8A^n\binom{-1}{1}=A^n\binom{2}{13}\end{align*}}$ ････①
ここで
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^n\binom{2}{13}=A^{n-1}\cdot A\binom{2}{13}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =bA^{n-1}\binom{2}{13}\end{align*}}$ ←(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =bA^{n-2}\cdot A\binom{2}{13}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =b^2A^{n-2}\binom{2}{13}\end{align*}}$ ←(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =b^n\binom{2}{1}\end{align*}}$
であり、同様にすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^n\binom{-1}{2}=a^n\binom{-1}{2}\end{align*}}$ ．
これらを①に代入すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 5b^n\binom{2}{1}+8a^n\binom{-1}{1}=A^n\binom{2}{13}\end{align*}}$ ････②
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_n\binom{2}{1}+y_n\binom{-1}{1}=A^n\binom{2}{13}\end{align*}}$
と比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x_n=5b^n\ \ ,\ \ y_n=8a^n\ }\end{align*}}$
(4)
②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{p_n}{q_n}=A^n\binom{2}{13}=\binom{10b^n-8a^n}{5b^n+8a^n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_n=10b^n-8a^n\ \ ,\ \ q_n=5b^n+8a^n\end{align*}}$
となるので、求める極限をLとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{q_n}{p_n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{5b^n+8a^n}{10b^n-8a^n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{5+8\left(\frac{a}{b}\right)^n}{10-8\left(\frac{a}{b}\right)^n}\end{align*}}$ ←分子・分母÷bn
ここで、|a|＜|b|より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a}{b}\right)^n=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\frac{5}{10}=\underline{\ \frac{1}{2}\ }\end{align*}}$ ．
普通に計算していくだけですよ。
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- 2013/06/19(水) 23:57:00|
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第4問
2次関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\sqrt2x^2-\frac{\sqrt2}{4}\end{align*}}$
のグラフをCとする。以下の問いに答えよ。
(1) 相異なる実数s、tに対し、C上の点
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(s\ ,\ \sqrt2s^2-\frac{\sqrt2}{4}\right)\ ,\ \left(t\ ,\ \sqrt2t^2-\frac{\sqrt2}{4}\right)\end{align*}}$
におけるCの法線をそれぞれLs、Ltとする。LsとLtの交点の
座標を求めよ。ただし、曲線C上の点Pにおける法線とは、Pを
通り、PにおけるCの接線と垂直に交わる直線のことである。
(2) tを固定してsをtに近づけるとき、(1)で求めた交点のx座標と
y座標が近づく値をそれぞれf(t)、g(t)で表す。このとき、f(t)、
g(t)を求めよ。
(3) (2)で求めたf(t)、g(t)を、実数全体で定義されたtの関数と
みなして
x=f(t)、 y=g(t)
によって媒介変数表示される曲線をDとする。このとき、CとDに
よって囲まれた部分の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
微分すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ '=2\sqrt2x\end{align*}}$
となるので、法線LsおよびLtの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_s:\ y=-\frac{1}{2\sqrt2s}(x-s)+\left(\sqrt2s^2-\frac{\sqrt2}{4}\right)=-\frac{1}{2\sqrt2s}x+\sqrt2s^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_s:\ y=-\frac{1}{2\sqrt2t}x+\sqrt2t^2\end{align*}}$
これら2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2\sqrt2s}x+\sqrt2s^2=-\frac{1}{2\sqrt2t}x+\sqrt2t^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2\sqrt2}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{s}\right)x=\sqrt2(t^2-s^2)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{s-t}{st}\ x=-4(s+t)(s-t)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=-4st(s+t)\ \ \ (\because s-t\ne 0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{1}{2\sqrt2s}\cdot\left\{-4st(s+t)\right\}+\sqrt2s^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt2(s^2+t^2+st)\end{align*}}$
よって、交点の座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(-4st(s+t)\ ,\ \sqrt2(s^2+t^2+st)\right)\ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (t)=\lim_{s\rightarrow t}\left\{-4st(s+t)\right\}=-4t^2(t+t)=\underline{\ -8t^3\ } \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(t)=\lim_{s\rightarrow t}\sqrt2(s^2+t^2+st)=\sqrt2(t^2+t^2+t^2)=\underline{\ 3\sqrt2t^2\ } \end{align*}}$
(3)
(2)で求めた
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=-8t^3\ \ ,\ \ y=3\sqrt2t^2\ \ (\geqq 0)\end{align*}}$
より、Cはx軸の上部にあり、媒介変数tを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^6=\left(-\frac{x}{8}\right)^2=\left(\frac{y}{3\sqrt2}\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{x^2}{64}=\frac{y^3}{54\sqrt2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{3\sqrt2}{4}x^{\frac{2}{3}}\end{align*}}$
また、C、Dの2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2x^2-\frac{\sqrt2}{4}=\frac{3\sqrt2}{4}x^{\frac{2}{3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4x^2-1=3x^{\frac{2}{3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 64x^6-48x^4+12x^2-1=27x^2\end{align*}}$ ←両辺を3乗
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 64x^6-48x^4-15x^2-1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (x-1)(x+1)(8x^2+1)^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm 1\end{align*}}$
これらより、C、Dの位置関係は右図のようになり、
囲まれる部分の面積をSとおくと、図の対称性より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=2\int_0^1\left\{\frac{3\sqrt2}{4}x^{\frac{2}{3}}-\left(\sqrt2x^2-\frac{\sqrt2}{4}\right)\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left[\frac{9\sqrt2}{20}x^{\frac{5}{3}}-\frac{\sqrt2}{3}x^3+\frac{\sqrt2}{4}x\right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(\frac{9\sqrt2}{20}-\frac{\sqrt2}{3}+\frac{\sqrt2}{4}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{11\sqrt2}{15}\ }\end{align*}}$ ．
Dの概形を把握できなくても、Cとの上下関係さえ分かれば面積は出せますよね。
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- 2013/06/20(木) 23:57:00|
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