第1問
放物線C1：y=2x2と放物線C2：y=(x－a)2+bを考える。ただし、
a、bは定数でa＞0とする。放物線C1とC2がともにある点Pを通り、
点Pにおいて共通の接線Lをもつとする。また、点PでLと直交する
直線をmとし、mと放物線C1、C2とのP以外の交点を、それぞれQ、
Rとする。次の問いに答えよ。
(1) bをaを用いて表せ。
(2) 直線mの方程式、および、点Q、点Rのx座標をaを用いて表せ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf a=-\frac{1}{4}\end{align*}}$ のとき、放物線C1と直線mで囲まれた部分の面積Sを
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)=2x2、 g(x)=(x－a)2+b とおくと、それぞれの導関数は、
f’(x)=4x、 g’(x)=2x－2a
となる。2曲線C1、C2がPで共通の接線Lをもつとき、
点Pの座標を(p，2p2)とおくと、
f(p)=g(p) ⇔ 2p2=(p－a)2+b かつ
f’(p)=g’(p) ⇔ 4p=2p－2a
となるので、これらを連立させて解くと、
p=－a
b=－2a2
を得る。
(2)
(1)より、点Pの座標は(－a，2a2)となるので、
mの傾きは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{f\ '(-a)}=\frac{1}{4a}\end{align*}}$ ．
よって、mの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-2a^2=\frac{1}{4a}(x+a)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=\frac{1}{4a}x+2a^2+\frac{1}{4}\ }\end{align*}}$ ．
mとC1の交点Qのx座標をqとすると、
x=－a、qは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2x^2=\frac{1}{4a}x+2a^2+\frac{1}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-\frac{1}{8a}x-a^2-\frac{1}{8}=0\end{align*}}$
の2解となるので、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -a+q=\frac{1}{8a}\ \ \Leftrightarrow\ \ q=\underline{\ a+\frac{1}{8a}\ }\end{align*}}$
mとC2の交点Rのx座標をrとすると、
x=－a、rは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (x-a)^2-2a^2=\frac{1}{4a}x+2a^2+\frac{1}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-\left(2a+\frac{1}{4a}\right)x-3a^2-\frac{1}{4}=0\end{align*}}$
の2解となるので、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -a+r=2a+\frac{1}{4a}\ \ \Leftrightarrow\ \ r=\underline{\ 3a+\frac{1}{4a}\ }\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{-a}^q\left\{\left(\frac{1}{4a}x+2a^2+\frac{1}{4}\right)-2x^2\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2\int_{-a}^q(x+a)(x-q)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{6}\left\{q-(-a)\right\}^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left(2a+\frac{1}{8a}\right)^3\end{align*}}$ ←(2)より
これに、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{1}{4}\end{align*}}$ を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^3=\underline{\ \frac{1}{3}\ }\end{align*}}$
となる。
計算が少しぐちゃっとするので、解と係数の関係や6分の1公式を用いて
うまく切り抜けましょう。
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- 2013/06/13(木) 23:57:00|
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第2問
f(x)=4x2+2x+4、 g(x)=x2－x+1とするとき、次の問いに
答えよ。
(1) すべての実数xに対してf(x)＞0、g(x)＞0が成り立つことを示せ。
(2) 不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \log_a\frac{f\ (x)}{g(x)}<\log_a(2a+1)\end{align*}}$
がすべての実数xに対して成り立つようなaの値の範囲を求めよ。
ただしa＞0、a≠1とする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
それぞれ平方完成すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=4\left(x-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{15}{16}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\end{align*}}$
となるので、任意の実数xに対して、f(x)＞0、g(x)＞0となる。
(2)
(ⅰ) 0＜a＜1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{f\ (x)}{g(x)}>2a+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4x^2+2x+4>(2a+1)(x^2-x+1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (3-2a)x^2+(3+2a)x+3-2a>0\end{align*}}$ ････①
ここで、二次方程式(3－2a)x2+(3+2a)x+3－2a=0の
判別式をDとすると、
①の不等式が任意の実数に対して成り立つためには、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3-2a>0\ \ \Leftrightarrow\ \ a<\frac{3}{2}\end{align*}}$ かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=(3+2a)^2-4(3-2a)^2<0\ \ \Leftrightarrow\ \ a<\frac{1}{2}\ ,\ \frac{9}{2}\lt a\end{align*}}$
であればよい。これらと、0＜a＜1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt a<\frac{1}{2}\end{align*}}$
(ⅱ) 1＜aのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{f\ (x)}{g(x)}<2a+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (3-2a)x^2+(3+2a)x+3-2a<0\end{align*}}$
となり、この不等式が任意の実数に対して成り立つためには、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3-2a<0\ \ \Leftrightarrow\ \ a>\frac{3}{2}\end{align*}}$ かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D<0\ \ \Leftrightarrow\ \ a<\frac{1}{2}\ ,\ \frac{9}{2}\lt a\end{align*}}$
であればよい。これらと、1＜aより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9}{2}\lt a\end{align*}}$
以上より、求めるaの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 0\lt a<\frac{1}{2}\ ,\ \frac{9}{2}\lt a\ }\end{align*}}$
である。
底が文字なので、不等式を解く際に場合分けが必要です。
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- 2013/06/14(金) 23:57:00|
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第3問
OA=4、OB=5、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=\frac{5}{2}\end{align*}}$ である三角形OABに対し、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
とおく。次の問いに答えよ。
(1) 辺ABの長さを求めよ。
(2) ∠AOBの二等分線と辺ABの交点をP、∠OABの二等分線と
辺OBの交点をQとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\ ,\ \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(3) 三角形OABの内心をIとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OI}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AB}|^2=|\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\overrightarrow{\sf a}|^2-2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+|\overrightarrow{\sf b}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =16-5+25\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =36\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=|\overrightarrow{\sf AB}|=\underline{\ 6\ }\end{align*}}$
(2)
OPは∠AOBの二等分線なので、
AP：BP=OA：OB=4：5 ････①
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\frac{5\overrightarrow{\sf OA}+4\overrightarrow{\sf OB}}{4+5}=\underline{\ \frac{5\overrightarrow{\sf a}+4\overrightarrow{\sf b}}{9}\ }\end{align*}}$
また、AQは∠OABの二等分線なので、
OQ：BQ=OA：AB=4：6
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=\frac{4\overrightarrow{\sf OB}}{4+6}=\underline{\ \frac{2\overrightarrow{\sf b}}{5}\ }\end{align*}}$ ．
（3）
①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP=\frac{4}{9}AB=\frac{8}{3}\end{align*}}$
となり、AIは∠OAPの二等分線なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OI:PI=AO:AP=4:\frac{8}{3}=3:2\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OI}=\frac{3}{5}\overrightarrow{\sf OP}=\underline{\ \frac{5\overrightarrow{\sf a}+4\overrightarrow{\sf b}}{15}\ }\end{align*}}$ ．
角の二等分線の扱い方さえ知っていれば大丈夫でしょう！
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- 2013/06/15(土) 23:57:00|
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第4問
点Pは数直線上を動くものとする。1個のさいころを投げて、奇数の目が
出たときにはPは正の向きに1だけ進み、偶数の目が出たときにはPは
正の向きに2だけ進む。nを自然数とする。さいころを続けて投げて、出
発点からPが進んだ距離がn以上になったら、そこでさいころを投げるの
をやめるものとする。このときに、出発点からPが進んだ距離がちょうど
nである確率をanとする。また、bn=an+1－anとおく。次の問いに答えよ。
(1) a1、a2、a3を求めよ。
(2) an+2をan+1、anを用いて表せ。
(3) bn+1をbnを用いて表せ。
(4) bn、anを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
(ア)n=1のとき
Pからちょうど1だけ進むには、1回投げて奇数が出ればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=\underline{\ \frac{1}{2}\ }\end{align*}}$
(イ)n=2のとき
Pからちょうど3だけ進むには、
・1回投げて偶数 または
･ 2回投げて2回とも奇数
が出ればよいので、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_2=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2=\underline{\ \frac{3}{4}\ }\end{align*}}$
(ウ)n=3のとき
Pからちょうど3だけ進むには、
・距離1の地点でさいころを投げて偶数 または
･ 距離2の地点でさいころを投げて奇数
が出ればよいので、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_3=\frac{1}{2}a_1+\frac{1}{2}a_2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{5}{8}\ }\end{align*}}$
(2)
Pからちょうどn+2だけ進むには、
・距離nの地点でさいころを投げて偶数 または
・距離n+1の地点でさいころを投げて奇数
が出ればよいので、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_{n+2}=\frac{1}{2}a_{n+1}+\frac{1}{2}a_n\ }\end{align*}}$
(3)
tについての二次方程式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2=\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ 2t^2-t-1=0\end{align*}}$
の解が
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=1\ ,\ -\frac{1}{2}\end{align*}}$
であることを利用すると、(2)式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+2}-a_{n+1}=-\frac{1}{2}(a_{n+1}-a_n)\end{align*}}$
と変形でき、これをbnを用いて表すと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ b_{n+1}=-\frac{1}{2}b_n\ }\end{align*}}$
となる。
(4)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_1=a_2-a_1=\frac{1}{4}\end{align*}}$
であり、(2)より数列{bn}は等比数列となるので、
その一般項は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=b_1\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\underline{\ \left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1} }\end{align*}}$
数列{bn}は{an}の階差数列になっているので、
n≧2のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n-1}\left(-\frac{1}{2}\right)^{k+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2}{3}-\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\ }\end{align*}}$
この式は、n=1のときも成り立つ。
(2)の立式さえできれば、あとは隣接3項間の漸化式を解くだけ！
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- 2013/06/16(日) 23:57:00|
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