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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013大阪市立大 文系数学1



第1問

  放物線C1:y=2x2と放物線C2:y=(x-a)2+bを考える。ただし、
  a、bは定数でa>0とする。放物線C1とC2がともにある点Pを通り、
  点Pにおいて共通の接線Lをもつとする。また、点PでLと直交する
  直線をmとし、mと放物線C1、C2とのP以外の交点を、それぞれQ、
  Rとする。次の問いに答えよ。

 (1) bをaを用いて表せ。

 (2) 直線mの方程式、および、点Q、点Rのx座標をaを用いて表せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf a=-\frac{1}{4}\end{align*}}$ のとき、放物線C1と直線mで囲まれた部分の面積Sを
    求めよ。



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  1. 2013/06/13(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 文系 2013
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2013大阪市立大 文系数学2



第2問

  f(x)=4x2+2x+4、 g(x)=x2-x+1とするとき、次の問いに
  答えよ。

 (1) すべての実数xに対してf(x)>0、g(x)>0が成り立つことを示せ。

 (2) 不等式
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \log_a\frac{f\ (x)}{g(x)}<\log_a(2a+1)\end{align*}}$
    がすべての実数xに対して成り立つようなaの値の範囲を求めよ。
    ただしa>0、a≠1とする。




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  1. 2013/06/14(金) 23:57:00|
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2013大阪市立大 文系数学3



第3問

  OA=4、OB=5、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=\frac{5}{2}\end{align*}}$ である三角形OABに対し、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
  とおく。次の問いに答えよ。

 (1) 辺ABの長さを求めよ。

 (2) ∠AOBの二等分線と辺ABの交点をP、∠OABの二等分線と
    辺OBの交点をQとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\ ,\ \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (3) 三角形OABの内心をIとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OI}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。


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  1. 2013/06/15(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 文系 2013
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2013大阪市立大 文系数学4



第4問

  点Pは数直線上を動くものとする。1個のさいころを投げて、奇数の目が
  出たときにはPは正の向きに1だけ進み、偶数の目が出たときにはPは
  正の向きに2だけ進む。nを自然数とする。さいころを続けて投げて、出
  発点からPが進んだ距離がn以上になったら、そこでさいころを投げるの
  をやめるものとする。このときに、出発点からPが進んだ距離がちょうど
  nである確率をanとする。また、bn=an+1-anとおく。次の問いに答えよ。

 (1) a1、a2、a3を求めよ。

 (2) an+2をan+1、anを用いて表せ。

 (3) bn+1をbnを用いて表せ。

 (4) bn、anを求めよ。




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  1. 2013/06/16(日) 23:57:00|
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