第1問
曲線$\small\sf{\sf C:\ y=-x^2-1}$ を考える。
(1) ｔが実数全体を動くとき、曲線C上の点$\small\sf{\sf (t,\ -t^2-1)}$ を頂点とする放物線
$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{3}{4}(x-t)^2-t^2-1\end{align*}}$
が通過する領域をxy平面上に図示せよ。
(2) Dを(1)で求めた領域の境界とする。Dがx軸の正の部分と交わる点を
(a，0)とし、x=aでのCの接線をLとする。DとLで囲まれた部分の
面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{3}{4}(x-t)^2-t^2-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{4}x^2-\frac{3}{2}\ t\ x-\frac{1}{4}\ t^2-1\end{align*}}$
この式をｔについて整理する。
$\scriptsize\sf{\sf t^2+6xｔ+4y-3x^2+4=0}$ ････①
ｔは実数なので、ｔについての二次方程式①が
実数解をもてばよい。
①の判別式をD1とおくと、
$\scriptsize\sf{\sf D_1/4=(3x)^2-(4y-3x^2+4)}$
$\scriptsize\sf{\sf =12x^2-4y-4\geqq 0}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y\leqq 3x^2-1}$
これを図示したものが右の図
（境界線上の点も含む。）
ｔ が実数であるという条件を使います。
(2)
(1)より、境界Dを表す式は、$\scriptsize\sf{\sf y=3x^2-1}$ であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3x^2-1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{\sqrt3}{3}\ \ (>0)\end{align*}}$
より、Dがx軸の正の部分と交わる点は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{\sqrt3}{3}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$
である。
一方、$\scriptsize\sf{\sf C:\ y=-x^2-1}$ に対して、 $\scriptsize\sf{\sf y'=-2x}$ なので、
C上の点 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{\sqrt3}{3}\ ,\ -\frac{4}{3}\right)\end{align*}}$ におけるCの接線Lは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\left(-\frac{4}{3}\right)=-\frac{2\sqrt3}{3}\left(x-\frac{\sqrt3}{3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{2\sqrt3}{3}\ x-\frac{2}{3}\end{align*}}$
これより、DとLとの交点を求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3x^2-1=-\frac{2}{\sqrt3}\ x-\frac{2}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=-\frac{\sqrt3}{3}\ ,\ \frac{\sqrt3}{9}\end{align*}}$
なので、DとLによって囲まれる部分は、
右図のピンク色の領域である。
この面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{-\frac{\sqrt3}{3}}^{\frac{\sqrt3}{9}}\ \left(-\frac{2\sqrt3}{3}\ x-\frac{2}{3}-(3x^2-1)\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-3\int_{-\frac{\sqrt3}{3}}^{\frac{\sqrt3}{9}}\ \left(x+\frac{\sqrt3}{3}\right)\left( x-\frac{\sqrt3}{9}\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-3\times\left(-\frac{1}{6}\right)\times \left(\frac{\sqrt3}{9}-\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\frac{32\sqrt3}{243}\ \ }\end{align*}}$
積分計算で用いたのは、もちろん知っていると思いますが、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} {\color{blue} \sf \int_{p}^{q}\ (x-p)(x-q)\ dx=-\frac{1}{6}(q-p)^3}\end{align*}}$
の公式です。x2の係数に気をつけましょう。
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- 2011/10/01(土) 23:57:00|
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第2問
連立方程式
2x+3y=43
log2x－log3y=1
を考える。
(1) この連立方程式を満たす自然数x、yの組を求めよ。
(2) この連立方程式を満たす正の実数x、yは、(1)で求めた自然数の組以外に
存在しないことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
2x+3y=43 ････①
log2x－log3y=1 ････② とおく。
(1)
①より、2x=43－3y＞0なので
3y＜43 ･･･③
ここで、33=27、 34=81なので、
③を満たす自然数yはy=1，2，3
y=1のとき、2x=43－3=40
y=2のとき、2x=43－9=34
y=3のとき、2x=43－27=16
この中で、xが自然数になりうるのは、2x=16=24のときのみ。
これは、②式も満たすので、
(x，y)=(4，3)
シラミつぶしに探すだけですよ。
(2)
(ⅰ) 0＜y＜3のとき
log3y＜1なので、
②より、log2x=1+log3y＜2
底2＞1なので、
0＜x＜4
よって、
1＜2x＜16
これと、1＜3y＜27 より、2＜2x+3y＜43
このときは、①を満たさない。
(ⅱ) 3＜yのとき
log3y＞1なので、
②より、log2x=1+log3y＞2
底2＞1なので、
x＞4
よって、
2x＞16
これと、3y＞27 より、2x+3y＞43
このときは、①を満たさない。
以上より、連立方程式の解は、(1)の場合以外には存在しない。
理系の範囲ですと色々なやり方が考えられるんでしょうど、
文系縛りだとこれは少し難しいかもしれませんね。
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- 2011/10/02(日) 23:57:00|
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第3問
(1) 不等式
(|x|－2)2+(|y|－2)2≦1
の表す領域をxy平面上に図示せよ。
(2) 1個のさいころを4回投げ、n回目（n=1，2，3，4）に出た目の数を
anとする。このとき、
(x，y)=(a1－a2，a3－a4)
が(1)の領域に含まれる確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(1)
x≧0、y≧0のとき
(x－2)2+(y－2)2≦1
x≧0、y＜0のとき
(x－2)2+(y+2)2≦1
x＜0、y≧0のとき
(x+2)2+(y－2)2≦1
x＜0、y＜0のとき
(x+2)2+(y+2)2≦1
これを図示すると右図のようになる。
（境界線上の点も含む）
x≧0、y≧0の範囲だけ描けば、あとは「図の対称性より」とごまかしちゃってもOKでしょう。
(2)
(1)の領域に含まれる格子点は、複号を任意として、
(±1，±2)、(±2，±1)、(±2，±2)
(±2，±3)、(±3，±2)
の計20個ある。
一方、2つのサイコロの目a1、a2の値に対して、
a1－a2の値は右の表のようになる。
この表から考えると、
a1－a2=±1になる確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{10}{36}\end{align*}}$
a1－a2=±2になる確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{8}{36}\end{align*}}$
a1－a2=±3になる確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6}{36}\end{align*}}$
a3－a4についても同様なので、
(x，y)=(±1，±2)となる確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{10}{36}\times\frac{8}{36}\end{align*}}$
(x，y)=(±2，±1)となる確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{8}{36}\times\frac{10}{36}\end{align*}}$
(x，y)=(±2，±2)となる確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{8}{36}\times\frac{8}{36}\end{align*}}$
(x，y)=(±2，±3)となる確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{8}{36}\times\frac{6}{36}\end{align*}}$
(x，y)=(±3，±2)となる確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6}{36}\times\frac{8}{36}\end{align*}}$
これらを合計すると、 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\frac{20}{81}\ \ }\end{align*}}$
(±1，±2)で複号任意というのは、
(+1，+2)、(+1，－2)、(－1，+2)、(－1，－2)
の4つを表すということです。
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- 2011/10/03(月) 23:57:00|
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