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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013大阪市立大 理系数学1



第1問

  p、qは実数で、p≠0を満たすものとする。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf p& \sf p-1 \\ \sf -p & \sf 1-p \end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix} \sf 1-p &\sf 1-p \\ \sf p & \sf p\end{pmatrix}\ \ ,\ \ C=\begin{pmatrix} \sf q&\sf q \\ \sf p & \sf p \end{pmatrix}\end{align*}}$
  とおく。次の問いに答えよ。

 (1) A2=A、B2=Bが成り立つことを示せ。

 (2) AC=CAであるための必要十分条件は、q=1-p、すなわち
    C=Bであることを示せ。

 (3) x、yを実数、nを自然数とするとき、(xA+yB)n=xnA+ynB
    が成り立つことを示せ。


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  1. 2013/06/09(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2013
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2013大阪市立大 理系数学2



第2問

  座標平面の0≦x≦$\small\sf{\pi}$ /4の範囲において、2つの曲線y=cosxと
  y=sin2xの交点の座標を(a,b)とし、2つの曲線y=cosxと
  y=tanxの交点の座標を(c,d)とする。次の問いに答えよ。

 (1) a、bおよびd2の値を求めよ。

 (2) c>aであることを示せ。

 (3) 連立不等式
       0≦x≦$\small\sf{\pi}$ /4、 cosx≦y≦sin2x、 y≧tanx
    の表す領域を図示し、その領域の面積を求めよ。



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  1. 2013/06/10(月) 23:57:00|
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2013大阪市立大 理系数学3



第3問

  a>1を満たす定数aに対し、座標が(a,a)である点をAとする。
  関数
         $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{x}\ \ \ (x>0)\end{align*}}$
  のグラフ上を動く点P$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(p\ ,\ \frac{1}{p}\right)\end{align*}}$ をとり、t>0で定義された関数f(t)
  を、長さAPを用いてf(t)=AP2で定める。

 (1) f(t)をtとaを用いて表せ。

 (2) f'(t)=0となるt (t>0)の値を求めよ。

 (3) APが最小になるような点Pの座標と、APの最小値を求めよ。



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  1. 2013/06/11(火) 23:57:00|
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2013大阪市立大 理系数学4



第4問

  OA=4、OB=5である三角形OABに対し、k=AB、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$、
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ とおく。次の問いに答えよ。

 (1) 内積$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ の値をkを用いて表せ。

 (2) ∠AOBの二等分線と辺ABの交点をP、∠OABの二等分線と
    辺OBの交点をQとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\ ,\ \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf k\ ,\ \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (3) 三角形OABの内心をIとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OI}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf k\ ,\ \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (4) (3)のIと直線OA上の点Hに対して、IH⊥OAが成り立つとき、
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf IH}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf k\ ,\ \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。



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  1. 2013/06/12(水) 23:57:00|
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