第1問
p、qは実数で、p≠0を満たすものとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf p& \sf p-1 \\ \sf -p & \sf 1-p \end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix} \sf 1-p &\sf 1-p \\ \sf p & \sf p\end{pmatrix}\ \ ,\ \ C=\begin{pmatrix} \sf q&\sf q \\ \sf p & \sf p \end{pmatrix}\end{align*}}$
とおく。次の問いに答えよ。
(1) A2=A、B2=Bが成り立つことを示せ。
(2) AC=CAであるための必要十分条件は、q=1－p、すなわち
C=Bであることを示せ。
(3) x、yを実数、nを自然数とするとき、(xA+yB)n=xnA+ynB
が成り立つことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
ハミルトン・ケーリーの定理より
A2－{p+(1－p)}A+{p(1－p)－(p－1)･(－p)}E=O
⇔ A2=A
B2－{(1－p)+p}B+{(1－p)p－(1－p)p}E=O
⇔ B2=B
(2)
AC=CA
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \begin{pmatrix} \sf p& \sf p-1 \\ \sf -p & \sf 1-p \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf q&\sf q \\ \sf p & \sf p \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf q&\sf q \\ \sf p & \sf p \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf p& \sf p-1 \\ \sf -p & \sf 1-p \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \begin{pmatrix} \sf pq+p(p-1)& \sf pq+p(p-1) \\ \sf -pq-p(p-1) & \sf -pq-p(p-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ pq+p(p-1)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ q=1-p\ \ \ (\because p\ne 0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ C=B\end{align*}}$
(3)
まず、(2)より
AB=BA=O （Oは零行列） ････①
が成り立つ。
(xA+yB)n=xnA+ynB ･･･(※) が成り立つことを
数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1のときは自明
(ⅱ) n=kのときに成立すると仮定すると、
(xA+yB)k=xkA+ykB ････②
n=k+1のとき
(xA+yB)k+1
=(xA+yB)k(xA+yB)
=(xkA+ykB)(xA+yB) ←②より
=xk+1A2+xykBA+xkyAB+yk+1B2
=xk+1A2+yk+1B2 ←①より
=xk+1A+yk+1B ←(1)より
となり、n=k+1のときも(※)は成り立つ。
以上より、任意の自然数nに対して
(xA+yB)n=xnA+ynB
が成り立つ。
うまく誘導に乗っていきましょう！
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- 2013/06/09(日) 23:57:00|
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第2問
座標平面の0≦x≦$\small\sf{\pi}$ /4の範囲において、2つの曲線y=cosxと
y=sin2xの交点の座標を(a，b)とし、2つの曲線y=cosxと
y=tanxの交点の座標を(c，d)とする。次の問いに答えよ。
(1) a、bおよびd2の値を求めよ。
(2) c＞aであることを示せ。
(3) 連立不等式
0≦x≦$\small\sf{\pi}$ /4、 cosx≦y≦sin2x、 y≧tanx
の表す領域を図示し、その領域の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
y=cosxとy=sin2xの交点について、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\cos a=\sin 2a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos a=2\sin a\cos a\end{align*}}$ ←倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin a=\frac{1}{2}\ \ \ (\because\cos a\ne 0)\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\underline{\ \frac{\pi}{6}\ }\ \ ,\ \ b=\cos\frac{\pi}{6}=\underline{\ \frac{\sqrt3}{2}\ }\end{align*}}$
また、y=cosxとy=tanxの交点について、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d=\cos c=\tan c\end{align*}}$ ････①
これを
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan^2c+1=\frac{1}{\cos^2c}\end{align*}}$
に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d^2+1=\frac{1}{d^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ d^4+d^2-1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ d^2=\underline{\ \frac{-1+\sqrt5}{2}\ \ (>0)\ }\end{align*}}$ .
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b^2=\frac{3}{4}>\frac{-1+\sqrt5}{2}=d^2\ \ \ \left(\because \sqrt5<\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b>d\ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos a>\cos c\end{align*}}$ ．
0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ /4の範囲ではcosxは単調に減少するので
a＜c
となる。
(3)
(1)、(2)より、3曲線で囲まれる部分は右図のようになり、
その面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{\pi/6}^{\pi/4}\sin 2x\ dx-\int_{\pi/6}^c\cos x\ dx-\int_c^{\pi/4}\tan x\ dx\end{align*}}$
となる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{\pi/6}^{\pi/4}\sin 2x\ dx=\left[-\frac{1}{2}\cos 2x\right]_{\pi/6}^{\pi/4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\left(0-\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{\pi/6}^c\cos x\ dx=\bigg[\sin x\bigg]_{\pi/6}^c\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sin c-\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_c^{\pi/4}\tan x\ dx=\int_c^{\pi/4}\frac{-(cos x)'}{\cos x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\bigg[\log |\cos x|\bigg]_c^{\pi/4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\log \left|\frac{1}{\sqrt2}\right|+\log|\cos c|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log \sqrt2+\log\sqrt{d^2}\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log \sqrt2+\log\sqrt{\frac{-1+\sqrt5}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log\sqrt{-1+\sqrt5}\end{align*}}$
また、①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d=\cos c=\frac{\sin c}{\cos c}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin c=\cos^2c=d^2=\frac{-1+\sqrt5}{2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{1}{4}-\left(\frac{-1+\sqrt5}{2}-\frac{1}{2}\right)-\log\sqrt{-1+\sqrt5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{5}{4}-\frac{\sqrt5}{2}-\log\sqrt{-1+\sqrt5}\ }\end{align*}}$ ．
丁寧にどうぞ。
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- 2013/06/10(月) 23:57:00|
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第3問
a＞1を満たす定数aに対し、座標が(a，a)である点をAとする。
関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{x}\ \ \ (x>0)\end{align*}}$
のグラフ上を動く点P$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(p\ ,\ \frac{1}{p}\right)\end{align*}}$ をとり、t＞0で定義された関数f(t)
を、長さAPを用いてf(t)=AP2で定める。
(1) f(t)をtとaを用いて表せ。
(2) f'(t)=0となるt （t＞0）の値を求めよ。
(3) APが最小になるような点Pの座標と、APの最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (t)=\left(t-a\right)^2+\left(\frac{1}{t}-a\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ t^2-2at-\frac{2a}{t}+\frac{1}{t^2}+2a^2\ }\end{align*}}$
(2)
(1)で求めたf(t)の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)=2t-2a+\frac{2a}{t^2}-\frac{2}{t^3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{t^3}(t^4-at^3+at-1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{t^3}\left\{(t^2-1)(t^2+1)-at(t^2-1)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{t^3}(t-1)(t+1)(\underline{t^2-at+1})\end{align*}}$
となり、二次方程式t2－at+1=0 ････① の判別式は
D=a2－4
なので、a≧2のとき実数解
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{a\pm\sqrt{a^2-4}}{2}\end{align*}}$
をもつ。よって、f’(t)=0となるtは、
1＜a≦2 のとき、t=1
2＜a のとき、t=1、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a\pm\sqrt{a^2-4}}{2}\end{align*}}$
(3)
(ⅰ) 1＜a≦2のとき
f(t)の増減は次のようになる。
よって、t=1のときf(t)は最小値をとり
f(1)=2a2－4a+2=2(a－1)2
(ⅱ) 2＜aのとき
①の2解を$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ （$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＜$\scriptsize\sf{\beta}$ ）とすると、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ =a ････②
$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ =1 ････③
また、2＜aより
0＜$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＜1＜$\scriptsize\sf{\beta}$
となるので、f(t)の増減は次のようになる。
また、③より
$\scriptsize\sf{\alpha}$ -1=$\scriptsize\sf{\beta}$ 、 $\scriptsize\sf{\beta}$ -1=$\scriptsize\sf{\alpha}$
なので、
f($\scriptsize\sf{\alpha}$ )=($\scriptsize\sf{\alpha}$ －a)2+($\scriptsize\sf{\alpha}$ -1－a)2=($\scriptsize\sf{\alpha}$ －a)2+($\scriptsize\sf{\beta}$ －a)2
f($\scriptsize\sf{\beta}$ )=($\scriptsize\sf{\beta}$ －a)2+($\scriptsize\sf{\beta}$ -1－a)2=($\scriptsize\sf{\beta}$ －a)2+($\scriptsize\sf{\alpha}$ －a)2
よって、t=$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ でf(t)は最小値をとり、
その値は
f(t)min=($\scriptsize\sf{\alpha}$ －a)2+($\scriptsize\sf{\beta}$ －a)2
=($\scriptsize\sf{\alpha}$ 2+$\scriptsize\sf{\beta}$ 2)－2a($\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ )+2a2
=($\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ )2－2$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ －2a($\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ )+2a2
=a2－2－2a2+2a2
=a2－2
以上より、
0＜a≦2のとき
APの最小値は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \sqrt2(a-1) \ }\end{align*}}$
Pの座標は、(1，1)
2＜aのとき
APの最小値は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \sqrt{a^2-2} \ }\end{align*}}$
Pの座標は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(\frac{a\pm\sqrt{a^2-4}}{2}\ ,\ \frac{a\mp\sqrt{a^2-4}}{2}\right)\ }\end{align*}}$ （複号同順）
(2)の(ⅱ)をそのまま計算しようとすると面倒ですよ。
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- 2013/06/11(火) 23:57:00|
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第4問
OA=4、OB=5である三角形OABに対し、k=AB、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ とおく。次の問いに答えよ。
(1) 内積$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ の値をkを用いて表せ。
(2) ∠AOBの二等分線と辺ABの交点をP、∠OABの二等分線と
辺OBの交点をQとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\ ,\ \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf k\ ,\ \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(3) 三角形OABの内心をIとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OI}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf k\ ,\ \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(4) (3)のIと直線OA上の点Hに対して、IH⊥OAが成り立つとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf IH}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf k\ ,\ \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
△OABに余弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle AOB=\frac{4^2+5^2-k^2}{2\cdot 4\cdot 5}=\frac{41-k^2}{40}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=4\cdot 5\cdot\frac{41-k^2}{40}=\underline{\ \frac{41-k^2}{2}\ }\end{align*}}$
(2)
OPは∠AOBの二等分線なので、
AP：BP=OA：OB=4：5 ････①
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\frac{5\overrightarrow{\sf OA}+4\overrightarrow{\sf OB}}{4+5}=\underline{\ \frac{5\overrightarrow{\sf a}+4\overrightarrow{\sf b}}{9}\ }\end{align*}}$
また、AQは∠OABの二等分線なので、
OQ：BQ=OA：AB=4：k
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=\frac{4\overrightarrow{\sf OB}}{4+k}=\underline{\ \frac{4\overrightarrow{\sf b}}{4+k}\ }\end{align*}}$ ．
（3）
①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP=\frac{4k}{9}\end{align*}}$
となり、AIは∠OAPの二等分線なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OI:PI=AO:AP=4:\frac{4k}{9}=9:k\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OI}=\frac{9}{9+k}\overrightarrow{\sf OP}=\underline{\ \frac{5\overrightarrow{\sf a}+4\overrightarrow{\sf b}}{9+k}\ }\end{align*}}$ ．
(4)
HはOA上の点なので、実数hを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=h\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$
と表せる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf IH}=\left(h-\frac{5}{9+k}\right)\overrightarrow{\sf a}-\frac{4}{9+k}\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
となり、IH⊥OAなので、内積を考えると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf IH}\cdot \overrightarrow{\sf OA}=\left(h-\frac{5}{9+k}\right)\ |\overrightarrow{\sf a}|^2-\frac{4}{9+k}\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =16\left(h-\frac{5}{9+k}\right)-\frac{4}{9+k}\cdot\frac{41-k^2}{2}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ h-\frac{5}{9+k}=\frac{41-k^2}{8(9+k)}\end{align*}}$ .
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf IH}=\underline{\ \frac{41-k^2}{8(9+k)}\overrightarrow{\sf a}-\frac{4}{9+k}\overrightarrow{\sf b}\ }\end{align*}}$
角の二等分線の扱い方さえ知っていれば大丈夫でしょう！
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- 2013/06/12(水) 23:57:00|
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